Экспоненциальная полезность

Функция экспоненциальной полезности для различных профилей риска

В экономике и финансам , экспоненциальная полезность является специфической формой функции полезности , используется в некоторых контекстах из - за его удобства , когда риск (иногда упоминается как неопределенность) присутствует, причем в этом случае ожидаемая полезность максимизируется. Формально экспоненциальная полезность определяется выражением:

${\ displaystyle u (c) = {\ begin {cases} (1-e ^ {- ac}) / a & a \ neq 0 \\ c & a = 0 \\\ end {cases}}}$

${\ displaystyle c}$является переменной , что экономическое , принимающее решение, предпочитает больше, таких как потребление, и это константа , которая характеризует степень предпочтения риска ( для неприятия риска , для риск-нейтральности, или для связанный с риском ). В ситуациях, когда допускается только избегание риска , формулу часто упрощают до .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle a <0}$${\displaystyle u(c)=1-e^{-ac}}$

Обратите внимание, что аддитивный член 1 в приведенной выше функции не имеет математического значения и (иногда) включен только для эстетической особенности, заключающейся в том, что он сохраняет диапазон функции от нуля до единицы в области неотрицательных значений c . Причина его нерелевантности в том, что максимизация ожидаемого значения полезности дает тот же результат для переменной выбора, что и максимизация ожидаемого значения ; поскольку ожидаемые значения полезности (в отличие от самой функции полезности) интерпретируются обычным образом, а не кардинально , диапазон и знак ожидаемых значений полезности не имеют значения.${\displaystyle u(c)=(1-e^{-ac})/a}$${\displaystyle u(c)=-e^{-ac}/a}$

Экспоненциальная функция полезности - это частный случай гиперболических функций полезности абсолютного неприятия риска .

Характеристика неприятия риска [ править ]

Экспоненциальная полезность подразумевает постоянное абсолютное неприятие риска (CARA) с коэффициентом абсолютного неприятия риска, равным константе:

${\displaystyle {\frac {-u''(c)}{u'(c)}}=a.}$

В стандартной модели одного рискованного актива и одного безрискового актива ^{[1] [2],} например, эта функция подразумевает, что оптимальное владение рискованным активом не зависит от уровня первоначального богатства; таким образом, на марже любое дополнительное богатство будет полностью распределено в дополнительные пакеты безрискового актива. Эта функция объясняет, почему экспоненциальная функция полезности считается нереалистичной.

Математическая податливость [ править ]

Хотя изоупругая полезность , демонстрирующая постоянное относительное неприятие риска (CRRA) , считается более правдоподобным (как и другие функции полезности, демонстрирующие уменьшение абсолютного неприятия риска), экспоненциальная полезность особенно удобна для многих расчетов.

Пример потребления [ править ]

Например, предположим, что потребление c является функцией предложения труда x и случайным членом : c = c ( x ) + . Тогда при экспоненциальной полезности ожидаемая полезность определяется как:${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}],}$

где E - оператор математического ожидания . С нормально распределенным шумом, т. Е.

${\displaystyle \varepsilon \sim N(\mu ,\sigma ^{2}),\!}$

E ( u ( c )) легко вычисляется, используя тот факт, что

${\displaystyle {\text{E}}[e^{-a\varepsilon }]=e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}$

Таким образом

${\displaystyle {\text{E}}(u(c))={\text{E}}[1-e^{-a(c(x)+\epsilon )}]={\text{E}}[1-e^{-ac(x)}e^{-a\varepsilon }]=1-e^{-ac(x)}{\text{E}}[e^{-a\epsilon }]=1-e^{-ac(x)}e^{-a\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}.}$

Пример портфеля с несколькими активами [ править ]

Рассмотрим задачу распределения портфеля максимизации ожидаемой экспоненциальной полезности конечного богатства W с учетом${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]}$

${\displaystyle W=x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}}$

где штрихом знак указывает на вектор транспонированной и где это первоначальное богатство, х представляет собой вектор - столбец величин , помещенных в п рисковых активов, т является случайный вектор из случайных возвращается на п активов, к вектор из единиц (так это количество, помещенное в безрисковый актив), а r _f - известная скалярная доходность безрискового актива. Предположим далее , что стохастический вектор г будет совместно нормально распределены . Тогда ожидаемую полезность можно записать как${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle W_{0}-x'k}$

${\displaystyle {\text{E}}[-e^{-aW}]=-{\text{E}}[e^{-a[x'r+(W_{0}-x'k)\cdot r_{f}]}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}{\text{E}}[e^{-a\cdot x'r}]=-e^{-a[(W_{0}-x'k)r_{f}]}e^{-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}}}$

где - средний вектор вектора r, а - дисперсия конечного богатства. Максимизация этого равносильна минимизации${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma ^{2}}$

${\displaystyle e^{ar_{f}(x'k)-a\cdot x'\mu +{\frac {a^{2}}{2}}\sigma ^{2}},}$

что, в свою очередь, эквивалентно максимизации

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\sigma ^{2}.}$

Обозначая ковариационную матрицу из г , как V , дисперсия конечного состояния может быть записана в виде . Таким образом, мы хотим максимизировать следующее по отношению к вектору выбора x количеств, которые должны быть помещены в рискованные активы:${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle x'Vx}$

${\displaystyle x'(\mu -r_{f}\cdot k)-{\frac {a}{2}}\cdot x'Vx.}$

Это простая задача матричного исчисления , и ее решение

${\displaystyle x^{*}={\frac {1}{a}}V^{-1}(\mu -r_{f}\cdot k).}$

Из этого можно видеть, что (1) владение x * рискованных активов не зависит от начального богатства W ₀ , нереалистичного свойства, и (2) владение каждым рискованным активом тем меньше, чем больше параметр неприятия риска a (как и следовало ожидать). В этом примере портфеля показаны две ключевые особенности экспоненциальной полезности: управляемость в условиях общей нормальности и отсутствие реализма из-за ее свойства постоянного абсолютного неприятия риска.

См. Также [ править ]

• Мера энтропийного риска
• Изоупругая (степенная) функция полезности

Ссылки [ править ]