Абелева группа

В математике абелева группа , также называемая коммутативной группой , — это группа , в которой результат применения групповой операции к двум элементам группы не зависит от порядка их записи. То есть групповая операция коммутативна . С помощью операции сложения целые и действительные числа образуют абелевы группы, и концепцию абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала XIX века Нильса Хенрика Абеля . ^[1]

Понятие абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраических структур , таких как поля , кольца , векторные пространства и алгебры . Теория абелевых групп обычно проще, чем теория их неабелевых аналогов, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью классифицированы .

Абелева группа — это набор вместе с операцией , которая объединяет любые два элемента и из для формирования другого элемента из обозначенного . Символ является общим заполнителем для конкретной операции. Чтобы квалифицироваться как абелева группа, множество и операция должны удовлетворять четырем требованиям, известным как аксиомы абелевой группы (некоторые авторы включают в аксиомы некоторые свойства, которые принадлежат определению операции: а именно, что операция определена для любого упорядоченного пары элементов $A$ , что результат четко определен и что результат принадлежит $A$ ): $А$ $\cdot$ $а$ $б$ $А$ ${\ displaystyle A,}$ $a\cdot b$ $\cdot$ ${\ displaystyle (A, \ cdot)}$

Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой». ^[2]^{: 11}

Обычно мультипликативная запись является обычным обозначением групп, а аддитивная запись — обычным обозначением модулей и колец . Аддитивное обозначение также может использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретная группа является абелевой, всякий раз, когда рассматриваются как абелевы, так и неабелевы группы, некоторыми заметными исключениями являются почти кольца и частично упорядоченные группы , где операция записывается аддитивно, даже если она неабелева. . ^[3]^{: 28–29}^[4]^{: 9–14}

Чтобы проверить, что конечная группа является абелевой, можно построить таблицу (матрицу), известную как таблица Кэли , аналогично таблице умножения . ^[5]^{: 10} Если группа находится под операцией , -я запись этой таблицы содержит продукт . $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots,g_{n}\}$ $\cdot$ $(я,j)$ $g_{i}\cdot g_{j}$