Уравнение фишера

Уравнение Фишера в финансовой математике и экономике оценивает взаимосвязь между номинальной и реальной процентной ставкой в условиях инфляции . Он назван в честь Ирвинга Фишера , прославившегося своими работами по теории процента . В финансах уравнение Фишера в основном используется при расчетах доходности к погашению облигаций или расчетов IRR инвестиций . В экономике это уравнение используется для прогнозирования поведения номинальной и реальной процентной ставки.

Пусть $r$ обозначает реальную процентную ставку , $i$ обозначает номинальную процентную ставку , и пусть $π$ обозначает уровень инфляции , линейное приближение , но уравнение Фишера часто записывается как равенство:

{\ Displaystyle я = г + \ пи}

Уравнение Фишера может использоваться как в предварительном (до), так и в последующем (после) анализе. Постфактум его можно использовать для описания реальной покупательной способности ссуды:

{\ Displaystyle г = я- \ пи}

Превратившись в уравнение Фишера, дополненное ожиданиями, с учетом желаемой реальной нормы прибыли и ожидаемого уровня инфляции $π e$ (с надстрочным индексом $e,$ означающим «ожидаемый») в течение периода кредита, его можно использовать как предварительную версию для принять решение о номинальной ставке, которая должна взиматься по ссуде:

{\ Displaystyle я = г + \ пи ^ {е}}

Это уравнение существовало до Фишера, ^[1]^[2]^[3], но Фишер предложил лучшее приближение, которое приводится ниже. Приближение может быть получено из точного уравнения:

{\ displaystyle 1 + i = (1 + r) (1+ \ pi).}

Вывод [ править ]

Хотя временные индексы иногда опускаются, интуиция, лежащая в основе уравнения Фишера, - это связь между номинальной и реальной процентной ставкой через инфляцию и процентное изменение уровня цен между двумя периодами времени. Итак, предположим, что кто-то покупает облигацию на 1 доллар в период $t,$ когда процентная ставка равна $i t$ . При погашении в период $t + 1$ покупатель получит $(1 + i t)$ долларов. Однако, если ожидается , что уровень инфляции в момент $t + 1$ составит $π t +1$ , то приведенная стоимость выручки от облигации будет равна $(1 + i t) / (1 + π t +1)$ , что эквивалентно реальному росту в момент $t + 1,$ заданному формулой $(1 + r t +1)$ . Следовательно,

{\ displaystyle (1 + r_ {t + 1}) = {\ frac {1 + i_ {t}} {1+ \ pi _ {t + 1}}}}

Отсюда можно рассчитать номинальную процентную ставку.

{\ Displaystyle {\ begin {align} 1 + i_ {t} & = \ left (1 + r_ {t + 1} \ right) \ left (1+ \ pi _ {t + 1} \ right) \\ & = 1 + r_ {t + 1} + \ pi _ {t + 1} + r_ {t + 1} \ pi _ {t + 1} \ end {align}}}

Следовательно,

{\begin{aligned}i_{t}&=r_{t+1}+\pi _{t+1}+r_{t+1}\pi _{t+1}\\&\approx r_{t+1}+\pi _{t+1}\end{aligned}}

Последняя строка следует из предположения, что и реальные процентные ставки, и уровень инфляции довольно малы (возможно, порядка нескольких процентов, хотя это зависит от приложения), поэтому $r t +1 + π t +1$ намного больше, чем $r t +1 π t +1,$ поэтому $r t +1 π t +1$ можно отбросить.

Более формально это линейное приближение дается с помощью двух разложений Тейлора 1-го порядка , а именно:

{\begin{aligned}{\frac {1}{1+x}}&\approx 1-x,\\(1+x)(1+y)&\approx 1+x+y.\end{aligned}}

Объединение этих результатов дает приближение:

1+r={\frac {1+i}{1+\pi }}\approx (1+i)(1-\pi )\approx 1+i-\pi ,

и поэтому

r\approx i-\pi .

Эти приближения, действительные только для небольших изменений, могут быть заменены равенствами, действительными для любых изменений размера, если используются логарифмические единицы .

Приложения [ править ]

Анализ затрат и выгод [ править ]

Как подробно описали Стив Ханке , Филип Карвер и Пол Багг (1975) ^[4], анализ затрат и выгод может быть сильно искажен, если не применять точное уравнение Фишера. Цены и процентные ставки должны прогнозироваться в реальном или номинальном выражении.

В целях анализа затрат и выгод инфляцию можно последовательно обрабатывать одним из двух способов. Во-первых, при расчете приведенной стоимости ожидаемых чистых выгод цены и процентные ставки могут быть рассчитаны в реальном выражении. То есть ни в цены, ни в процентные ставки не учитываются инфляционные компоненты. Второй подход включает инфляцию как в расчет цены, так и в расчет процентной ставки; расчеты производятся в номинальном выражении. Как подробно описано ниже, оба подхода эквивалентны, если и цены, и процентные ставки прогнозируются в реальном выражении или оба прогнозируются в номинальном выражении.

Например, предположим, что $Z i$ представляет собой недисконтированную ожидаемую чистую прибыль на конец года $t$ , оцененную в постоянных ценах, а $R t, I t$ и $r t$ - реальная процентная ставка, ожидаемый уровень инфляции и номинальная процентная ставка на год $t, t = 1, ..., n$ соответственно. Приведенная стоимость ожидаемой чистой прибыли $PVNB$ определяется как

{\text{PVNB}}={\frac {Z_{1}}{1+R_{1}}}+{\frac {Z_{2}}{(1+R_{1})(1+R_{2})}}+\cdots +{\frac {Z_{n}}{(1+R_{1})\cdots (1+R_{n})}}

где компоненты инфляции не включены ни в цены, ни в процентную ставку. В качестве альтернативы приведенная стоимость ожидаемых чистых выгод определяется как

{\text{PVNB}}={\frac {Z_{1}(1+I_{1})}{1+r_{1}}}+{\frac {Z_{2}(1+I_{1})(1+I_{2})}{(1+r_{1})(1+r_{2})}}+\cdots +{\frac {Z_{n}(1+I_{1})\cdots (1+I_{n})}{(1+r_{1})\cdots (1+r_{n})}}

или через связь, продиктованную точным уравнением Фишера

{\begin{aligned}{\text{PVNB}}&={\frac {Z_{1}(1+I_{1})}{(1+R_{1})(1+I_{1})}}+{\frac {Z_{2}(1+I_{1})(1+I_{2})}{(1+R_{1})(1+R_{2})(1+I_{1})(1+I_{2})}}+\cdots \\[8pt]&{}\qquad \cdots +{\frac {Z_{n}(1+I_{1})\cdots (1+I_{n})}{(1+R_{1})\cdots (1+R_{n})(1+I_{1})\cdots (1+I_{n})}}\end{aligned}}

При наблюдении за приведенными выше уравнениями становится ясно, что приведенная стоимость чистых выгод, полученных с помощью любого уравнения, будет идентична. Это снимает вопрос о том, проводить ли анализ затрат и выгод в постоянных или номинальных ценах.

Облигации с индексом инфляции [ править ]

Уравнение Фишера имеет важное значение при торговле облигациями , индексированными на инфляцию , где изменения купонных выплат являются результатом изменений безубыточной инфляции, реальных процентных ставок и номинальных процентных ставок. ^{[ необходима цитата ]}

Денежно-кредитная политика [ править ]

Уравнение Фишера играет ключевую роль в гипотезе Фишера , которая утверждает, что реальная процентная ставка не зависит от денежно-кредитной политики и, следовательно, не зависит от ожидаемого уровня инфляции. При фиксированной реальной процентной ставке данное процентное изменение ожидаемого уровня инфляции, согласно уравнению, обязательно будет встречаться с равным процентным изменением номинальной процентной ставки в том же направлении.

См. Также [ править ]

Реальная стоимость по сравнению с номинальной (экономика)
Урожай
Кривая доходности
Процентная ставка
Инфляция

Ссылки [ править ]

^ https://archive.org/details/appreciationinte00fish
^ http://www.policonomics.com/irving-fisher/
^ http://199.169.211.101/publications/research/economic_review/1983/pdf/er690301.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Ханке, Стив Х. (1981). «Повторная оценка проекта во время инфляции: решение проблемы относительного изменения цен Турви». Исследование водных ресурсов . 17 (6): 1737–1738. Bibcode : 1981WRR .... 17.1737H . DOI : 10.1029 / WR017i006p01737 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Барро, Роберт Дж. (1997), Макроэкономика (5-е изд.), Кембридж: MIT Press, ISBN 0-262-02436-5.
Фишер, Ирвинг (1977) [1930]. Теория интереса . Филадельфия: Porcupine Press. ISBN 0-87991-864-0.

[1] ttps://archive.org/details/appreciationinte00fish

[2] ttp://www.policonomics.com/irving-fisher/

[3] ttp://199.169.211.101/publications/research/economic_review/1983/pdf/er690301.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[4] Ханке, Стив Х. (1981). «Повторная оценка проекта во время инфляции: решение проблемы относительного изменения цен Турви». Исследование водных ресурсов . 17 (6): 1737–1738. Bibcode : 1981WRR .... 17.1737H . DOI : 10.1029 / WR017i006p01737 .

[1]