Замкнутая выпуклая функция

В математике , А функция называется закрытой , если для каждого , то множество подуровня является замкнутым множеством .${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ {х \ в {\ mbox {дом}} е \ верт е (х) \ leq \ альфа \}}$

Точно так же, если надграфик, определенный с помощью , закрыт, то функция закрывается.${\ displaystyle {\ mbox {epi}} f = \ {(x, t) \ in \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ vert x \ in {\ mbox {dom}} f, \; f ( х) \ leq t \}}$${\ displaystyle f}$

Это определение действительно для любой функции, но чаще всего используется для выпуклых функций . Собственная функция выпуклы замкнута тогда и только тогда , когда она полунепрерывная снизу . ^[1] Для выпуклой функции, которая не является собственностью, существуют разногласия относительно определения замыкания функции. ^{[ необходима цитата ]}

Свойства [ править ]

• Если - непрерывная функция и замкнута, то замкнута.${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mbox {dom}} f}$${\ displaystyle f}$
• Если - непрерывная функция и открыта, то замкнута тогда и только тогда, когда она сходится к вдоль каждой последовательности, сходящейся к граничной точке . ^[2]${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mbox {dom}} f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle {\ mbox {dom}} f}$
• Замкнутая собственная выпуклая функция f - это поточечная верхняя грань совокупности всех аффинных функций h таких, что h ≤ f (называемых аффинными минорантами функции f ).

Ссылки [ править ]

• Рокафеллар, Р. Тиррелл (1997) [1970]. Выпуклый анализ . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-01586-6.