В математике , физике и химии , теория возмущений содержит математические методы для нахождения приближенного решения для задачи, исходя из точного решения связанной с ним, более простой задачей. [1] [2] Важной особенностью метода является средний шаг, который разбивает проблему на «решаемую» и «пертурбативную» части. [3] В теории возмущений решение выражается степенным рядом с малым параметром.. [1] [2] Первый член - это известное решение разрешимой проблемы. Последовательные члены в ряду при более высоких степеняхобычно становятся меньше. Приближенное «решение возмущения» получается путем усечения ряда, обычно с сохранением только первых двух членов, решения известной проблемы и поправки на возмущение «первого порядка».
Теория возмущений используется в широком диапазоне областей и достигает своих наиболее сложных и продвинутых форм в квантовой теории поля . Теория возмущений (квантовая механика) описывает использование этого метода в квантовой механике . Эта область в целом остается активно и интенсивно исследуемой во многих дисциплинах.
Описание
Теория возмущений разрабатывает выражение для искомого решения в терминах формального степенного ряда, известного как ряд возмущений по некоторому «малому» параметру, который количественно определяет отклонение от точно решаемой задачи. Главный член в этом степенном ряду - это решение точно решаемой задачи, в то время как дополнительные члены описывают отклонение в решении из-за отклонения от исходной задачи. Формально у нас есть для приближения к полному решению A ряд по малому параметру (здесь называется ε ), например следующий:
В этом примере A 0 будет известным решением точно решаемой начальной задачи, а A 1 , A 2 , ... представляют члены первого , второго и более высокого порядка , которые могут быть найдены итеративно с помощью механического процедура. При малых ε эти члены высшего порядка в ряду обычно (но не всегда) последовательно уменьшаются. Приближенное «пертурбативное решение» получается путем усечения ряда, часто с сохранением только первых двух членов, выражая окончательное решение как сумму начального (точного) решения и пертурбативной поправки «первого порядка».
Некоторые авторы используют большую нотацию O, чтобы указать порядок ошибки в приближенном решении:. [2]
Если степенной ряд по ε сходится с ненулевым радиусом сходимости, проблема возмущения называется регулярной задачей возмущения. [1] В задачах с регулярными возмущениями асимптотическое решение плавно приближается к точному. [1] Однако ряд возмущений также может расходиться, и усеченный ряд по-прежнему может быть хорошим приближением к истинному решению, если он усечен в точке, в которой его элементы минимальны. Это называется асимптотическим рядом . Если ряд возмущений расходится или не является степенным (например, асимптотическое разложение имеет нецелые степени или отрицательные силы ), то проблема возмущения называется проблемой сингулярного возмущения . [1] Многие специальные методы теории возмущений были разработаны для анализа проблем с сингулярными возмущениями. [1] [2]
Прототипный пример
Самое раннее использование того, что сейчас называлось бы теорией возмущений, заключалось в рассмотрении неразрешимых иначе математических проблем небесной механики : например, орбита Луны , которая движется заметно иначе, чем простой кеплеровский эллипс из-за конкурирующей гравитации Земли и Солнце . [4]
Методы возмущений начинаются с упрощенной формы исходной задачи, которая достаточно проста для точного решения. В небесной механике это обычно кеплеровский эллипс . В соответствии с ньютоновской гравитацией эллипс является абсолютно правильным, когда есть только два гравитирующих тела (скажем, Земля и Луна ), но не совсем правильным, когда есть три или более объекта (скажем, Земля, Луна , Солнце и остальные объекты). солнечная система ) и не совсем правильно , когда гравитационное взаимодействие указано с помощью формулировки из общей теории относительности .
Пертурбативное расширение
Имея в виду приведенный выше пример, можно следовать общему рецепту для получения ряда возмущений. Пертурбативное разложение создается путем добавления последовательных поправок к упрощенной задаче. Поправки получаются путем обеспечения согласованности между невозмущенным решением и уравнениями, полностью описывающими систему. Писатьдля этого набора уравнений; то есть пусть символстоять на пути к решению проблемы. Нередко это дифференциальные уравнения, отсюда и буква «Д».
Процесс обычно механический, хотя и трудоемкий. Начнем с написания уравнений так что они разделились на две части: некоторый набор уравнений который может быть решен точно, и еще немного для небольшого . Решение (к ) известно, и ищется общее решение к .
Каждый поступает, «поворачивая рукоятку» или «забивая и пыхтя»: вставьте приближение в . Это приводит к уравнению для, который в общем случае может быть записан в замкнутом виде в виде суммы по интегралам по . Таким образом, получена поправка первого порядка и поэтому хорошее приближение к . Это хорошее приближение именно потому, что проигнорированные части имели размер. Затем процесс можно повторить, чтобы получить исправления., и так далее.
На практике этот процесс быстро превращается в огромное количество терминов, которыми становится чрезвычайно трудно управлять вручную. Исаак Ньютон , как сообщается, сказал, что касается задачи о Луне орбиты «s, что „Он возводит мою голову к боли.“ [5] Эта неуправляемость вынудила теорию возмущений развиться в высокое искусство управления и записи этих членов более высокого порядка. Одним из фундаментальных достижений в управлении расширением являются диаграммы Фейнмана , которые позволяют схематически записывать ряды возмущений.
Примеры
Теория возмущений использовалась в большом количестве различных областей физики и прикладной математики. Примеры «сборника уравнений»включают алгебраические уравнения , [6] дифференциальные уравнения (например, уравнения движения [7] и обычно волновые уравнения ), термодинамическую свободную энергию в статистической механике , перенос излучения [8] и гамильтоновы операторы в квантовой механике .
Примеры видов решений, которые обнаруживаются пертурбативно, включают решение уравнения ( например , траекторию частицы), среднее статистическое значение некоторой физической величины ( например , средней намагниченности), энергию основного состояния квантово-механической задачи.
Примеры точно решаемых задач, которые можно использовать в качестве отправных точек, включают линейные уравнения , включая линейные уравнения движения ( гармонический осциллятор , линейное волновое уравнение ), статистические или квантово-механические системы невзаимодействующих частиц (или, в общем, гамильтонианы или свободные энергии содержащие только члены, квадратичные по всем степеням свободы).
Примеры систем, которые могут быть решены с помощью возмущений, включают системы с нелинейными вкладами в уравнения движения, взаимодействия между частицами, члены более высоких степеней в гамильтониане / свободной энергии.
Для физических задач, связанных с взаимодействием между частицами, члены ряда возмущений могут отображаться (и управляться) с помощью диаграмм Фейнмана .
История
Теория возмущений была впервые разработана для решения трудноразрешимых проблем при вычислении движения планет в Солнечной системе. Например, закон всемирного тяготения Ньютона объясняет гравитацию между двумя астрономическими телами, но когда добавляется третье тело, проблема заключалась в следующем: «Как каждое тело притягивает каждое?» Уравнение Ньютона позволяло анализировать массу только двух тел. Постепенно возрастающая точность астрономических наблюдений привела к возрастающим требованиям к точности решений уравнений гравитации Ньютона, что привело к тому, что несколько известных математиков 18-го и 19-го веков, таких как Лагранж и Лаплас , расширили и обобщили методы теории возмущений.
Эти хорошо разработанные методы возмущений были приняты и адаптированы для решения новых проблем, возникающих в процессе развития квантовой механики в атомной и субатомной физике 20-го века. Поль Дирак разработал квантовую теорию возмущений в 1927 году, чтобы оценить, когда частица будет испускаться в радиоактивных элементах. Позже это было названо золотым правилом Ферми . [9] [10] Теория возмущений в квантовой механике довольно доступна, поскольку квантовая система обозначений позволяет записывать выражения в довольно компактной форме, что облегчает их понимание. В результате появилось множество приложений, от эффекта Зеемана до сверхтонкого расщепления в атоме водорода .
Несмотря на более простые обозначения, теория возмущений в применении к квантовой теории поля все еще легко выходит из-под контроля. Ричард Фейнман разработал знаменитые диаграммы Фейнмана , заметив, что многие термины регулярно повторяются. Эти термины могут быть заменены точками, линиями, волнистыми линиями и подобными знаками, каждый из которых обозначает член, знаменатель, интеграл и т. Д .; таким образом, сложные интегралы могут быть записаны в виде простых диаграмм без всякой двусмысленности в том, что они означают. Однозначное соответствие между диаграммами и конкретными интегралами - вот что придает им силу. Хотя изначально она была разработана для квантовой теории поля, оказалось, что диаграммная техника широко применима ко всем пертурбативным рядам (хотя, возможно, не всегда так полезна).
Во второй половине 20-го века, по мере развития теории хаоса , стало ясно, что невозмущенные системы в целом являются полностью интегрируемыми системами , а возмущенные системы - нет. Это быстро привело к изучению «почти интегрируемых систем», каноническим примером которых является тор КАМ . В то же время было также обнаружено, что многие (довольно специальные) нелинейные системы , которые ранее были доступны только с помощью теории возмущений, на самом деле полностью интегрируемы. Это открытие было весьма драматичным, поскольку позволило дать точные решения. Это, в свою очередь, помогло прояснить смысл пертурбативного ряда, так как теперь можно было сравнивать результаты ряда с точными решениями.
Улучшение понимания динамических систем, пришедшее из теории хаоса, помогло пролить свет на то, что было названо проблемой малого знаменателя или проблемой малого делителя . В XIX веке было замечено ( Пуанкаре и, возможно, ранее), что иногда члены 2-го и более высокого порядка в пертурбативном ряду имеют «малые знаменатели». То есть имеют общий вид где , а также некоторые сложные выражения, относящиеся к решаемой проблеме, и а также настоящие числа; очень часто они являются энергией в нормальных режимах . Проблема малого делителя возникает, когда разностьмала, в результате чего пертурбативная поправка резко возрастает, становясь такой же или, возможно, большей, чем член нулевого порядка. Эта ситуация сигнализирует о крахе теории возмущений: она перестает работать на этом этапе и не может быть расширена или суммирована дальше. Формально пертурбативный ряд представляет собой асимптотический ряд : полезное приближение для нескольких членов, но в конечном итоге неточное. Прорыв в теории хаоса был объяснением того, почему это произошло: малые делители возникают всякий раз, когда теория возмущений применяется к хаотической системе. Один сигнализирует о присутствии другого.
Начало изучения движения планет
Поскольку планеты очень удалены друг от друга и поскольку их масса мала по сравнению с массой Солнца, гравитационными силами между планетами можно пренебречь, и движение планет в первом приближении считается происходящим. по орбитам Кеплера, которые определяются уравнениями задачи двух тел, причем этими двумя телами являются планета и Солнце. [11]
Поскольку астрономические данные стали известны с гораздо большей точностью, возникла необходимость рассмотреть, как движение одной планеты вокруг Солнца зависит от других планет. Отсюда возникла проблема трех тел ; Таким образом, при изучении системы Луна – Земля – Солнце в качестве малого параметра было выбрано отношение масс Луны и Земли. Лагранж и Лаплас были первыми, кто выдвинул точку зрения, согласно которой константы, описывающие движение планеты вокруг Солнца, как бы "возмущаются" движением других планет и изменяются как функция времени; отсюда и название «теория возмущений». [11]
Теория возмущений была исследована классиками - Лапласом , Пуассоном , Гауссом , в результате чего вычисления могли быть выполнены с очень высокой точностью. Открытие планеты Нептун в 1848 году Урбеном Леверье , основанное на отклонениях в движении планеты Уран (он отправил координаты Иоганну Готфриду Галле, который успешно наблюдал Нептун в свой телескоп), стало триумфом теории возмущений. [11]
Порядок возмущения
Стандартное изложение теории возмущений дается в терминах порядка, в котором выполняется возмущение: теория возмущений первого порядка или теория возмущений второго порядка, а также то, являются ли возмущенные состояния вырожденными, что требует сингулярного возмущения . В единственном случае следует проявлять особую осторожность, и теория становится немного более сложной.
В химии
Многие из ab initio методов квантовой химии напрямую используют теорию возмущений или являются тесно связанными с ними методами. Неявная теория возмущений [12] работает с полным гамильтонианом с самого начала и никогда не определяет оператор возмущения как таковой. В теории возмущений Меллера – Плессета в качестве возмущения используется разница между гамильтонианом Хартри – Фока и точным нерелятивистским гамильтонианом. Энергия нулевого порядка - это сумма орбитальных энергий. Энергия первого порядка - это энергия Хартри-Фока, и электронная корреляция включается во втором порядке или выше. Вычисления второго, третьего или четвертого порядка очень распространены, и код включен в большинство программ квантовой химии ab initio . Связанный, но более точный метод - метод связанных кластеров .
Смотрите также
- Космологическая теория возмущений
- Деформация (математика)
- Динамическая ядерная поляризация
- Возмущение собственных значений
- Метод гомотопических возмущений
- Интервальный МКЭ
- Ляпуновская устойчивость
- Порядок приближения
- Теория возмущений (квантовая механика)
- Структурная устойчивость
Рекомендации
- ^ a b c d e f Бендер, Карл М. (1999). Современные математические методы для ученых и инженеров I: асимптотические методы и теория возмущений . Стивен А. Орзаг. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 978-1-4757-3069-2. OCLC 851704808 .
- ^ а б в г Холмс, Марк Х. (2013). Введение в методы возмущений (2-е изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4614-5477-9. OCLC 821883201 .
- ^ Уильям Э. Визель (2010). Современная астродинамика . Огайо: Aphelion Press. п. 107. ISBN 978-145378-1470.
- ^ Мартин К. Гуцвиллер, "Луна-Земля-Солнце: старейшая проблема трех тел", Rev. Mod. Phys. 70, 589 - Опубликовано 1 апреля 1998 г.
- ^ Кроппер, Уильям Х. (2004), Великие физики: жизнь и времена ведущих физиков от Галилея до Хокинга , Oxford University Press , стр. 34, ISBN 978-0-19-517324-6.
- ^ Л. А. Ромеро, "Теория возмущений для многочленов", Лекционные заметки, Университет Нью-Мексико (2013)
- ^ Сергей Виницкий, "Теория возмущений для ангармонических колебаний", Конспект лекций, LMU (2006)
- ^ Майкл А. Бокс, "Теория радиационных возмущений: обзор", Environmental Modeling & Software 17 (2002) 95–106
- ^ Bransden, BH; Иоахайн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). п. 443. ISBN. 978-0582356917.
- ^ Дирак, РАМ (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория излучения и поглощения излучения» . Труды Королевского общества А . 114 (767): 243–265. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . DOI : 10.1098 / RSPA.1927.0039 . JSTOR 94746 . См. Уравнения (24) и (32).
- ^ a b c Теория возмущений. Н. Н. Боголюбов, мл. (составитель), Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Perturbation_theory&oldid=11676
- ^ Король, Матча (1976). «Теория химической связи». JACS . 98 (12): 3415–3420. DOI : 10.1021 / ja00428a004 .
Внешние ссылки
- ван ден Эйнден, Эрик . «Введение в теорию регулярных возмущений» (PDF) .
- «Метод возмущений нескольких масштабов» .
- Альтернативный подход к квантовой теории возмущений Martínez-Carranza, J .; Сото-Эгибар, Ф .; Моя-Сесса, Х. (2012). «Альтернативный анализ теории возмущений в квантовой механике». Европейский физический журнал D . 66 : 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode : 2012EPJD ... 66 ... 22M . DOI : 10.1140 / epjd / e2011-20654-5 . S2CID 117362666 .