Радиус заполнения

В римановой геометрии , то радиус заполнения из риманова многообразия X является метрическим инвариантом X . Первоначально он был введен в 1983 годе Михаил Громов , который использовал его , чтобы доказать свое систолическое неравенство для существенных многообразий , значительно обобщающим неравенство тор Лёвнера и неравенство Pu в для вещественной проективной плоскости и создание систолической геометрии в его современной форме.

Радиус заполнения простой петли C на плоскости определяется как наибольший радиус R  > 0 круга, который помещается внутри  C :

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})=R.}$

Двойное определение через окрестности [ править ]

Существует своего рода двойственная точка зрения, позволяющая чрезвычайно плодотворно обобщить это понятие, как показал Громов. А именно, мы рассматриваем -окрестности петли C , обозначенные${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle U_{\varepsilon }C\subset \mathbb {R} ^{2}.}$

По мере увеличения -соседство поглощает все больше и больше внутренней части петли. Последний пункт , который будет поглощен именно центр крупнейшего вписанного круга. Следовательно, мы можем переформулировать приведенное выше определение, определив как нижнюю грань такого, что цикл C сжимается до точки в .${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$${\displaystyle \mathrm {FillRad} (C\subset \mathbb {R} ^{2})}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle U_{\varepsilon }C}$

Учитывая компактное многообразие X, вложенное, скажем, в евклидово пространство E , мы могли бы определить радиус заполнения относительно вложения, минимизируя размер окрестности, в которой X могло бы быть гомотопным в нечто меньшее измерение, например, в меньшее измерение. многогранник. Технически удобнее работать с гомологическим определением.${\displaystyle U_{\varepsilon }X\subset E}$

Гомологическое определение [ править ]

Обозначим через A кольцо коэффициентов или , в зависимости от того, ориентируемо ли X или нет . Тогда фундаментальный класс компактного n- мерного многообразия X , обозначаемый [X] , является генератором группы гомологий , и мы полагаем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle H_{n}(X;A)\simeq A}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X\subset E)=\inf \left\{\varepsilon >0\mid \iota _{\varepsilon }([X])=0\in H_{n}(U_{\varepsilon }X)\right\},}$

где - гомоморфизм включения.${\displaystyle \iota _{\varepsilon }}$

Чтобы определить абсолютный радиус заполнения в ситуации, когда X снабжено римановой метрикой g , Громов поступает следующим образом. Один использует вложение Куратовского . Вкладывают X в банахово пространство ограниченных борелевских функций на X , снабженное sup нормой . А именно, мы сопоставляем точку с функцией, определенной формулой для всех , где d - функция расстояния, определяемая метрикой. По неравенству треугольника имеем${\displaystyle L^{\infty }(X)}$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f_{x}\in L^{\infty }(X)}$${\displaystyle f_{x}(y)=d(x,y)}$${\displaystyle y\in X}$${\displaystyle d(x,y)=\|f_{x}-f_{y}\|,}$и поэтому вложение сильно изометрично в том смысле, что внутреннее расстояние и внешнее расстояние совпадают. Такое сильно изометрическое вложение невозможно, если объемлющее пространство является гильбертовым пространством, даже если X - риманова окружность (расстояние между противоположными точками должно быть π , а не 2!). Затем мы устанавливаем в приведенной выше формуле и определяем${\displaystyle E=L^{\infty }(X)}$

${\displaystyle \mathrm {FillRad} (X)=\mathrm {FillRad} \left(X\subset L^{\infty }(X)\right).}$

Свойства [ править ]

• Радиус заполнения составляет не более трети диаметра (Кац, 1983).
• Радиус заполнения реального проективного пространства метрикой постоянной кривизны составляет треть его риманова диаметра, см. (Katz, 1983). Эквивалентно радиус наполнения в этих случаях составляет шестую часть систолы.
• Радиус заполнения римановой окружности длиной 2π, т.е. единичной окружности с индуцированной функцией риманова расстояния, равен π / 3, т.е. шестой части ее длины. Это следует из комбинации упомянутой выше верхней границы диаметра с нижней границей Громова с точки зрения систолы (Громов, 1983).
• Систола существенного многообразия M не более чем в шесть раз больше его радиуса заполнения, см. (Громов, 1983).
  • Неравенство оптимально в том смысле, что граничный случай равенства достигается действительными проективными пространствами, как указано выше.
• Радиус приемистости компактного многообразия дает нижнюю границу заполнения радиуса. А именно,

  ${\displaystyle \mathrm {FillRad} M\geq {\frac {\mathrm {InjRad} M}{2(\dim M+2)}}.}$

См. Также [ править ]

• Гипотеза области заполнения
• Систолическое неравенство Громова для существенных многообразий

Ссылки [ править ]

• Громов, М .: Заполняющие римановы многообразия, Журнал дифференциальной геометрии 18 (1983), 1–147.
• Кац, М .: Радиус заполнения двухточечных однородных пространств. Журнал дифференциальной геометрии 18, номер 3 (1983), 505–511.
• Кац , Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология , Математические обзоры и монографии, 137 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4177-8, OCLC  77716978