В математике , особенно в теории чисел , доказательство бесконечности простых чисел Гиллелем Фюрстенбергом является топологическим доказательством того, что целые числа содержат бесконечно много простых чисел . При внимательном рассмотрении доказательство представляет собой не столько утверждение о топологии, сколько утверждение о некоторых свойствах арифметических последовательностей . [1] В отличие от классического доказательства Евклида, доказательство Фюрстенберга является доказательством от противоречия . Доказательство было опубликовано в 1955 году в журнале American Mathematical Monthly, когда Фюрстенберг еще оставался ученым.студентка бакалавриата Университета Иешива .
Доказательство Фюрстенберга
Определим топологию на целых Z , называется равномерно целым числом топологии , путем объявления подмножество U ⊆ Z , чтобы быть открытым множеством тогда и только тогда , когда она является объединением арифметических последовательностей S ( , б ) для ≠ 0, или является пустым (который можно рассматривать как нульарный союз (пусто союз) арифметические последовательностей), где
Эквивалентно, U открыто тогда и только тогда , когда каждый х в U есть некоторая ненулевая целое число таким образом, что S ( , х ) ⊆ U . В аксиомах топологии легко проверяются:
- Открыто по определению, а Z - это просто последовательность S (1, 0), а значит, тоже открыта.
- Любое объединение открытых множеств открыто: для любого набора открытых множеств U i и x в их объединении U любое из чисел a i, для которых S ( a i , x ) ⊆ U i, также показывает, что S ( a i , x ) ⊆ U .
- Пересечение двух (и , следовательно , конечного числа) открытых множеств открыто: пусть U 1 и U 2 открытые множества и пусть х ∈ U 1 ∩ U 2 (с номерами 1 и 2 установления членства). Установить быть наименьшее общее кратное из в 1 и в 2 . Тогда S ( a , x ) ⊆ S ( a i , x ) ⊆ U i .
У этой топологии есть два примечательных свойства:
- Поскольку любое непустое открытое множество содержит бесконечную последовательность, конечное множество не может быть открытым; Другими словами, дополнение к конечному множеству не может быть замкнутым множеством .
- Базисные множества S ( a , b ) открыты и замкнуты : они открыты по определению, и мы можем записать S ( a , b ) как дополнение к открытому множеству следующим образом:
Единственными целыми числами, которые не являются целыми кратными простым числам, являются -1 и +1, т.
По первому свойству набор слева не может быть закрыт. С другой стороны, по второму свойству множества S ( p , 0) замкнуты. Итак, если бы было только конечное число простых чисел, то множество в правой части было бы конечным объединением замкнутых множеств и, следовательно, замкнутым. Это было бы противоречие , поэтому простых чисел должно быть бесконечно много.
Заметки
- ^ Мерсер, Идрис Д. (2009). "О доказательстве Фюрстенберга бесконечности простых чисел" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528 . DOI : 10.4169 / 193009709X470218 .
Рекомендации
- Aigner, Мартин ; Циглер, Гюнтер М. (1998). «Доказательства из книги» . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - Фюрстенберг, Гарри (1955). «О бесконечности простых чисел». Американский математический ежемесячник . 62 (5): 353. DOI : 10,2307 / 2307043 . JSTOR 2307043 . Руководство по ремонту 0068566 .
- Мерсер, Идрис Д. (2009). "О доказательстве Фюрстенберга бесконечности простых чисел" (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528 . DOI : 10.4169 / 193009709X470218 .
- Lovas, R .; Мезо, И. (2015). «Некоторые наблюдения о топологическом пространстве Фюрстенберга» . Elemente der Mathematik . 70 (3): 103–116. DOI : 10,4171 / EM / 283 .
Внешние ссылки
- Доказательство Furstenberg, что существует бесконечно много простых чисел в Everything2
- Доказательство Фюрстенберга бесконечности простых чисел в PlanetMath .