Верность квантовых состояний

В квантовой механике , особенно в квантовой теории информации , верность - это мера «близости» двух квантовых состояний. Он выражает вероятность того, что одно состояние пройдет тест, чтобы идентифицировать себя как другое. Верность не является метрикой в пространстве матриц плотности , но ее можно использовать для определения метрики Буреса в этом пространстве.

Учитывая два оператора плотности и , точность обычно определяется как величина . В частном случае , когда и представляют собой чистые квантовые состояния , а именно, и определение сводится к квадрату перекрытия между состояниями: . В то время как не очевидно из общего определения, верность симметрична: . ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma) = \ left (\ operatorname {tr} {\ sqrt {{\ sqrt {\ rho}} \ sigma {\ sqrt {\ rho}}}} \ right) ^ {2 }}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ rho = | \ psi _ {\ rho} \ rangle \! \ langle \ psi _ {\ rho} |}$ ${\ Displaystyle \ sigma = | \ psi _ {\ sigma} \ rangle \! \ langle \ psi _ {\ sigma} |}$ ${\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma) = | \ langle \ psi _ {\ rho} | \ psi _ {\ sigma} \ rangle | ^ {2}}$ ${\ Displaystyle F (\ rho, \ sigma) = F (\ sigma, \ rho)}$

Мотивация [ править ]

Для двух случайных величин со значениями ( категориальные случайные величины ) и вероятностями и верность и определяется как величина ${\ displaystyle X, Y}$ ${\ Displaystyle (1, ..., п)}$ ${\ displaystyle p = (p_ {1}, p_ {2}, \ ldots, p_ {n})}$ $q=(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})$ $X$ $Y$

F(X,Y)=\left(\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}\right)^{2}

.

Верность имеет дело с предельным распределением случайных величин. Он ничего не говорит о совместном распределении этих переменных. Другими словами, точность F (X, Y) , представляет собой квадрат скалярного произведения в и рассматривается в качестве векторов в евклидовом пространстве . Обратите внимание, что F (X, Y) = 1 тогда и только тогда, когда p = q . В целом . Эта мера известна как коэффициент Бхаттачарьи . $({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{n}}})$ $({\sqrt {q_{1}}},\ldots ,{\sqrt {q_{n}}})$ $0\leq F(X,Y)\leq 1$ $\sum _{i}{\sqrt {p_{i}q_{i}}}$

Учитывая классическую меру различимости двух распределений вероятностей , можно обосновать меру различимости двух квантовых состояний следующим образом. Если экспериментатор пытается определить, является ли квантовое состояние одной из двух возможностей или , наиболее общим возможным измерением, которое он может сделать для состояния, является POVM , который описывается набором эрмитовых положительно полуопределенных операторов . Если экспериментатору дано состояние , он с вероятностью засвидетельствует результат , а также с вероятностью для $\rho$ $\sigma$ $\{F_{i}\}$ $\rho$ $i$ $p_{i}=\operatorname {tr} (\rho F_{i})$ $q_{i}=\operatorname {tr} (\sigma F_{i})$ $\sigma$ . Их способность различать квантовые состояния и тогда эквивалентен их способность различать между классическими вероятностными распределениями и . Естественно, экспериментатор выберет лучший POVM, который он сможет найти, поэтому это мотивирует определение квантовой точности как возведенного в квадрат коэффициента Бхаттачарьи при экстремизировании по всем возможным POVM : $\rho$ $\sigma$ $p$ $q$ $\{F_{i}\}$

F(\rho ,\sigma )=\min _{\{F_{i}\}}F(X,Y)=\min _{\{F_{i}\}}\left(\sum _{i}{\sqrt {\operatorname {tr} (\rho F_{i})\operatorname {tr} (\sigma F_{i})}}\right)^{2}.

Фукс и Кейвс показали, что это явно симметричное определение эквивалентно простой асимметричной формуле, приведенной в следующем разделе. ^[1]

Определение [ править ]

Учитывая две матрицы плотности р и σ , то точность определяется ^[2]

F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {{\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}}}\right)^{2},

где, для положительного полуопределеннога матрицы , обозначает его уникальный положительный квадратный корень , как указано в спектральной теореме . Евклидово скалярное произведение из классического определения заменяется скалярным произведением Гильберта – Шмидта . $M$ ${\sqrt {M}}$

Некоторые из важных свойств верности квантового состояния:

Симметрия . . $F(\rho ,\sigma )=F(\sigma ,\rho )$
Ограниченные значения . Для любого и , и . $\rho$ $\sigma$ $0\leq F(\rho ,\sigma )\leq 1$ $F(\rho ,\rho )=1$
Согласованность с точностью между распределениями вероятностей . Если и коммутируют , определение упрощается до $\rho$ $\sigma$ $F(\rho ,\sigma )=\left[\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}\right]^{2}=\left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}=F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),$ где - собственные значения соответственно. Чтобы убедиться в этом, запомните, что если тогда они могут быть диагонализованы в одном базисе : $p_{k},q_{k}$ $\rho ,\sigma$ $[\rho ,\sigma ]=0$ $\rho =\sum _{i}p_{i}|i\rangle \langle i|{\text{ and }}\sigma =\sum _{i}q_{i}|i\rangle \langle i|,$ так что $\operatorname {tr} {\sqrt {\rho \sigma }}=\operatorname {tr} \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}|i\rangle \!\langle i|\right)=\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}.$
Упрощенные выражения для чистых состояний . Если это чистый , , то . Это следует из $\rho$ $\rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|$ $F(\rho ,\sigma )=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle$ $F(\rho ,\sigma )=\left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle \left(\operatorname {tr} {\sqrt {|\psi _{\rho }\rangle \langle \psi _{\rho }|}}\right)^{2}=\langle \psi _{\rho }|\sigma |\psi _{\rho }\rangle .$ Если оба и чисты, а , то . Это сразу следует из приведенного выше выражения для pure. $\rho$ $\sigma$ $\rho =|\psi _{\rho }\rangle \!\langle \psi _{\rho }|$ $\sigma =|\psi _{\sigma }\rangle \!\langle \psi _{\sigma }|$ $F(\rho ,\sigma )=|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}$ $\rho$

Эквивалентное выражение .

Эквивалентное выражение для верности может быть записано, используя норму следа

F(\rho ,\sigma )=\lVert {\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}\rVert _{\operatorname {tr} }^{2}={\Big (}\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|{\Big )}^{2},

где абсолютное значение оператора здесь определяется как . $|A|\equiv {\sqrt {A^{\dagger }A}}$

Явное выражение для кубитов .

Если и являются состояниями кубита , точность может быть вычислена как ^[2]^[3] $\rho$ $\sigma$

F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )+2{\sqrt {\det(\rho )\det(\sigma )}}.

Состояние кубита означает, что и представлены двумерными матрицами. Этот результат следует из того, что он является положительно полуопределенным оператором , следовательно , где и - (неотрицательные) собственные значения оператора . Если (или ) является чистым, этот результат дополнительно упрощается, так как для чистых состояний. $\rho$ $\sigma$ $M={\sqrt {\rho }}\sigma {\sqrt {\rho }}$ $\operatorname {tr} {\sqrt {M}}={\sqrt {\lambda _{1}}}+{\sqrt {\lambda _{2}}}$ $\lambda _{1}$ $\lambda _{2}$ $M$ $\rho$ $\sigma$ $F(\rho ,\sigma )=\operatorname {tr} (\rho \sigma )$ $\mathrm {Det} (\rho )=0$

Альтернативное определение [ править ]

Некоторые авторы используют альтернативное определение и называют это количественной верностью. ^[4] Однако определение более распространено. ^[5]^[6]^[7] Чтобы избежать путаницы, можно было бы назвать «верность квадратного корня». В любом случае рекомендуется уточнить принятое определение всякий раз, когда используется верность. $F':={\sqrt {F}}$ $F$ $F'$

Другие свойства [ править ]

Унитарная инвариантность [ править ]

Прямой расчет показывает, что верность сохраняется при унитарной эволюции , т. Е.

\;F(\rho ,\sigma )=F(U\rho \;U^{*},U\sigma U^{*})

для любого унитарного оператора . $U$

Теорема Ульмана [ править ]

Мы видели, что для двух чистых состояний их точность совпадает с перекрытием. Теорема Ульмана ^[8] обобщает это утверждение на смешанные состояния с точки зрения их очищения:

Теорема. Пусть ρ и σ - матрицы плотности, действующие на C ⁿ . Пусть ρ ^¹^/^₂ единственный положительный квадратный корень из р и

|\psi _{\rho }\rangle =\sum _{i=1}^{n}(\rho ^{{1}/{2}}|e_{i}\rangle )\otimes |e_{i}\rangle \in \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}

быть очистки из p (следовательно , ортонормированный базис), то справедливо следующее равенство: $\textstyle \{|e_{i}\rangle \}$

F(\rho ,\sigma )=\max _{|\psi _{\sigma }\rangle }|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}

где - очистка σ. Следовательно, в целом точность - это максимальное перекрытие между очистками. $|\psi _{\sigma }\rangle$

Эскиз доказательства [ править ]

Простое доказательство можно набросать следующим образом. Обозначим через вектор $\textstyle |\Omega \rangle$

|\Omega \rangle =\sum _{i=1}^{n}|e_{i}\rangle \otimes |e_{i}\rangle

и σ ^¹^/^₂ будет единственный положительный квадратный корень из а. Мы видим, что из-за унитарной свободы факторизации квадратного корня и выбора ортонормированных базисов произвольная очистка σ имеет вид

|\psi _{\sigma }\rangle =(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle

где V _i - унитарные операторы . Теперь мы непосредственно вычисляем

|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |^{2}=|\langle \Omega |(\rho ^{{1}/{2}}\otimes I)(\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}\otimes V_{2})|\Omega \rangle |^{2}=|\operatorname {tr} (\rho ^{{1}/{2}}\sigma ^{{1}/{2}}V_{1}V_{2}^{T})|^{2}.

Но в общем случае для любой квадратной матрицы A и унитарной U верно, что | tr ( AU ) | ≤ тр (( ^* ) ^¹^/^₂ ). Кроме того, равенство достигается , если U ^* унитарный оператор в полярном разложении в А . Отсюда непосредственно следует теорема Ульмана.

Доказательство с явным разложением [ править ]

Здесь мы предоставим альтернативный, явный способ доказательства теоремы Ульмана.

Позвольте и быть очищениями и , соответственно. Для начала покажем это . $|\psi _{\rho }\rangle$ $|\psi _{\sigma }\rangle$ $\rho$ $\sigma$ $|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|$

Общая форма очищений состояний такова:

{\begin{aligned}|\psi _{\rho }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\lambda _{k}}}|\lambda _{k}\rangle \otimes |u_{k}\rangle ,\\|\psi _{\sigma }\rangle &=\sum _{k}{\sqrt {\mu _{k}}}|\mu _{k}\rangle \otimes |v_{k}\rangle ,\end{aligned}}

, были , являются собственными векторами из и произвольные ортонормированных базисов. Перекрытие между очистками

|\lambda _{k}\rangle ,|\mu _{k}\rangle

\rho ,\ \sigma

\{u_{k}\}_{k},\{v_{k}\}_{k}

\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle =\sum _{jk}{\sqrt {\lambda _{j}\mu _{k}}}\langle \lambda _{j}|\mu _{k}\rangle \,\langle u_{j}|v_{k}\rangle =\operatorname {tr} \left({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U\right),

где унитарная матрица определяется как

U

U=\left(\sum _{k}|\mu _{k}\rangle \!\langle u_{k}|\right)\,\left(\sum _{j}|v_{j}\rangle \!\langle \lambda _{j}|\right).

Вывод теперь делается с помощью неравенства :

|\operatorname {tr} (AU)|\leq \operatorname {tr} ({\sqrt {A^{\dagger }A}})\equiv \operatorname {tr} |A|

|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=|\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)|\leq \operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|.

Обратите внимание, что это неравенство является неравенством треугольника, примененным к сингулярным значениям матрицы. В самом деле, для общей матрицы и унитарной мы имеем

A\equiv \sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|

U=\sum _{j}|b_{j}\rangle \!\langle w_{j}|

{\begin{aligned}|\operatorname {tr} (AU)|&=\left|\operatorname {tr} \left(\sum _{j}s_{j}(A)|a_{j}\rangle \!\langle b_{j}|\,\,\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle w_{k}|\right)\right|\\&=\left|\sum _{j}s_{j}(A)\langle w_{j}|a_{j}\rangle \right|\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\,|\langle w_{j}|a_{j}\rangle |\\&\leq \sum _{j}s_{j}(A)\\&=\operatorname {tr} |A|,\end{aligned}}

где являются (всегда реален и неотрицательный) сингулярные значения из , как и в сингулярном разложении . Неравенство насыщается и становится равенством тогда , когда , то есть когда и таким образом . Выше показано, что когда очищения и такие, что . Поскольку этот выбор возможен независимо от состояний, мы можем окончательно заключить, что

s_{j}(A)\geq 0

A

\langle w_{j}|a_{j}\rangle =1

U=\sum _{k}|b_{k}\rangle \!\langle a_{k}|,

AU={\sqrt {AA^{\dagger }}}\equiv |A|

|\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|

|\psi _{\rho }\rangle

|\psi _{\sigma }\rangle

{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U=|{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|

\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|=\max |\langle \psi _{\rho }|\psi _{\sigma }\rangle |.

Последствия [ править ]

Некоторые непосредственные следствия теоремы Ульмана:

Верность симметрична по своим аргументам, т. Е. F (ρ, σ) = F (σ, ρ). Обратите внимание, что это не очевидно из исходного определения.
F (ρ, σ) лежит в [0,1] по неравенству Коши – Шварца .
F (ρ, σ) = 1 тогда и только тогда, когда ρ = σ, поскольку Ψ _ρ = Ψ _σ влечет ρ = σ.

Итак, мы видим, что верность ведет себя почти как метрика. Это можно формализовать и сделать полезным, определив

\cos ^{2}\theta _{\rho \sigma }=F(\rho ,\sigma )\,

Как угол между состояниями и . Из приведенных выше свойств следует, что он неотрицателен, симметричен по входам и равен нулю тогда и только тогда, когда . Более того, можно доказать, что он подчиняется неравенству треугольника ^[4], так что этот угол является метрикой в пространстве состояний: метрикой Фубини – Штуди . ^[9] $\rho$ $\sigma$ $\theta _{\rho \sigma }$ $\rho =\sigma$

Связь с точностью между соответствующими распределениями вероятностей [ править ]

Пусть - произвольная положительная операторнозначная мера (ПОВМ); то есть набор операторов, удовлетворяющих . Это также может быть произвольное проективное измерение (PVM), что означает, что это POVM, которое также удовлетворяет и . Тогда для любой пары состояний и имеем $\{E_{k}\}_{k}$ $E_{k}$ $\sum _{k}E_{k}=I$ $E_{j}E_{k}=\delta _{jk}E_{j}$ $E_{k}^{2}=E_{k}$ $\rho$ $\sigma$

{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )}}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}}\equiv \sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}},

где на последнем шаге мы обозначили распределения вероятностей, полученные путем измерения с помощью POVM .

p_{k},q_{k}

\rho ,\ \sigma

\{E_{k}\}_{k}

Это показывает, что квадратный корень из точности между двумя квантовыми состояниями ограничен сверху коэффициентом Бхаттачарьи между соответствующими распределениями вероятностей в любой возможной POVM. В самом деле, в более общем смысле верно, что

F(\rho ,\sigma )=\min _{\{E_{k}\}}F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}}),

где , а минимум берется по всем возможным POVM.

F({\boldsymbol {p}},{\boldsymbol {q}})\equiv \left(\sum _{k}{\sqrt {p_{k}q_{k}}}\right)^{2}

Доказательство неравенства [ править ]

Как было показано ранее, квадратный корень из точности может быть записан как что эквивалентно существованию унитарного оператора, такого что ${\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} |{\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}|,$ $U$

{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U).

Помня, что это верно для любого POVM, мы можем написать

\sum _{k}E_{k}=I

{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}=\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}{\sqrt {\sigma }}U)=\sum _{k}\operatorname {tr} ({\sqrt {\rho }}E_{k}E_{k}{\sqrt {\sigma }}U)\leq \sum _{k}{\sqrt {\operatorname {tr} (E_{k}\rho )\operatorname {tr} (E_{k}\sigma )}},

где на последнем шаге мы использовали неравенство Коши-Шварца, как в .

|\operatorname {tr} (A^{\dagger }B)|^{2}\leq \operatorname {tr} (A^{\dagger }A)\operatorname {tr} (B^{\dagger }B)

Поведение при квантовых операциях [ править ]

Можно показать, что точность между двумя состояниями никогда не уменьшается, когда к состояниям применяется неизбирательная квантовая операция : ^[10] ${\mathcal {E}}$

F({\mathcal {E}}(\rho ),{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq F(\rho ,\sigma ),

для любой сохраняющей след полностью положительной карты .

{\mathcal {E}}

Связь с расстоянием трассировки [ править ]

Мы можем определить расстояние следа между двумя матрицами A и B в терминах нормы следа как

D(A,B)={\frac {1}{2}}\|A-B\|_{\rm {tr}}\,.

Когда A и B оба являются операторами плотности, это квантовое обобщение статистического расстояния . Это актуально, потому что расстояние следа обеспечивает верхнюю и нижнюю границы точности, что количественно определяется неравенствами Фукса – ван де Граафа , ^[11]

1-{\sqrt {F(\rho ,\sigma )}}\leq D(\rho ,\sigma )\leq {\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )}}\,.

Часто расстояние трассировки легче вычислить или ограничить, чем точность, поэтому эти отношения весьма полезны. В случае, если хотя бы одно из состояний является чистым состоянием , нижняя граница может быть ужесточена.

1-F(\psi ,\rho )\leq D(\psi ,\rho )\,.

Ссылки [ править ]

^ CA Fuchs, CM Caves: "Ансамбл-зависимые границы для доступной информации в квантовой механике" , Physical Review Letters 73, 3047 (1994)
^ a b Р. Джозса, Верность для смешанных квантовых состояний , J. Mod. Опт. 41 , 2315--2323 (1994). DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171
^ М. Хюбнер, Явное вычисление расстояния Буреша для матриц плотности , Phys. Lett. А 163 , 239--242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B
^ a b Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9780511976667 . ISBN 978-0521635035.
^ Бенгтссону, Ингемар (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность . Кембридж, Соединенное Королевство Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-02625-4.
^ Стены, DF; Милберн, GJ (2008). Квантовая оптика . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-28573-1.
Перейти ↑ Jaeger, Gregg (2007). Квантовая информация: обзор . Нью-Йорк Лондон: Спрингер. ISBN 978-0-387-35725-6.
^ Ульман, А. (1976). «Вероятность перехода» в пространстве состояний ∗ -алгебры » (PDF) . Доклады по математической физике . 9 (2): 273–279. Bibcode : 1976RpMP .... 9..273U . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90060-4 . ISSN 0034-4877 .
^ К. Жичковски, И. Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2008, 131
^ Nielsen, MA (1996-06-13). «Верность запутанности и квантовая коррекция ошибок». arXiv : квант-ph / 9606012 . Bibcode : 1996quant.ph..6012N . Cite journal requires |journal= (help)
^ CA Fuchs и J. van de Graaf, "Меры криптографической различимости для квантово-механических состояний", IEEE Trans. Инф. Теория 45, 1216 (1999). arXiv: Quant-ph / 9712042

Quantiki: верность

[1] CA Fuchs, CM Caves: "Ансамбл-зависимые границы для доступной информации в квантовой механике" , Physical Review Letters 73, 3047 (1994)

[JozsaJMO1994-2] Р. Джозса, Верность для смешанных квантовых состояний , J. Mod. Опт. 41 , 2315--2323 (1994). DOI: http://doi.org/10.1080/09500349414552171

[HubnerPLA1992-3] М. Хюбнер, Явное вычисление расстояния Буреша для матриц плотности , Phys. Lett. А 163 , 239--242 (1992). DOI: https://doi.org/10.1016/0375-9601%2892%2991004-B

[Nielsen_Chuang-4] Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9780511976667 . ISBN 978-0521635035.

[5] Бенгтссону, Ингемар (2017). Геометрия квантовых состояний: введение в квантовую запутанность . Кембридж, Соединенное Королевство Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-02625-4.

[6] Стены, DF; Милберн, GJ (2008). Квантовая оптика . Берлин: Springer. ISBN 978-3-540-28573-1.

[7] Перейти ↑ Jaeger, Gregg (2007). Квантовая информация: обзор . Нью-Йорк Лондон: Спрингер. ISBN 978-0-387-35725-6.

[Uhlmann1976-8] Ульман, А. (1976). «Вероятность перехода» в пространстве состояний ∗ -алгебры » (PDF) . Доклады по математической физике . 9 (2): 273–279. Bibcode : 1976RpMP .... 9..273U . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (76) 90060-4 . ISSN 0034-4877 .

[9] К. Жичковски, И. Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний , Cambridge University Press, 2008, 131

[10] Nielsen, MA (1996-06-13). «Верность запутанности и квантовая коррекция ошибок». arXiv : квант-ph / 9606012 . Bibcode : 1996quant.ph..6012N . Cite journal requires |journal= (help)

[11] CA Fuchs и J. van de Graaf, "Меры криптографической различимости для квантово-механических состояний", IEEE Trans. Инф. Теория 45, 1216 (1999). arXiv: Quant-ph / 9712042