Выпуклость (финансы)

В финансовой математике , выпуклость относится к нелинейность в финансовой модели . Другими словами, если цена базовой переменной изменяется, цена выхода не изменяется линейно, а зависит от второй производной (или, грубо говоря, членов высшего порядка ) функции моделирования. Геометрически модель уже не плоская, а изогнутая, а степень кривизны называется выпуклостью.

Терминология [ править ]

Строго говоря, выпуклость относится ко второй производной выходной цены по отношению к входной цене. В производных ценах это упоминается как Гамма (Γ), одна из греков . На практике наиболее значительным из них является выпуклость облигации , вторая производная цены облигации по отношению к процентным ставкам.

Поскольку вторая производная является первым нелинейным членом и, следовательно, часто наиболее значительным, «выпуклость» также широко используется для обозначения нелинейностей в целом, включая члены более высокого порядка. Уточнение модели для учета нелинейностей называется коррекцией выпуклости .

Математика [ править ]

Формально поправка на выпуклость возникает из неравенства Йенсена в теории вероятностей: ожидаемое значение выпуклой функции больше или равно функции ожидаемого значения:

{\ Displaystyle E [е (X)] \ geq f (E [X]).}

Геометрически, если цена модели изгибается вверх по обе стороны от приведенной стоимости (функция выплаты выпуклая вверх и находится выше касательной в этой точке), то, если цена базового актива изменяется, цена выпуска больше. чем моделируется с использованием только первой производной. И наоборот, если цена модели изгибается вниз (выпуклость отрицательная, функция выплаты ниже касательной), цена выпуска ниже, чем при моделировании с использованием только первой производной. ^{[ требуется разъяснение ]}

Точная корректировка выпуклости зависит от модели будущих движений цены базового актива (распределение вероятностей) и от модели цены, хотя она линейна по выпуклости (вторая производная функции цены).

Интерпретация [ править ]

Выпуклость может использоваться для интерпретации ценообразования производных финансовых инструментов: математически выпуклость - это опциональность - цена опциона (значение опционности) соответствует выпуклости базовой выплаты.

При ценообразовании опционов Блэка – Шоулза без учета процентных ставок и первой производной уравнение Блэка – Шоулза сводится к «(бесконечно малым) величина времени - это выпуклость». То есть стоимость опциона обусловлена выпуклостью конечной выплаты: у каждого есть возможность покупать актив или нет (в колл; для пут - это опцион на продажу), и конечная функция выплаты ( клюшка форма) выпукло - «необязательность» соответствует выпуклости в выплате. Таким образом, если кто-то покупает опцион колл, ожидаемая стоимость опциона выше. ${\ Displaystyle \ Theta = - \ Gamma,}$ чем просто взять ожидаемую будущую стоимость базового актива и ввести ее в функцию выплаты по опциону: ожидаемое значение выпуклой функции выше, чем функция ожидаемой стоимости (неравенство Дженсена). Цена опциона - значение возможности - таким образом, отражает выпуклость функции выплаты ^{[ требуется пояснение ]} .

Эта ценность изолирована с помощью стрэддла - покупка стрэддла при деньгах (стоимость которого увеличивается, если цена базового актива увеличивается или уменьшается) не имеет (изначально) дельты: вы просто покупаете выпуклость (опциональность), не открывая позицию. по базовому активу - выигрывает от степени движения, а не от направления .

С точки зрения управления рисками, долгая выпуклость (с положительной гаммой и, следовательно (без учета процентных ставок и дельты) отрицательной тета) означает, что человек получает выгоду от волатильности (положительная гамма), но со временем теряет деньги (отрицательная тета) чистая прибыль, если цены изменятся больше, чем ожидалось, и чистые убытки, если цены изменятся меньше, чем ожидалось.

Корректировка выпуклости [ править ]

С точки зрения моделирования, корректировки выпуклости возникают каждый раз, когда моделируемые базовые финансовые переменные не являются мартингейлом по показателю ценообразования . Применение теоремы Гирсанова ^[1] позволяет выразить динамику смоделированных финансовых переменных в рамках меры ценообразования и, следовательно, оценить эту поправку на выпуклость. Типичные примеры корректировки выпуклости включают:

Опционы кванто : базовый актив выражается в валюте, отличной от валюты платежа. Если дисконтированный базовый актив является мартингейлом в соответствии с его нейтральной мерой в отношении внутреннего риска, он больше не находится в рамках меры, нейтральной к валютному риску платежа.
Свопы с постоянным сроком погашения (CMS) (свопы, кэп / минимумы) ^[2]
Анализ спреда с поправкой на опцион (OAS) для ценных бумаг с ипотечным покрытием или других облигаций с правом отзыва
Расчет форвардной ставки IBOR по фьючерсам на евродоллар
Форвардные контракты IBOR по рыночной модели LIBOR (LMM)

Ссылки [ править ]

^ D. Papaioannou (2011): "Прикладная многомерная теорема Гирсанова", SSRN
^ П. Хаган (2003) Convexity Conundrums: Pricing CMS Swaps, Caps, and Floors, Wilmott Magazine, Архивировано 15 апреля 2012 г. в Wayback Machine.

Бенхаму, Эрик, Глобальные деривативы: продукты, теория и практика, стр. 111–120 , 5.4 Корректировка выпуклости (особенно 5.4.1 Коррекция выпуклости) ISBN 978-981-256-689-8
Пелссер, Антон. «Математические основы коррекции выпуклости». SSRN 267995 . Цитировать журнал требует |journal=( помощь )

[1] D. Papaioannou (2011): "Прикладная многомерная теорема Гирсанова", SSRN

[2] П. Хаган (2003) Convexity Conundrums: Pricing CMS Swaps, Caps, and Floors, Wilmott Magazine, Архивировано 15 апреля 2012 г. в Wayback Machine.

[1]