Сумматорная функция делителя

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для

{\ displaystyle x <10 ^ {4}}

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для

{\ displaystyle x <10 ^ {7}}

Сумматорная функция с удаленными ведущими членами для , изображенная в виде распределения или гистограммы. Вертикальный масштаб не является постоянным слева направо; нажмите на изображение для подробного описания.

{\ displaystyle x <10 ^ {7}}

В теории чисел , в делителе Сумматорной функцией является функцией , которая является суммой по функции делителей . Это часто встречается при изучении асимптотического поведения дзета-функции Римана . Различные исследования поведения функции делителей иногда называют проблемами делителей .

Определение [ править ]

Сумматорная функция делителей определяется как

{\ displaystyle D (x) = \ sum _ {n \ leq x} d (n) = \ sum _ {j, k \ attop jk \ leq x} 1}

где

d(n)=\sigma _{0}(n)=\sum _{j,k \atop jk=n}1

- функция делителя . Функция делителя подсчитывает количество способов, которыми целое число n может быть записано как произведение двух целых чисел. В более общем плане можно определить

D_{k}(x)=\sum _{n\leq x}d_{k}(n)=\sum _{m\leq x}\sum _{mn\leq x}d_{k-1}(n)

где d _k ( n ) подсчитывает количество способов, которыми n может быть записано как произведение k чисел. Эту величину можно представить как количество точек решетки, отгороженных гиперболической поверхностью в k измерениях. Таким образом, для k = 2 D ( x ) = D ₂ ( x ) подсчитывает количество точек на квадратной решетке, ограниченной слева вертикальной осью, снизу горизонтальной осью и верхней. справа по гиперболе jk = x . Грубо говоря, эту форму можно представить как гиперболический симплекс.. Это позволяет нам предоставить альтернативное выражение для D ( x ) и простой способ вычислить его во времени: $O({\sqrt {x}})$

D(x)=\sum _{k=1}^{x}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor =2\sum _{k=1}^{u}\left\lfloor {\frac {x}{k}}\right\rfloor -u^{2}

, где

u=\left\lfloor {\sqrt {x}}\right\rfloor

Если гипербола в этом контексте заменяется кругом, то определение значения результирующей функции известно как проблема круга Гаусса .

Последовательность D (n) (последовательность A006218 в OEIS ):
0, 1, 3, 5, 8, 10, 14, 16, 20, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 45, 50, 52, 58, 60, 66, 70, 74, 76, 84, 87, 91, 95, 101, 103, 111, ...

Проблема делителей Дирихле [ править ]

Нахождение замкнутой формы для этого суммированного выражения, кажется, выходит за рамки доступных методов, но можно дать приближения. Ведущее поведение серии определяется

D(x)=x\log x+x(2\gamma -1)+\Delta (x)\

где - постоянная Эйлера – Маскерони , а член ошибки равен $\gamma$

\Delta (x)=O\left({\sqrt {x}}\right).

Здесь обозначает нотацию Big-O . Эта оценка может быть доказана с помощью метода гиперболы Дирихля , и впервые была установлена Дирихлем в 1849. ^[1]^:^37-38,69 проблемы делителей Дирихля , точно указано, чтобы улучшить эту ошибку , связанную, находя наималейшее значение для который $O$ $\theta$

\Delta (x)=O\left(x^{\theta +\epsilon }\right)

верно для всех . На сегодняшний день эта проблема остается нерешенной. Прогресс был медленным. Многие из тех же методов работают для этой задачи и для задачи о круге Гаусса , другой задачи подсчета точек решетки. В разделе F1 « Нерешенные проблемы теории чисел» ^[2] содержится обзор того, что известно и что неизвестно об этих проблемах. $\epsilon >0$

В 1904 г. Г. Вороной доказал, что член ошибки можно улучшить до ^[3]^:³⁸¹ $O(x^{1/3}\log x).$
В 1916 году это показал Г. Х. Харди . В частности, он продемонстрировал, что для некоторой константы существуют значения x, для которых и значения x, для которых . ^[1]^:⁶⁹ $\inf \theta \geq 1/4$ $K$ $\Delta (x)>Kx^{1/4}$ $\Delta (x)<-Kx^{1/4}$
В 1922 г. Й. ван дер Корпут улучшил привязку Дирихле к . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 33/100=0.33$
В 1928 г. это доказал Й. ван дер Корпут . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 27/82=0.3{\overline {29268}}$
В 1950 году Чжи Цзун-дао и независимо в 1953 году Х.Э. Ричерт доказали это . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 15/46=0.32608695652...$
В 1969 году это продемонстрировал Григорий Колесник . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 12/37=0.{\overline {324}}$
В 1973 году это продемонстрировал Григорий Колесник . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 346/1067=0.32427366448...$
В 1982 году это продемонстрировал Григорий Колесник . ^[3]^:³⁸¹ $\inf \theta \leq 35/108=0.32{\overline {407}}$
В 1988 г. это доказали Х. Иванец и К.Дж. Моззочи . ^[4] $\inf \theta \leq 7/22=0.3{\overline {18}}$
В 2003 году М. Н. Хаксли улучшил это, чтобы показать это . ^[5] $\inf \theta \leq 131/416=0.31490384615...$

Итак, лежит где-то между 1/4 и 131/416 (приблизительно 0,3149); широко распространено предположение, что оно составляет 1/4. Теоретические данные подтверждают эту гипотезу, поскольку имеет (негауссовское) предельное распределение. ^[6] Значение 1/4 также следует из гипотезы о парах экспонент . ^[7] $\inf \theta$ $\Delta (x)/x^{1/4}$

Проблема делителя Пильца [ править ]

В обобщенном случае

D_{k}(x)=xP_{k}(\log x)+\Delta _{k}(x)\,

где - многочлен степени . Используя простые оценки, легко показать, что $P_{k}$ $k-1$

\Delta _{k}(x)=O\left(x^{1-1/k}\log ^{k-2}x\right)

для целого числа . Как и в случае, точная нижняя грань границы неизвестна ни для какого значения . Вычисление этой инфимы известно как проблема делителей Пильца по имени немецкого математика Адольфа Пильца (см. Также его немецкую страницу). Определение порядка как наименьшего значения, для которого выполняется для любого , дает следующие результаты (обратите внимание, что это результат предыдущего раздела): $k\geq 2$ $k=2$ $k$ $\alpha _{k}$ $\Delta _{k}(x)=O\left(x^{\alpha _{k}+\varepsilon }\right)$ $\varepsilon >0$ $\alpha _{2}$ $\theta$

\alpha _{2}\leq {\frac {131}{416}}\ ,

^[5]

\alpha _{3}\leq {\frac {43}{96}}\ ,

^[8] и^[9]

{\begin{aligned}\alpha _{k}&\leq {\frac {3k-4}{4k}}\quad (4\leq k\leq 8)\\[6pt]\alpha _{9}&\leq {\frac {35}{54}}\ ,\quad \alpha _{10}\leq {\frac {41}{60}}\ ,\quad \alpha _{11}\leq {\frac {7}{10}}\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-2}{k+2}}\quad (12\leq k\leq 25)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {k-1}{k+4}}\quad (26\leq k\leq 50)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {31k-98}{32k}}\quad (51\leq k\leq 57)\\[6pt]\alpha _{k}&\leq {\frac {7k-34}{7k}}\quad (k\geq 58)\end{aligned}}

Е.К. Титчмарш предполагает, что $\alpha _{k}={\frac {k-1}{2k}}\ .$

Преобразование Меллина [ править ]

Обе части могут быть выражены как преобразования Меллина :

D(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

для . Здесь есть дзета - функция Римана . Точно так же $c>1$ $\zeta (s)$

\Delta (x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c^{\prime }-i\infty }^{c^{\prime }+i\infty }\zeta ^{2}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

с . Главный член получается путем сдвига контура мимо двойного полюса на : главный член - это просто вычет по интегральной формуле Коши . В общем, есть $0<c^{\prime }<1$ $D(x)$ $w=1$

D_{k}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\zeta ^{k}(w){\frac {x^{w}}{w}}\,dw

и аналогично для , для . $\Delta _{k}(x)$ $k\geq 2$

Заметки [ править ]

^ a b Монтгомери, Хью ; RC Vaughan (2007). Мультипликативная теория чисел I: классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-20860-2.
^ Б с д е е г Ивич Aleksandar (2003). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-42813-3.
^ Iwaniec, H .; CJ Mozzochi (1988). «О задачах делителя и окружности». Журнал теории чисел . 29 : 60–93. DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90093-5 .
^ а б Хаксли, Миннесота (2003). «Экспоненциальные суммы и точки решетки III». Proc. Лондонская математика. Soc . 87 (3): 591–609. DOI : 10.1112 / S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Zbl 1065.11079 .
Перейти ↑ Heath-Brown, DR (1992). «Распределение и моменты ошибки в задаче делителей Дирихле» . Acta Arithmetica . 60 (4): 389–415. DOI : 10,4064 / аа-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869 . Теорема 1 Функция имеет функцию распределения
^ Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 59. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .
^ Г. Колесник. Об оценке кратных экспоненциальных сумм, в «Недавнем прогрессе в аналитической теории чисел», Симпозиум Дарем, 1979 г. (Том 1), Academic, Лондон, 1981, стр. 231–246.
^ Александр Ивич. Теория дзета-функции Римана с приложениями (теорема 13.2). Джон Вили и сыновья 1985.

Ссылки [ править ]

Эдвардс , Дзета-функция Римана , (1974) Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
Е. К. Титчмарш, Теория дзета-функции Римана , (1951) Оксфорд, издательство Clarendon Press, Оксфорд. (См. Главу 12 для обсуждения обобщенной проблемы делителей)
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001 (Дает вводную постановку проблемы делителей Дирихле.)
Он поднялся. Курс теории чисел. , Оксфорд, 1988.
М. Н. Хаксли (2003) «Экспоненциальные суммы и точки решетки III», Proc. Лондонская математика. Soc. (3) 87: 591–609

[Montgomery_Vaughan-1] Монтгомери, Хью ; RC Vaughan (2007). Мультипликативная теория чисел I: классическая теория . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-84903-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[UPINT-2] Гай, Ричард К. (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Берлин: Springer. ISBN 978-0-387-20860-2.

[Ivic-3] Б с д е е г Ивич Aleksandar (2003). Дзета-функция Римана . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-42813-3.

[4] Iwaniec, H .; CJ Mozzochi (1988). «О задачах делителя и окружности». Журнал теории чисел . 29 : 60–93. DOI : 10.1016 / 0022-314X (88) 90093-5 .

[Huxley-5] а б Хаксли, Миннесота (2003). «Экспоненциальные суммы и точки решетки III». Proc. Лондонская математика. Soc . 87 (3): 591–609. DOI : 10.1112 / S0024611503014485 . ISSN 0024-6115 . Zbl 1065.11079 .

[6] Перейти ↑ Heath-Brown, DR (1992). «Распределение и моменты ошибки в задаче делителей Дирихле» . Acta Arithmetica . 60 (4): 389–415. DOI : 10,4064 / аа-60-4-389-415 . ISSN 0065-1036 . S2CID 59450869 . Теорема 1 Функция имеет функцию распределения

[Mon59-7] Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о взаимодействии аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. 84 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 59. ISBN 0-8218-0737-4. Zbl 0814.11001 .

[8] Г. Колесник. Об оценке кратных экспоненциальных сумм, в «Недавнем прогрессе в аналитической теории чисел», Симпозиум Дарем, 1979 г. (Том 1), Academic, Лондон, 1981, стр. 231–246.

[9] Александр Ивич. Теория дзета-функции Римана с приложениями (теорема 13.2). Джон Вили и сыновья 1985.

[1]