Реальный аналитический ряд Эйзенштейна

В математике простейший вещественно-аналитический ряд Эйзенштейна представляет собой специальную функцию двух переменных. Он используется в теории представлений SL (2, R ) и в аналитической теории чисел . Это тесно связано с дзета-функцией Эпштейна.

Есть много обобщений, связанных с более сложными группами.

Определение [ править ]

Ряд Эйзенштейна E ( z , s ) при z = x + iy в верхней полуплоскости определяется равенством

${\ displaystyle E (z, s) = {1 \ over 2} \ sum _ {(m, n) = 1} {y ^ {s} \ over | mz + n | ^ {2s}}}$

для Re ( s )> 1 и аналитическим продолжением для других значений комплексного числа s . Сумма ведется по всем парам взаимно простых целых чисел.

Предупреждение : есть несколько других немного отличающихся определений. Некоторые авторы опускают множитель ½, а некоторые суммируют все пары целых чисел, которые не равны нулю; который изменяет функцию в ζ раз (2 с ).

Свойства [ править ]

Как функция от z [ править ]

Рассматриваемая как функция г , Е ( г , ев ) является вещественно-аналитической собственной функцией от оператора Лапласа на Н с собственным значением сек ( с -1). Другими словами, он удовлетворяет эллиптическому уравнению в частных производных

${\ displaystyle -y ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ right) E (z, s) = s (1-s) E (z, s),}$    где ${\ displaystyle z = x + yi.}$

Функция E ( z , s ) инвариантна относительно действия SL (2, Z ) на z в верхней полуплоскости дробно-линейными преобразованиями . Вместе с предыдущим свойством это означает, что ряд Эйзенштейна является формой Маасса , вещественно-аналитическим аналогом классической эллиптической модулярной функции .

Внимание : Е ( г , ев ) не является квадрат интегрируем функция г по отношению к инвариантной римановой метрике на H .

Как функция на s [ править ]

Ряд Эйзенштейна сходится при Re ( s )> 1, но может быть аналитически продолжен до мероморфной функции s на всей комплексной плоскости с единственным полюсом вычета 3 / π в полуплоскости Re ( s ) 1/2. при s = 1 (для всех z в H ) и бесконечном числе полюсов в полосе 0 <Re ( s ) <1/2 при где соответствует нетривиальному нулю дзета-функции Римана. Постоянный член полюса при s = 1 описывается формулой предела Кронекера .${\ displaystyle \ geq}$${\ displaystyle \ rho / 2}$${\ displaystyle \ rho}$

Модифицированная функция

${\displaystyle E^{*}(z,s)=\pi ^{-s}\Gamma (s)\zeta (2s)E(z,s)\ }$

удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle E^{*}(z,s)=E^{*}(z,1-s)\ }$

аналогично функциональному уравнению для дзета-функции Римана ζ ( s ).

Скалярное произведение двух различных рядов Эйзенштейна E ( z , s ) и E ( z , t ) задается соотношениями Маасса-Сельберга .

Разложение Фурье [ править ]

Указанные выше свойства вещественно-аналитического ряда Эйзенштейна, то есть функционального уравнения для E (z, s) и E ^* (z, s), использующего лапласиан на H , показаны из того факта, что E (z, s) имеет разложение Фурье :${\displaystyle E(z,s)=y^{s}+{\frac {{\hat {\zeta }}(2s-1)}{{\hat {\zeta }}(2s)}}y^{1-s}+{\frac {4}{{\hat {\zeta }}(2s)}}\sum _{m=1}^{\infty }m^{s-1/2}\sigma _{1-2s}(m){\sqrt {y}}K_{s-1/2}(2\pi my)\cos(2\pi mx)\ ,}$

где

${\displaystyle {\hat {\zeta }}(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma {\biggl (}{\frac {s}{2}}{\biggr )}\zeta (s)\ ,}$

${\displaystyle \sigma _{s}(m)=\sum _{d|m}d^{s}\ ,}$

и модифицированные функции Бесселя

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{s}(z)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\exp {\biggl (}-{\frac {z}{2}}(u+{\frac {1}{u}}){\biggr )}\cdot u^{s-1}du\\&\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}e^{-z}\ .\ \ \ \ \ \ \ \ \ (z\rightarrow \infty )\end{aligned}}}$

Дзета-функция Эпштейна [ править ]

Функция Эпштейна дзета ζ _Q ( ов ) ( Epstein 1903 ) для положительно определенной интегральной квадратичной формы Q ( т , п ) = см ² + BMN + ² определяется

${\displaystyle \zeta _{Q}(s)=\sum _{(m,n)\neq (0,0)}{1 \over Q(m,n)^{s}}.\ }$

По сути, это частный случай вещественно-аналитического ряда Эйзенштейна для специального значения z , поскольку

${\displaystyle Q(m,n)=a|mz-n|^{2}\ }$

для

${\displaystyle z=-{\frac {b}{2a}}+{\frac {i{\sqrt {-b^{2}+4ac}}}{2a}}.}$

Эта дзета-функция была названа в честь Пола Эпштейна .

Обобщения [ править ]

Вещественно-аналитический ряд Эйзенштейна E ( z , s ) на самом деле является рядом Эйзенштейна, ассоциированным с дискретной подгруппой SL (2, Z ) группы SL (2, R ) . Сельберг описал обобщения на другие дискретные подгруппы Г SL (2, R ), и используют их , чтобы изучить представление SL (2, R ) на L ² (SL (2, R ) / T). Ленглендс распространил работу Сельберга на группы с более высокой размерностью; его заведомо трудные доказательства были позже упрощены Джозефом Бернстайном .

См. Также [ править ]

• Серия Эйзенштейна
• Формула предела Кронекера
• Форма Маасса

Ссылки [ править ]

• Дж. Бернштейн, Мероморфное продолжение ряда Эйзенштейна
• Эпштейн, П. (1903), "Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen I" (PDF) , Math. Аня. , 56 (4): 614-644, DOI : 10.1007 / BF01444309.
• A. Krieg (2001) [1994], "Дзета-функция Эпштейна" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Кубота, Т. (1973), Элементарная теория ряда Эйзенштейна , Токио: Коданша, ISBN 0-470-50920-1.
• Ланглендс, Роберт П. (1976), О функциональных уравнениях, которым удовлетворяют ряды Эйзенштейна , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 0-387-07872-X.
• А. Сельберг, Разрывные группы и гармонический анализ , Proc. Int. Congr. Матем., 1962.
• Д. Загир , ряды Эйзенштейна и дзета-функция Римана .