В математике , проконечные группы являются топологическими группами , которые в определенном смысле , собранном из конечных групп . У них много общих свойств с их конечными факторами: например, и теорема Лагранжа, и теоремы Силова хорошо обобщаются на проконечные группы. [1]
Некомпактное обобщение проконечной группы - это локально проконечная группа .
Определение
Проконечные группы можно определить двумя эквивалентными способами.
Первое определение
Проконечная группа является топологической группой, которая изоморфна к обратному пределу в качестве обратной системы из дискретных конечных групп . [2] В этом контексте обратная система состоит из ориентированного множества , набор конечных групп , каждый из которых имеет дискретную топологию и набор гомоморфизмов такой, что это личность на и коллекция удовлетворяет свойству композиции . Обратный предел установлен:
оснащен относительной топологией произведения . В категориальных терминах, это особый случай cofiltered предела строительства. Можно также определить обратный предел в терминах универсального свойства .
Второе определение
Проконечная группа - это хаусдорфова , компактная и вполне несвязная топологическая группа: [3] то есть топологическая группа, которая также является пространством Стоуна . Учитывая это определение, можно восстановить первое определение, используя обратный предел где пробегает открытые нормальные подгруппы упорядочено (обратным) включением.
Примеры
- Конечные группы проконечны, если задана дискретная топология .
- Группа целых p -адических чисел при сложении проконечное (по сути проциклическое ). Это обратный предел конечных группгде n пробегает все натуральные числа и естественные отображения для используются для процесса ограничения. Топология на этой проконечной группе такая же, как топология, возникающая из p-адического нормирования на.
- Группа проконечных целых чисел обратный предел конечных групп где и мы используем карты для в процессе ограничения. Эта группа является продуктом всех групп, и это абсолютная группа Галуа любого конечного поля.
- Теория Галуа из поля расширений бесконечной степени приводит , естественно , к группам, которые Галуа проконечные. В частности, если L / K является расширением Галуа , мы рассматриваем группу G = Gal ( L / K ), состоящую из всех полевых автоморфизмов L, которые сохраняют все элементы K фиксированными. Эта группа является обратным пределом конечных групп Gal ( F / K ), где F пробегает все промежуточные поля, такие что F / K является конечным расширением Галуа. Для предельного процесса мы используем гомоморфизмы ограничения Gal ( F 1 / K ) → Gal ( F 2 / K ), где F 2 ⊆ F 1 . Топология, которую мы получаем на Gal ( L / K ), известна как топология Крулля в честь Вольфганга Крулля . Уотерхаус (1974) показал, что каждая проконечная группа изоморфна группе, возникающей из теории Галуа некоторого поля K , но нельзя (пока) контролировать, какое поле K будет в этом случае. В самом деле, для многих полей K один не знает , в общем , какие именно конечные группы возникают как группы Галуа над K . Это обратная задача Галуа для поля K . (Для некоторых полей K решена обратная проблема Галуа, например, поле рациональных функций от одной переменной над комплексными числами.) Не каждая проконечная группа встречается как абсолютная группа Галуа поля. [4]
- В основных группах , рассматриваемые в алгебраической геометрии , также проконечные группы, грубо говоря , потому что алгебра только может «видеть» конечные покрытия на алгебраическом многообразии . В фундаментальных группах по алгебраической топологии , однако, в общем случае не Проконечный: для любой заданной группы, есть 2-мерный CW комплекс, фундаментальной группа равно его (исправить презентацию группы, комплекс CW имеет одну 0-клетку, цикл для каждого генератора и 2 ячейки для каждого отношения, чья присоединяемая карта соответствует отношению "очевидным" способом: например, для отношения abc = 1 присоединяемая карта отслеживает генератор основных групп циклов для a , b и c по порядку. Вычисление следует по теореме ван Кампена .)
- Группа автоморфизмов локально конечного корневого дерева проконечна.
Свойства и факты
- Любое произведение проконечных групп (произвольного числа) проконечно; топология, проистекающая из профилируемости, согласуется с топологией продукта . Обратный предел обратной системы проконечных групп с непрерывными отображениями переходов проконечен, а функтор обратного предела точен на категории проконечных групп. Кроме того, проконечность - это свойство расширения.
- Каждая замкнутая подгруппа проконечной группы сама проконечна; топология, возникающая из конечности, согласуется с топологией подпространства . Если N - замкнутая нормальная подгруппа проконечной группы G , то фактор-группа G / N проконечна; топология, возникающая из конечности, согласуется с фактор-топологией .
- Поскольку каждая проконечная группа G компактен Хаусдорф, мы имеем меру Хаара на G , что позволяет измерить «размер» подмножества G , вычислить определенные вероятности и интегрирование функций на G .
- Подгруппа проконечной группы открыта тогда и только тогда, когда она замкнута и имеет конечный индекс .
- Согласно теореме Николая Николова и Дэна Сигала в любой топологически конечно порожденной проконечной группе (т. Е. Проконечной группе, имеющей плотную конечно порожденную подгруппу ) подгруппы конечного индекса открыты. Это обобщает более ранний аналогичный результат Жан-Пьера Серра для топологически конечно порожденных про-p групп . Доказательство использует классификацию конечных простых групп .
- Как простое следствие приведенного выше результата Николова – Сигала, любой сюръективный гомоморфизм дискретных групп φ: G → H между проконечными группами G и H непрерывен, если G топологически конечно порождена. В самом деле, любая открытая подгруппа в H имеет конечный индекс, поэтому ее прообраз в G также имеет конечный индекс, следовательно, он должен быть открытым.
- Предположим, что G и H - топологически конечно порожденные проконечные группы, изоморфные как дискретные группы изоморфизмом ι. Тогда ι биективен и непрерывен по полученному результату. Кроме того, ι −1 также непрерывно, поэтому ι - гомеоморфизм. Следовательно, топология топологически конечно порожденной проконечной группы однозначно определяется ее алгебраической структурой.
Бесконечное завершение
Для произвольной группы , существует связанная проконечная группа , То проконечное завершение из. [3] Он определяется как обратный предел групп, где пробегает нормальные подгруппы вконечного индекса (эти нормальные подгруппы частично упорядочены по включению, что переводится в обратную систему естественных гомоморфизмов между факторами). Существует естественный гомоморфизм, и изображение при этом гомоморфизме плотно в. Гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда группа является остаточно конечным (т.е., где пересечение пробегает все нормальные подгруппы конечного индекса). Гомоморфизмхарактеризуется следующим универсальным свойством : для любой проконечной группы и любой гомоморфизм групп существует единственный непрерывный гомоморфизм групп с участием .
Инд-конечные группы
Существует понятие инд-конечной группы , которая концептуально двойственна проконечным группам; т.е. группа G инд-конечна, если она является прямым пределом индуктивной системы конечных групп. (В частности, это инд-группа .) Обычная терминология иная: группа G называется локально конечной, если каждая конечно порожденная подгруппа конечна. Фактически, это эквивалентно «инд-конечности».
Применяя двойственность Понтрягина , можно увидеть, что абелевы проконечные группы находятся в двойственности с локально конечными дискретными абелевыми группами. Последние и есть абелевы торсионные группы .
Проективные проконечные группы
Проконечная группа проективна, если она обладает свойством подъема для любого расширения. Это равносильно тому, что G является проективным , если для любого сюръективного морфизма из проконечной H → G есть секция G → H . [5] [6]
Проективность проконечной группы G эквивалентна любому из двух свойств: [5]
- когомологическая размерность кд ( G ) ≤ 1;
- для любого простого числа p силовские p -подгруппы группы G являются свободными про- p -группами.
Каждая проективная проконечная группа может быть реализована в качестве абсолютной группы Галуа о наличии псевдо алгебраически замкнутого поле . Это результат Александра Любоцкого и Лу ван ден Дриса . [7]
Проциклическая группа
Проклинательная группа является процикличным, если он топологически порождается одним элементом т.е. подгруппы . [8]
Топологическая группа является проциклическим тогда и только тогда где пробегает все рациональные простые числа и изоморфен либо или же . [9]
Смотрите также
- Локально циклическая группа
- Группа ПРО-П
- Бесконечное целое число
- Остаточная собственность (математика)
- Аппроксимально конечная группа
- Хаусдорфово завершение
Рекомендации
- ^ 1944-, Уилсон, Джон С. (Джон Стюарт) (1998). Конечные группы . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 9780198500827. OCLC 40658188 .CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
- ^ Ленстра, Хендрик. «Проконечные группы» (PDF) . Лейденский университет .
- ^ а б Оссерман, Брайан. «Обратные пределы и проконечные группы» (PDF) . Калифорнийский университет в Дэвисе . Архивировано из оригинального (PDF) 26 декабря 2018 года.
- ↑ Fried & Jarden (2008) стр. 497
- ^ а б Серр (1997) стр. 58
- ↑ Fried & Jarden (2008) стр. 207
- ^ Fried & Жарден (2008)стр. 208545
- ^ Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322 . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. DOI : 10.1007 / 978-3-662-03983-0 . ISBN 978-3-642-08473-7.
- ^ «МО. Разложение проциклических групп» . MathOverflow .
- Фрид, Майкл Д .; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. 11 (3-е изд. Изм.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 .
- Николов, Николай; Сегал, Дэн (2006). «О конечно порожденных проконечных группах. I. Сильная полнота и равномерные оценки». arXiv : math.GR/0604399 ..
- Николов, Николай; Сегал, Дэн (2006). «О конечно порожденных проконечных группах. II. Произведения в квазипростых группах». arXiv : math.GR/0604400 ..
- Ленстра, Хендрик (2003), Profinite Groups (PDF) , доклад в Обервольфахе.
- Lubotzky, Александр (2001), "Книжное обозрение", Бюллетень Американского математического общества , 38 (4): 475-479, DOI : 10,1090 / S0273-0979-01-00914-4. Рецензия на несколько книг о проконечных группах.
- Серр, Жан-Пьер (1994), Cohomologie galoisienne , Lecture Notes по математике (на французском языке), 5 (5-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, MR 1324577 , Zbl 0812.12002. Серр, Жан-Пьер (1997), когомологии Галуа , Перевод Патрика Иона, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Zbl 0902,12004
- Waterhouse, Уильям С. (1974), "Проконечные группами являются группы Галуа", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 42 (2): 639-640, DOI : 10,2307 / 2039560 , JSTOR 2039560 , Zbl 0281,20031.