Комплексный случайный вектор

В теории вероятностей и статистике , сложный случайный вектор обычно представляет собой кортеж из сложных значных случайных величин , и , как правило , является случайной величиной со значениями в векторном пространстве над полем комплексных чисел. Если это комплексные случайные величины, то n -набор является комплексным случайным вектором. Сложные случайные величины всегда можно рассматривать как пары реальных случайных векторов: их действительную и мнимую части.${\ Displaystyle Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}}$${\ displaystyle \ left (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n} \ right)}$

Некоторые концепции реальных случайных векторов имеют прямое обобщение на сложные случайные векторы. Например, определение среднего значения сложного случайного вектора. Другие концепции уникальны для сложных случайных векторов.

Применения сложных случайных векторов можно найти в цифровой обработке сигналов .

Часть серии по статистике
Теория вероятности
Аксиомы вероятности
Вероятностное пространство Образец пространства Элементарное мероприятие Мероприятие Случайная переменная Вероятностная мера
Дополнительное мероприятие Совместная вероятность Предельная вероятность Условная возможность
Независимость Условная независимость Закон полной вероятности Закон больших чисел Теорема Байеса Неравенство Буля
Диаграмма Венна Древовидная диаграмма
v т е

Определение [ править ]

Сложный случайный вектор на вероятностном пространстве является функцией таких , что вектор является реальным реальным случайным вектором на котором обозначает действительную часть и обозначает мнимую часть . ^{[1] : стр. 292}${\ Displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} \ двоеточие \ Omega \ rightarrow \ mathbb {C} ^ {n}}$${\displaystyle (\Re {(Z_{1})},\Im {(Z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})},\Im {(Z_{n})})^{T}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \Re {(z)}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Im {(z)}}$${\displaystyle z}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Обобщение кумулятивной функции распределения от реальных до сложных случайных величин неочевидно, потому что выражения формы не имеют смысла. Однако выражения формы имеют смысл. Следовательно, кумулятивная функция распределения случайного вектора определяется как${\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }:\mathbb {C} ^{n}\mapsto [0,1]}$${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{n})^{T}}$

${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )=\operatorname {P} (\Re {(Z_{1})}\leq \Re {(z_{1})},\Im {(Z_{1})}\leq \Im {(z_{1})},\ldots ,\Re {(Z_{n})}\leq \Re {(z_{n})},\Im {(Z_{n})}\leq \Im {(z_{n})})}$

( Уравнение 1 )

где .${\displaystyle \mathbf {z} =(z_{1},...,z_{n})^{T}}$

Ожидание [ править ]

Как и в реальном случае, математическое ожидание (также называемое ожидаемым значением ) сложного случайного вектора берется покомпонентно. ^{[1] : стр. 293}

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=(\operatorname {E} [Z_{1}],\ldots ,\operatorname {E} [Z_{n}])^{T}}$

( Уравнение 2 )

Ковариационная матрица и псевдоковариационная матрица [ править ]

Определения [ править ]

Ковариационная матрица (также называемый второй центральный момент ) содержит ковариации между всеми парами компонентов. Ковариационная матрица случайного вектора - это матрица , ^th элементом которой является ковариация между i- ^й и j- ^й случайными величинами. ^{[2] : с.372} В отличие от реальных случайных величин, ковариация между двумя случайными величинами включает комплексное сопряжение одной из двух. Таким образом, ковариационная матрица является эрмитовой матрицей . ^{[1] : стр. 293}${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (i,j)}$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])}}]\end{bmatrix}}}$

Матрица псевдо-ковариации (также называется отношением матрица) , определяется следующим образом . В отличие от ковариационной матрицы, определенной выше, эрмитова транспозиция заменяется транспонированием в определении.

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])]\end{bmatrix}}}$

Свойства [ править ]

Ковариационная матрица - это эрмитова матрица , т.е. ^{[1] : p. 293}

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{H}=\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$.

Матрица псевдоковариации - это симметричная матрица , т. Е.

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }^{T}=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$.

Ковариационная матрица - это положительно полуопределенная матрица , т. Е.

${\displaystyle \mathbf {a} ^{H}\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}}$.

Матрицы ковариации действительной и мнимой частей [ править ]

Путь разложения случайного вектора в его действительную часть и мнимую часть (то есть ), матрица и может быть связана с ковариационными матрицами и с помощью следующих выражений:${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {X} =\Re {(\mathbf {Z} )}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =\Im {(\mathbf {Z} )}}$${\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} }$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (-\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }+\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\\&\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} })\end{aligned}}}$

и наоборот

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\\&\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {Y} }+i(\operatorname {K} _{\mathbf {Y} \mathbf {X} }+\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} })\end{aligned}}}$

Матрица кросс-ковариаций и матрица псевдокросс-ковариаций [ править ]

Определения [ править ]

Матрица кросса-ковариации между двумя комплексными случайными векторами определяются как:${\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,\mathbf {W} ]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{H}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{H}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{H}]}$

( Уравнение 5 )

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])}}]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])}}]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}]){\overline {(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])}}]\end{bmatrix}}}$

А матрица псевдокросс-ковариаций определяется как:

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {cov} [\mathbf {Z} ,{\overline {\mathbf {W} }}]=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]){(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])}^{T}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{T}]-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ^{T}]}$

( Уравнение 6 )

${\displaystyle \operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }={\begin{bmatrix}\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{1}-\operatorname {E} [Z_{1}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{2}-\operatorname {E} [Z_{2}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{1}-\operatorname {E} [W_{1}])]&\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{2}-\operatorname {E} [W_{2}])]&\cdots &\mathrm {E} [(Z_{n}-\operatorname {E} [Z_{n}])(W_{n}-\operatorname {E} [W_{n}])]\end{bmatrix}}}$

Некоррелированность [ править ]

Два комплексных случайных вектора и называются некоррелированными, если${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {J} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$.

Независимость [ править ]

Два комплексных случайных вектора и называются независимыми, если${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},...,Z_{m})^{T}}$${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},...,W_{n})^{T}}$

${\displaystyle F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )=F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )\cdot F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )\quad {\text{for all }}\mathbf {z} ,\mathbf {w} }$

( Ур.7 )

где и обозначают кумулятивные функции распределения и, как определено в уравнении 1, и обозначает их совместную кумулятивную функцию распределения. Независимость от и часто обозначается как . Написаны покомпонентно и называются независимыми, если${\displaystyle F_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )}$${\displaystyle F_{\mathbf {W} }(\mathbf {w} )}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle F_{\mathbf {Z,W} }(\mathbf {z,w} )}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {Z} \perp \!\!\!\perp \mathbf {W} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m},W_{1},\ldots ,W_{n}}(z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n})=F_{Z_{1},\ldots ,Z_{m}}(z_{1},\ldots ,z_{m})\cdot F_{W_{1},\ldots ,W_{n}}(w_{1},\ldots ,w_{n})\quad {\text{for all }}z_{1},\ldots ,z_{m},w_{1},\ldots ,w_{n}}$.

Круговая симметрия [ править ]

Определение [ править ]

Сложный случайный вектор называется циркулярно-симметричным, если для каждого детерминированного распределения равно распределению . ^{[3] : с. 500–501.}${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )}$${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Свойства [ править ]

• Математическое ожидание комплексного случайного вектора с круговой симметрией либо равно нулю, либо не определено. ^{[3] : с. 500}
• Матрица псевдоковариации циркулярно-симметричного комплексного случайного вектора равна нулю. ^{[3] : с. 584}

Правильные сложные случайные векторы [ править ]

Определение [ править ]

Сложный случайный вектор называется правильным, если выполняются следующие три условия: ^{[1] : p. 293}${\displaystyle \mathbf {Z} }$

• ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0}$ (нулевое среднее)
• ${\displaystyle \operatorname {var} [Z_{1}]<\infty ,\ldots ,\operatorname {var} [Z_{n}]<\infty }$ (все компоненты имеют конечную дисперсию)
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{T}]=0}$

Два комплексных случайных вектора называются совместно правильными , если составной случайный вектор является правильным.${\displaystyle \mathbf {Z} ,\mathbf {W} }$${\displaystyle (Z_{1},Z_{2},\ldots ,Z_{m},W_{1},W_{2},\ldots ,W_{n})^{T}}$

Свойства [ править ]

• Комплексный случайный вектор является правильным тогда и только тогда, когда для всех (детерминированных) векторов подходит комплексная случайная величина . ^{[1] : стр. 293}${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {c} ^{T}\mathbf {Z} }$
• Линейные преобразования правильных комплексных случайных векторов являются собственными, т. Е. Если это собственные случайные векторы с компонентами и являются детерминированной матрицей, то комплексный случайный вектор также является правильным. ^{[1] : стр. 295}${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A\mathbf {Z} }$
• Каждый циркулярно-симметричный комплексный случайный вектор с конечной дисперсией всех его компонент является собственным. ^{[1] : стр. 295}
• Существуют правильные комплексные случайные векторы, которые не являются циркулярно-симметричными. ^{[1] : стр. 504}
• Настоящий случайный вектор является правильным тогда и только тогда, когда он постоянен.
• Два совместно правильных комплексных случайных вектора некоррелированы тогда и только тогда, когда их матрица ковариации равна нулю, т . Е. Если .${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=0}$

Неравенство Коши-Шварца [ править ]

Неравенство Коши-Шварца для комплексных случайных векторов

${\displaystyle \left|\operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {W} ]\right|^{2}\leq \operatorname {E} [\mathbf {Z} ^{H}\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [|\mathbf {W} ^{H}\mathbf {W} |]}$.

Характеристическая функция [ править ]

Характеристическая функция комплексного случайного вектора с компонентами является функция определяется по формуле: ^{[1] : р. 295}${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \varphi _{\mathbf {Z} }(\mathbf {\omega } )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {(\mathbf {\omega } ^{H}\mathbf {Z} )}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega _{1})}\Re {(Z_{1})}+\Im {(\omega _{1})}\Im {(Z_{1})}+\cdots +\Re {(\omega _{n})}\Re {(Z_{n})}+\Im {(\omega _{n})}\Im {(Z_{n})})}\right]}$

См. Также [ править ]

• Комплексная случайная величина

Ссылки [ править ]