Определимое действительное число

В этой статье есть встроенные цитаты , но они не отформатированы должным образом . Пожалуйста, улучшите эту статью, исправив их . Ссылки в скобках устарели ; преобразовать в сокращенные сноски . ( Сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Корень квадратный из 2 равен длиной гипотенузы в виде прямоугольного треугольника с ногами длиной 1 и, следовательно , является построимо номер

Неформально определяемое действительное число - это действительное число, которое может быть однозначно определено его описанием. Описание может быть выражено как конструкция или как формула формального языка . Например, положительный квадратный корень из 2,, может быть определен как единственное положительное решение уравнения , и его можно построить с помощью циркуля и линейки.${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle x ^ {2} = 2}$

Различный выбор формального языка или его интерпретации может привести к разным представлениям об определимости. Конкретные разновидности определяемых чисел включают конструктивные числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа . Поскольку формальные языки могут иметь только счетное число формул, каждое понятие определимых чисел имеет самое большее счетное число определимых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора , существует несчетное количество действительных чисел, поэтому почти каждое действительное число не поддается определению.

Конструируемые числа [ править ]

Один из способов указать действительное число - использовать геометрические методы. Действительное число r является конструктивным числом, если существует метод построения линейного сегмента длиной r с использованием циркуля и линейки, начиная с фиксированного линейного сегмента длиной 1.

Каждое положительное целое число и каждое положительное рациональное число можно построить. Положительный квадратный корень из 2 можно построить. Однако кубический корень из 2 невозможно построить; это связано с невозможностью удвоения куба .

Действительные алгебраические числа [ править ]

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные по степени (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

Действительное число r называется действительным алгебраическим числом, если существует многочлен p ( x ) с только целыми коэффициентами, так что r является корнем числа p , то есть p ( r ) = 0. Каждое вещественное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка вещественных чисел. Например, если многочлен q ( x ) имеет 5 корней, третий можно определить как уникальное r, такое что q ( r ) = 0 и такое, что есть два различных числа меньше r, для которых q равно нулю.

Все рациональные числа алгебраичны, и все конструктивные числа алгебраичны. Есть числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не конструктивными.

Действительные алгебраические числа образуют подполе действительных чисел. Это означает, что 0 и 1 - алгебраические числа и, более того, если a и b - алгебраические числа, то также a + b , a - b , ab и, если b ненулевое, a / b .

Действительные алгебраические числа также обладают свойством, выходящим за рамки подполя вещественных чисел, что для каждого положительного целого числа n и каждого действительного алгебраического числа a все корни n- й степени числа a, которые являются действительными числами, также являются алгебраическими.

Существует только счетное количество алгебраических чисел, но существует несчетное количество действительных чисел, поэтому в смысле мощности большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Это неконструктивное доказательство того, что не все действительные числа являются алгебраическими, было впервые опубликовано Георгом Кантором в его статье 1874 года « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ».

Неалгебраические числа называются трансцендентными числами . Конкретные примеры трансцендентных чисел включают π и число Эйлера e .

Вычислимые действительные числа [ править ]

Действительное число - это вычислимое число, если существует алгоритм, который, учитывая натуральное число n , производит десятичное разложение для числа с точностью до n десятичных знаков. Это понятие было введено Аланом Тьюрингом в 1936 году.

Вычислимые числа включают алгебраические числа наряду со многими трансцендентными числами, включая π и  e . Как и алгебраические числа, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты относительно получения корней n- й степени для каждого положительного  n .

Не все действительные числа вычислимы. Весь набор вычислимых чисел исчисляем, поэтому большинство действительных чисел не вычислимы. Конкретные примеры невычислимых действительных чисел включают пределы последовательностей Спекера и алгоритмически случайные действительные числа, такие как числа Чейтина .

Определимость в арифметике [ править ]

Другое понятие определимости происходит из формальных теорий арифметики, таких как арифметика Пеано . В языке арифметики есть символы для 0, 1, операции-преемника, сложения и умножения, предназначенные для интерпретации обычным образом над натуральными числами . Поскольку никакие переменные этого языка не могут превышать действительные числа , для обращения к действительным числам требуется другой вид определимости. Действительное число a может быть определено на языке арифметики (или арифметики ), если его дедекиндовое сокращение может быть определено как предикат на этом языке; то есть, если существует формула первого порядкаφ на языке арифметики с тремя свободными переменными такими, что

${\displaystyle \forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).}$

Здесь m , n и p принимают значения неотрицательных целых чисел.

Язык второго порядка арифметики такого же , как язык первого порядка, за исключением того, что переменные и кванторы разрешено пробегают множества натуральных чисел. Действительное число, определяемое на языке арифметики второго порядка, называется аналитическим .

Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, а арифметические числа образуют подполе действительных чисел, как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует только счетное количество аналитических чисел, большинство действительных чисел не являются аналитическими и, следовательно, не являются арифметическими.

Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число вычислимо. Например, предел последовательности Спекера - это арифметическое число, которое невозможно вычислить.

Определения арифметических и аналитических вещественных чисел можно разделить на арифметическую иерархию и аналитическую иерархию . В общем, вещественное число вычислимо тогда и только тогда, когда его дедекиндовский разрез находится на уровне арифметической иерархии, одном из самых низких уровней. Точно так же действительные числа с арифметическими дедекиндовыми разрезами образуют самый нижний уровень аналитической иерархии.${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$

Возможность определения в моделях ZFC [ править ]

Действительное число является первым порядок определимо в языке теории множеств, без параметров , если существует формула φ на языке теории множеств , с одной свободными переменным , таким образом, что является единственным действительным числом такого , что φ ( ) (см. Кунен 1980 , с. 153). Это понятие нельзя выразить в виде формулы на языке теории множеств.

Все аналитические числа, и в особенности все вычислимые числа, могут быть определены на языке теории множеств. Таким образом, действительные числа, определяемые на языке теории множеств, включают в себя все знакомые действительные числа, такие как 0 , 1 , π , e и т. Д., А также все алгебраические числа. Предполагая, что они образуют набор в модели, действительные числа, определяемые на языке теории множеств в конкретной модели ZFC, образуют поле.

Каждая модель множеств M теории множеств ZFC, которая содержит несчетное количество действительных чисел, должна содержать действительные числа, которые не могут быть определены в пределах M (без параметров). Это следует из того факта , что существует лишь счетное множество формул, и поэтому лишь счетное число элементов М могут быть определимы над M . Таким образом, если M имеет несчетное множество действительных чисел, мы можем доказать от «внешних» М , что не каждое вещественное число М определимо над М .

Этот аргумент становится более проблематичным, если его применить к моделям классов ZFC, таким как вселенная фон Неймана ( Hamkins 2010 ). Аргумент, который применяется к моделям множества, не может быть напрямую обобщен на модели классов в ZFC, потому что свойство «действительное число x может быть определено в модели класса N » не может быть выражено как формула ZFC. Точно так же вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, не может быть выражен в виде предложения на языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых все действительные числа, все наборы действительных чисел, функции на действительных числах и т. Д. Являются определяемыми ( Hamkins, Linetsky & Reitz 2013 ).

См. Также [ править ]

• Парадокс Берри
• Конструируемая вселенная
• Entscheidungsproblem
• Порядковый определяемый набор
• Теорема Тарского о неопределенности

Ссылки [ править ]

• Хэмкинс, Джоэл Дэвид (октябрь 2010 г.), «Является ли анализ в том виде, в каком его преподают в университетах, на самом деле анализом определяемых чисел?» , MathOverflow , получено 5 марта 2016 г..
• Хэмкинс, Джоэл Дэвид; Линецкий, Давид; Рейц, Йонас (2013), «Точечно определяемые модели теории множеств», Журнал символической логики , 78 (1): 139–156, arXiv : 1105.4597 , doi : 10.2178 / jsl.7801090 , S2CID  43689192.
• Кунен, Кеннет (1980), Теория множеств: Введение в доказательства независимости , Амстердам: Северная Голландия, ISBN 978-0-444-85401-8.
• Тьюринг, AM (1936), «О вычислимых числах в приложении к Entscheidungsproblem» , Proceedings of the London Mathematical Society , 2 (опубликовано в 1937 г.), 42 (1), стр. 230–65, doi : 10.1112 / plms / с2-42.1.230(и Тьюринг, AM (1938), «О вычислимых числах, с приложением к Entscheidungsproblem: исправление», Proceedings of the London Mathematical Society , 2 (опубликовано 1937), 43 (6), стр. 544–6, doi : 10.1112 / плмс / с2-43.6.544). В этой статье были представлены вычислимые числа (и а-машины Тьюринга); определение вычислимых чисел использует бесконечные десятичные последовательности.

Внешние ссылки [ править ]

• Можно ли указать каждое число конечным текстом?