Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В общей топологии , ветвь математики , то равномерно целое топологии является топология на множестве из целых чисел = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ... } порождается семейством всех арифметических прогрессий . [1] Это частный случай проконечной топологии на группе. Это конкретное топологическое пространство было введено Фюрстенбергом (1955), где оно использовалось для доказательства бесконечности простых чисел .

Строительство [ править ]

Арифметическая прогрессия, связанная с двумя (возможно, не различными) целыми числами a и k , где - набор целых чисел

Чтобы дать Комплексу топологию средство указать , какие подмножества из «открыты» в манере , которая удовлетворяет следующие аксиомы : [2]

  1. Открыты произвольные союзы открытых множеств.
  2. Конечные пересечения открытых множеств открыты.
  3. и пустое множество ∅ открыты.

Семейство всех арифметических прогрессий не удовлетворяет этим аксиомам, например, поскольку объединение арифметических прогрессий не обязательно должно быть арифметической прогрессией; например, {1, 5, 9,…} ∪ {2, 6, 10,…} = {1, 2, 5, 6, 9, 10,… } не является арифметической прогрессией. Следовательно, равномерно распределенная целочисленная топология определяется как топология, порожденная семейством арифметических прогрессий. Это самая грубая топология, которая включает в себя семейство всех арифметических прогрессий как открытых подмножеств: то есть арифметические прогрессии являются подбазой топологии. Поскольку пересечение любого конечного набора арифметических прогрессий снова является арифметической прогрессией, семейство арифметических прогрессий фактически является арифметической прогрессией.база топологии, означающая, что каждое открытое множество представляет собой объединение арифметических прогрессий. [1]

Свойства [ править ]

Целые числа Фюрстенберга отделимы и метризуемы , но неполны. По теореме Урысона о метризации они регулярны и хаусдорфовы . [3] [4]

Заметки [ править ]

  1. ^ a b Steen & Seebach 1995 , стр. 80–81
  2. ^ Steen & Зеебы 1995 , стр. 3
  3. ^ Lovas, R .; Мезо, И. (2015). «Некоторые наблюдения о топологическом пространстве Фюрстенберга». Elemente der Mathematik . 70 : 103–116.
  4. ^ Ловас, Решо Ласло; Мезу, Иштван (4 августа 2010 г.). «Об экзотической топологии целых чисел». arXiv : 1008.0713v1 [ math.GN ].

Ссылки [ править ]

  • Фюрстенберг, Гарри (1955), "О бесконечности простых чисел", American Mathematical Monthly , Математическая ассоциация Америки, 62 (5): 353, DOI : 10,2307 / 2307043 , JSTOR  2307043 , MR  0068566 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
  • Стин, Луизиана ; Сибах, Дж. А. (1995), Контрпримеры в топологии , Довер, стр. 80–81, ISBN 0-486-68735-X.