В электротехнике , электрическое сопротивление является мерой оппозиции , что через цепь представляет в виде тока , когда напряжение прикладывается.
Количественно импеданс двухполюсного элемента схемы представляет собой отношение комплексного представления синусоидального напряжения между его выводами к комплексному представлению тока, протекающего через него. [1] Как правило, это зависит от частоты синусоидального напряжения.
Импеданс расширяет понятие сопротивления до цепей переменного тока (AC) и имеет как величину, так и фазу , в отличие от сопротивления, которое имеет только величину.
Импеданс - это комплексное число с теми же единицами измерения, что и сопротивление, для которого единицей СИ является ом ( Ом ). Его символ обычно Z , и его можно представить, записав его величину и фазу в полярной форме | Z | ∠θ . Однако декартово представление комплексных чисел часто более эффективно для анализа схем.
Понятие импеданса полезно для выполнения анализа переменного тока электрических сетей , поскольку оно позволяет связывать синусоидальные напряжения и токи простым линейным законом. В нескольких портовых сетей, два терминала определение импеданса является недостаточным, но сложные напряжения на портах и токи , протекающие через них по - прежнему линейно связаны с помощью матрицы импеданса . [2]
Обратный импеданс является проводимостью , которой СИ единицей является сименс , прежнего названия мксит .
Приборы, используемые для измерения электрического импеданса, называются анализаторами импеданса .
Вступление
Термин импеданс был введен Оливером Хевисайдом в июле 1886 года. [3] [4] Артур Кеннелли был первым, кто представил импеданс комплексными числами в 1893 году [5].
В дополнение к сопротивлению, наблюдаемому в цепях постоянного тока, импеданс в цепях переменного тока включает эффекты индукции напряжений в проводниках магнитными полями ( индуктивность ) и электростатическое накопление заряда, вызванное напряжениями между проводниками ( емкость ). Импеданс, вызванный этими двумя эффектами, вместе называется реактивным сопротивлением и образует мнимую часть комплексного импеданса, тогда как сопротивление формирует действительную часть.
Импеданс определяется как отношение напряжения к току в частотной области . [6] Другими словами, это отношение напряжения к току для одной комплексной экспоненты на определенной частоте ω .
Для входного синусоидального тока или напряжения полярная форма комплексного импеданса связывает амплитуду и фазу напряжения и тока. В частности:
- Величина комплексного импеданса - это отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока;
- Фаза комплексного импеданса - это фазовый сдвиг, на который ток отстает от напряжения.
Комплексное сопротивление
Импеданс двухполюсного элемента схемы представлен как комплексная величина. Полярная форма удобно фиксирует обе величины и фазовые характеристики , как
где величина представляет собой отношение амплитуды разности напряжений к амплитуде тока, а аргумент (обычно обозначается символом ) дает разность фаз между напряжением и током. - мнимая единица , которая используется вместов этом контексте, чтобы избежать путаницы с символом электрического тока .
В декартовой форме импеданс определяется как
где действительная часть импеданса - это сопротивлениеа мнимая часть - это реактивное сопротивление .
Если необходимо прибавить или вычесть импедансы, более удобна декартова форма; но когда количества умножаются или делятся, расчет становится проще, если используется полярная форма. Расчет схемы, такой как определение полного импеданса двух параллельных импедансов, может потребовать преобразования между формами несколько раз во время расчета. Преобразование между формами следует обычным правилам преобразования комплексных чисел .
Комплексное напряжение и ток
Чтобы упростить вычисления, синусоидальные волны напряжения и тока обычно представляют как комплексные функции времени, обозначаемые как а также . [7] [8]
Импеданс биполярной цепи определяется как отношение этих величин:
Следовательно, обозначая , у нас есть
Уравнение величины - это известный закон Ома, применяемый к амплитудам напряжения и тока, а второе уравнение определяет соотношение фаз.
Срок действия комплексного представления
Это представление с использованием комплексных экспонент можно оправдать, отметив, что (по формуле Эйлера ):
Действительная синусоидальная функция, представляющая напряжение или ток, может быть разбита на две комплексные функции. По принципу суперпозиции мы можем анализировать поведение синусоиды в левой части, анализируя поведение двух сложных членов в правой части. Учитывая симметрию, нам нужно провести анализ только для одного правого члена. Результаты идентичны для другого. В конце любых вычислений мы можем вернуться к синусоидам с действительными значениями, отметив далее, что
Закон Ома
Значение электрического импеданса можно понять, подставив его в закон Ома. [9] [10] Предполагая, что двухконтактный элемент схемы с полным сопротивлением управляется синусоидальным напряжением или током, как указано выше,
Величина импеданса действует так же, как сопротивление, давая падение амплитуды напряжения на импедансе для данного тока . Фазовый множитель говорит нам о том , что ток отстает от напряжения на фазе(т.е. во временной области текущий сигнал смещается позже относительно сигнала напряжения).
Подобно тому , как сопротивление распространяется закон Ома для цепи переменного тока, крышки других результатов анализа цепи постоянного тока, например, деления напряжения , ток деления , теоремы тевенина и теорема Нортона , также может быть распространено на цепь переменного тока путем замены сопротивления с сопротивлением.
Фазоры
Вектор представляет собой постоянное комплексное число, обычно выражаемое в экспоненциальной форме, представляющее комплексную амплитуду (величину и фазу) синусоидальной функции времени. Фазоры используются инженерами-электриками для упрощения вычислений с использованием синусоид, где они часто могут свести проблему дифференциального уравнения к алгебраической.
Импеданс элемента схемы может быть определен как отношение векторного напряжения на элементе к векторному току через элемент, что определяется относительными амплитудами и фазами напряжения и тока. Это идентично определению из закона Ома, данного выше, с учетом того, что факторы отменить.
Примеры устройств
Резистор
Импеданс идеального резистора является чисто реальным и называется резистивным сопротивлением :
В этом случае формы сигналов напряжения и тока пропорциональны и синфазны.
Индуктор и конденсатор
Идеальные катушки индуктивности и конденсаторы имеют чисто мнимое реактивное сопротивление :
сопротивление катушек индуктивности увеличивается с увеличением частоты;
сопротивление конденсаторов уменьшается с увеличением частоты;
В обоих случаях для приложенного синусоидального напряжения результирующий ток также является синусоидальным, но в квадратуре , на 90 градусов не совпадающей по фазе с напряжением. Однако фазы имеют противоположные знаки: в катушке индуктивности ток отстает ; в конденсаторе ток является ведущим .
Обратите внимание на следующие тождества для воображаемой единицы и ее обратной величины:
Таким образом, уравнения импеданса катушки индуктивности и конденсатора можно переписать в полярной форме:
Величина показывает изменение амплитуды напряжения для данной амплитуды тока через импеданс, в то время как экспоненциальные множители дают фазовое соотношение.
Получение импеданса конкретного устройства
Ниже приводится расчет импеданса для каждого из трех основных элементов схемы : резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Хотя эту идею можно расширить, чтобы определить взаимосвязь между напряжением и током любого произвольного сигнала , эти производные предполагают синусоидальные сигналы. Фактически, это применимо к любым произвольным периодическим сигналам, потому что они могут быть аппроксимированы как сумма синусоид с помощью анализа Фурье .
Резистор
Для резистора существует соотношение
что является законом Ома .
Считая сигнал напряжения
следует, что
Это говорит о том, что отношение амплитуды переменного напряжения к амплитуде переменного тока (AC) на резисторе равно, и что переменное напряжение опережает ток через резистор на 0 градусов.
Этот результат обычно выражается как
Конденсатор
Для конденсатора существует соотношение:
Считая сигнал напряжения
следует, что
и таким образом, как и раньше,
И наоборот, если ток в цепи предполагается синусоидальным, его комплексное представление будет
затем интегрируя дифференциальное уравнение
приводит к
Const член представляет собой фиксированный потенциал смещения накладывается синусоидальной потенциал переменного тока, который не играет никакой роли в анализе переменного тока. Для этого можно принять этот член равным 0, следовательно, сопротивление
Индуктор
Для индуктора имеем соотношение (из закона Фарадея ):
На этот раз, учитывая, что текущий сигнал:
следует, что:
Этот результат обычно выражается в полярной форме как
или, используя формулу Эйлера, как
Как и в случае с конденсаторами, эту формулу также можно вывести непосредственно из комплексных представлений напряжений и токов или допуская синусоидальное напряжение между двумя полюсами катушки индуктивности. В последнем случае, интегрирования дифференциального уравнения выше , приводит к Const перспективе для тока, который представляет собой фиксированное смещение постоянного тока , протекающего через катушку индуктивности. Это установлено в ноль, потому что анализ переменного тока с использованием импеданса частотной области учитывает одну частоту за раз, а постоянный ток представляет собой отдельную частоту в ноль герц в этом контексте.
Обобщенный импеданс в s-плоскости
Импеданс, определенный в терминах jω, может строго применяться только к цепям, которые управляются установившимся сигналом переменного тока. Понятие импеданса может быть расширено до цепи, запитанной любым произвольным сигналом, путем использования комплексной частоты вместо jω . Комплексная частота обозначается символом s и, как правило, является комплексным числом. Сигналы выражаются в терминах комплексной частоты с помощью преобразования Лапласа для выражения сигнала во временной области . Импеданс основных элементов схемы в этих более общих обозначениях следующий:
Элемент | Выражение импеданса |
---|---|
Резистор | |
Индуктор | |
Конденсатор |
Для цепи постоянного тока это упрощается до s = 0 . Для установившегося синусоидального сигнала переменного тока s = jω .
Сопротивление против реактивного сопротивления
Сопротивление и реактивное сопротивление вместе определяют величину и фазу импеданса посредством следующих соотношений:
Во многих приложениях относительная фаза напряжения и тока не критична, поэтому важна только величина импеданса.
Сопротивление
Сопротивление действительная часть импеданса; устройство с чисто резистивным импедансом не демонстрирует сдвига фаз между напряжением и током.
Реактивность
Реактивность мнимая часть импеданса; компонент с конечным реактивным сопротивлением вызывает фазовый сдвиг между напряжением на нем и током через него.
Чисто реактивный компонент отличается тем, что синусоидальное напряжение на компоненте находится в квадратуре с синусоидальным током, протекающим через компонент. Это означает, что компонент попеременно поглощает энергию из цепи, а затем возвращает энергию в цепь. Чистое реактивное сопротивление не рассеивает мощность.
Емкостное реактивное сопротивление
Конденсатор имеет чисто реактивный импеданс, который обратно пропорционален частоте сигнала . Конденсатор состоит из двух проводников, разделенных изолятором , также известным как диэлектрик .
Знак минус указывает на то, что мнимая часть импеданса отрицательна.
На низких частотах конденсатор приближается к разомкнутой цепи, поэтому через него не течет ток.
Напряжение постоянного тока, приложенное к конденсатору, вызывает накопление заряда на одной стороне; электрическое поле за счет накопленного заряда является источником оппозиции к току. Когда потенциал, связанный с зарядом, точно уравновешивает приложенное напряжение, ток стремится к нулю.
Приведенный в действие источником переменного тока, конденсатор накапливает только ограниченный заряд, прежде чем разность потенциалов изменит знак и заряд рассеется. Чем выше частота, тем меньше накапливается заряда и меньше сопротивление току.
Индуктивное реактивное сопротивление
Индуктивное реактивное сопротивление это пропорционально к сигналу частоты и индуктивность .
Индуктор состоит из спирального проводника. Закон электромагнитной индукции Фарадея дает обратную ЭДС (напряжение, противоположное току) из-за скорости изменения плотности магнитного потока через токовую петлю.
Для индуктора, состоящего из катушки с циклы это дает:
Обратная ЭДС является источником противодействия току. Постоянный постоянный ток имеет нулевую скорость изменения и рассматривает индуктор как короткое замыкание (обычно он изготовлен из материала с низким удельным сопротивлением ). Переменный ток имеет по скорости изменения усредненных по времени, которое пропорционально частоте, это приводит к увеличению индуктивного сопротивления с частотой.
Полное реактивное сопротивление
Полное реактивное сопротивление определяется выражением
- (Обратите внимание, что отрицательный)
так что полный импеданс
Комбинирование импедансов
Общий импеданс многих простых сетей компонентов может быть рассчитан с использованием правил объединения импедансов последовательно и параллельно. Правила идентичны правилам комбинирования сопротивлений, за исключением того, что числа, как правило, являются комплексными числами . Однако общий случай требует эквивалентных преобразований импеданса в дополнение к последовательному и параллельному.
Комбинация серий
Для компонентов, соединенных последовательно, ток через каждый элемент схемы одинаков; полный импеданс - это сумма импедансов компонентов.
Или явно в реальном и воображаемом выражении:
Параллельная комбинация
Для компонентов, соединенных параллельно, напряжение на каждом элементе схемы одинаково; отношение токов через любые два элемента является обратным соотношением их импедансов.
Следовательно, обратный полный импеданс является суммой обратных импедансов компонентов:
или, когда n = 2:
Эквивалентный импеданс можно рассчитать как эквивалентное последовательное сопротивление и реактивное сопротивление . [11]
Измерение
Измерение импеданса устройств и линий передачи - практическая задача в радиотехнике и других областях. Измерения импеданса можно проводить на одной частоте, или может представлять интерес изменение импеданса устройства в диапазоне частот. Импеданс может быть измерен или отображен непосредственно в омах, или могут отображаться другие значения, относящиеся к импедансу; например, в радиоантенне коэффициент стоячей волны или коэффициент отражения могут быть более полезными, чем только импеданс. Измерение импеданса требует измерения величины напряжения и тока, а также разности фаз между ними. Импеданс часто измеряется «мостовыми» методами , подобными мосту Уитстона постоянного тока ; калиброванный эталонный импеданс регулируется, чтобы уравновесить влияние импеданса тестируемого устройства. Измерение импеданса в силовых электронных устройствах может потребовать одновременного измерения и подачи питания на работающее устройство.
Импеданс устройства можно рассчитать сложным делением напряжения и тока. Импеданс устройства можно рассчитать, подав на устройство синусоидальное напряжение последовательно с резистором и измерив напряжение на резисторе и на устройстве. Выполнение этого измерения путем качания частот подаваемого сигнала позволяет получить фазу и величину импеданса. [12]
Использование импульсной характеристики может использоваться в сочетании с быстрым преобразованием Фурье (БПФ) для быстрого измерения электрического импеданса различных электрических устройств. [12]
Измеритель иммитанса (Индуктивность (L), емкости (С) и сопротивление (R)) , представляет собой устройство , обычно используется для измерения индуктивности, сопротивления и емкости компонента; по этим значениям можно рассчитать импеданс на любой частоте.
Пример
Рассмотрим контур резервуара LC . Комплексный импеданс цепи равен
Сразу видно, что значение минимально (фактически равняется 0 в данном случае) всякий раз, когда
Следовательно, угловая частота основного резонанса равна
Переменный импеданс
В общем, ни импеданс, ни адмиттанс не могут изменяться со временем, поскольку они определены для комплексных экспонент, в которых -∞ < t <+ ∞ . Если комплексное экспоненциальное отношение напряжения к току изменяется во времени или по амплитуде, элемент схемы не может быть описан с использованием частотной области. Однако многие компоненты и системы (например, варикапы , которые используются в радиотюнерах ) могут демонстрировать нелинейные или изменяющиеся во времени отношения напряжения к току, которые кажутся линейно-инвариантными во времени (LTI) для небольших сигналов и для небольших окон наблюдения. так что их можно грубо описать как если бы они имели изменяющийся во времени импеданс. Это описание является приблизительным: при больших колебаниях сигнала или широких окнах наблюдения зависимость напряжения от тока не будет LTI и не может быть описана импедансом.
Смотрите также
- Анализ биоэлектрического импеданса
- Характеристический импеданс - отношение амплитуд напряжения и тока одиночной волны, распространяющейся по линии передачи.
- Электрические характеристики динамических громкоговорителей
- Высокий импеданс
- Иммитанс
- Анализатор импеданса
- Мостовое соединение по сопротивлению
- Кардиография импеданса
- Контроль импеданса
- Согласование импеданса
- Импедансная микробиология
- Конвертер отрицательного импеданса
- Расстояние сопротивления
- Импеданс линии передачи - явление сигнала
- Универсальный диэлектрический отклик
Рекомендации
- ^ Callegaro, L. (2012). Электрический импеданс: принципы, измерения и приложения. CRC Press, стр. 5
- ^ Callegaro, Sec. 1.6
- ^ Наука , стр. 18, 1888 г.
- ↑ Оливер Хевисайд, Электрик , стр. 212, 23 июля 1886 г., переиздано как « Электрические бумаги», том II , стр. 64, книжный магазин AMS, ISBN 0-8218-3465-7
- ^ Kennelly, Артур. Импеданс (AIEE, 1893)
- ^ Александр, Чарльз; Садику, Мэтью (2006). Основы электрических цепей (3, перераб.). Макгроу-Хилл. С. 387–389. ISBN 978-0-07-330115-0.
- ^ Комплексный импеданс , Гиперфизика
- ^ Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд (1989). «1» . Искусство электроники . Издательство Кембриджского университета. С. 31–32 . ISBN 978-0-521-37095-0.
- ^ Закон AC Ома , Гиперфизика
- ^ Горовиц, Пол; Хилл, Уинфилд (1989). «1» . Искусство электроники . Издательство Кембриджского университета. С. 32–33 . ISBN 978-0-521-37095-0.
- ^ Параллельные выражения импеданса , Гиперфизика
- ^ а б Джордж Льюис-младший; Джордж К. Льюис старший и Уильям Ольбрихт (август 2008 г.). «Экономичная широкополосная схема измерения электрического импеданса и анализ сигналов для пьезоматериалов и ультразвуковых преобразователей» . Измерительная наука и технология . 19 (10): 105102. Bibcode : 2008MeScT..19j5102L . DOI : 10.1088 / 0957-0233 / 19/10/105102 . PMC 2600501 . PMID 19081773 .
Внешние ссылки
- Объяснение импеданса
- Антенна Импеданс
- ECE 209: Обзор схем как систем LTI - Краткое объяснение анализа схем в области Лапласа; включает определение импеданса.