Эквиареальная карта

В дифференциальной геометрии , equiareal карта (или equiareal карта ) представляет собой гладкое отображение от одной поверхности к другой , что сохраняет участки фигур.

Свойства [ править ]

Если M и N - две поверхности в евклидовом пространстве R ³ , то равноплощадное отображение f может быть охарактеризовано любым из следующих эквивалентных условий:

• Площадь поверхности от ф ( U ) равна области U для каждого открытого множества U на М .
• Откат от площади элемента ц _N на N равно ц _M , площадь элемента на M .
• В каждой точке p на M и касательных векторах v и w к M в p ,

${\ Displaystyle | df_ {p} (v) \ times df_ {p} (w) | = | v \ times w | \,}$

где × обозначает евклидово векторное произведение векторов, а df обозначает движение вперед по f .

Пример [ править ]

Примером эквиареальной карты, созданной Архимедом Сиракузским , является проекция единичной сферы x ² + y ² + z ² = 1 на единичный цилиндр x ² + y ² = 1 наружу от их общей оси. Явная формула

${\ displaystyle f (x, y, z) = \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, {\ frac {y} {\ sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}}, z \ right)}$

для ( x , y , z ) точка на единичной сфере.

Линейные преобразования [ править ]

Каждый евклидова изометрия в евклидовой плоскости является equiareal, но обратное неверно. Фактически, отображение сдвига и сжатие - контрпримеры к обратному.

При картировании сдвига прямоугольник превращается в параллелограмм той же площади. Записанное в матричной форме отображение сдвига по оси x имеет вид

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x+vy\\y\end{pmatrix}}.}$

Сопоставление со сжатием удлиняет и сжимает стороны прямоугольника взаимно, так что область сохраняется. Записано в матричной форме, при λ> 1 сжатие читается как

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&1/\lambda \end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda x\\y/\lambda .\end{pmatrix}}}$

Линейное преобразование умножает области со стороны абсолютного значения ее определителя | ad - bc | . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

Исключение Гаусса показывает, что каждое эквиареальное линейное преобразование ( включая вращения ) может быть получено путем объединения не более двух сдвигов по осям, сжатия и (если определитель отрицательный) отражения .

В картографических проекциях [ править ]

В контексте географических карт , А проекция называется равной площадью , эквивалентен , authalic , equiareal или сохраняющей площадью , если участки сохраняются до множителя постоянная; Встраивая целевую карту, обычно рассматриваемую как подмножество R ² , очевидным образом в R ³ , требование, приведенное выше, затем ослабляется до:

${\displaystyle |df_{p}(v)\times df_{p}(w)|=\kappa |v\times w|}$

для некоторого κ > 0, не зависящего от и . Примеры таких проекций см. В разделе « Картографическая проекция равной площади» .${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

См. Также [ править ]

• Матрица Якоби и определитель

Ссылки [ править ]

• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , серия Springer для студентов-математиков, Лондон: Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8, MR  1800436