Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В философии математики , формализм является мнением , что считает , что утверждения математики и логики можно считать заявления о последствиях манипуляции строк (буквенно - цифровые последовательности символов, как правило , в качестве уравнений) с использованием установленных правил манипуляции . Центральная идея формализма «состоит в том, что математика - это не совокупность предложений, представляющих абстрактный сектор реальности, а гораздо больше похожа на игру, не приносящую с собой больше приверженности онтологии объектов или свойств, чем лудо или шахматы ». [1]Согласно формализму, истины, выраженные в логике и математике, не касаются чисел, множеств, треугольников или любого другого сопутствующего предмета - фактически, они вообще ни о чем не «ни о чем». Скорее, математические утверждения - это синтаксические формы, формы и расположение которых не имеют значения, если им не дана интерпретация (или семантика ). В отличие от логицизма или интуиционизма , контуры формализма менее определены из-за широких подходов, которые можно отнести к категории формалистических.

Наряду с логицизмом и интуиционизмом формализм является одной из основных теорий философии математики, которая развивалась в конце девятнадцатого и начале двадцатого века. Среди формалистов самым известным защитником был Давид Гильберт . [2]

Ранний формализм [ править ]

Ранние математические формалисты пытались «блокировать, избегать или обходить (каким-то образом) любые онтологические обязательства в проблемной сфере абстрактных объектов». [1] Немецкие математики Эдуард Гейне и Карл Йоханнес Тома считаются первыми сторонниками математического формализма. [1] Формализм Гейне и Тома можно найти в критических замечаниях Готтлоба Фреге в «Основах арифметики» .

Согласно Алану Вейру, формализм Гейне и Тома, который атакует Фреге, можно «описать [d] как термин формализм или игровой формализм». [1] Термин формализм - это точка зрения, согласно которой математические выражения относятся к символам, а не к числам. Гейне выразил эту точку зрения следующим образом: «Когда дело доходит до определения, я занимаю чисто формальную позицию, в которой я называю определенные вещественные знаки числами, так что существование этих чисел не подлежит сомнению». [3]

Томае охарактеризован как игровой формалист, заявивший, что «[е] или формалист, арифметика - это игра со знаками, которые называются пустыми. Это означает, что у них нет другого содержания (в вычислительной игре), кроме того, что им предписано их поведением в отношении определенных правил комбинации (правил игры) ». [4]

Фреге критикует формализм Гейне и Тома тремя способами: «что [формализм] не может объяснить применение математики; что он смешивает формальную теорию с метатеорией; [и] что он не может дать связного объяснения концепции бесконечной последовательности». [5] Фреге критикует формализм Гейне за то, что его формализм не может объяснить бесконечные последовательности. Даммит утверждает, что более развитые концепции формализма, чем теория Гейне, могли бы избежать возражений Фреге, заявив, что они касаются абстрактных символов, а не конкретных объектов. [6] Фреге возражает против сравнения формализма с игрой, такой как шахматы. [7] Фреге утверждает, что формализм Тома не проводит различия между игрой и теорией.

Формализм Гильберта [ править ]

Дэвид Гильберт

Главной фигурой формализма был Дэвид Гильберт , программа которого была задумана как полная и последовательная аксиоматизация всей математики. [8] Гильберт стремился показать непротиворечивость математических систем, исходя из предположения, что «финитная арифметика» (подсистема обычной арифметики положительных целых чисел , выбранная как философски бесспорная) была непротиворечивой (т. Е. Никакие противоречия не могли быть выведены из система).

Способ, которым Гильберт пытался показать непротиворечивость аксиоматической системы, заключался в ее формализации с использованием определенного языка. [9] Чтобы формализовать аксиоматическую систему, вы должны сначала выбрать язык, на котором вы можете выражать и выполнять операции в этой системе. Этот язык должен включать пять компонентов:

  • Он должен включать такие переменные, как x, которые могут означать некоторое число.
  • Он должен иметь кванторы, такие как символ существования объекта.
  • Он должен включать равенство.
  • Он должен включать такие связки, как ↔ для «тогда и только тогда».
  • Он должен включать определенные неопределенные термины, называемые параметрами. Для геометрии эти неопределенные термины могут быть чем-то вроде точки или линии, для которых мы все еще выбираем символы.

Приняв этот язык, Гильберт думал, что мы можем доказать все теоремы в рамках любой аксиоматической системы, используя не что иное, как сами аксиомы и выбранный формальный язык.

Вывод Гёделя в его теоремах о неполноте заключался в том, что невозможно доказать непротиворечивость в рамках любой непротиворечивой аксиоматической системы, достаточно богатой, чтобы включать классическую арифметику. С одной стороны, вы должны использовать только формальный язык, выбранный для формализации этой аксиоматической системы; с другой стороны, невозможно доказать непротиворечивость этого языка как такового. [9] Изначально Гильберт был разочарован работой Гёделя, потому что она разрушила цель его жизни - полностью формализовать все в теории чисел. [10] Однако Гёдель не чувствовал, что он противоречит всему, что касается формалистической точки зрения Гильберта . [11] По Гёделюопубликовал свою работу, стало очевидно, что теория доказательств все еще находит применение, с той лишь разницей, что ее нельзя было использовать для доказательства непротиворечивости всей теории чисел, как надеялся Гильберт . [10]

Гильберт изначально был дедуктивистом [ необходима цитата ], но он считал, что определенные метаматематические методы дают существенные результаты, и был реалистом в отношении финитарной арифметики. Позже он придерживался мнения, что никакой другой значимой математики не существует, независимо от интерпретации.

Дальнейшее развитие [ править ]

Другие формалисты, такие как Рудольф Карнап , считали математику исследованием формальных систем аксиом . [12]

Хаскелл Карри определяет математику как «науку о формальных системах». [13] Формализм Карри не похож на формализм терминов, формалистов игр или формализм Гильберта. Для Карри математический формализм касается формальной структуры математики, а не формальной системы. [13] Стюарт Шапиро описывает формализм Карри как исходящий из «исторического тезиса о том, что по мере развития раздела математики она становится все более и более строгой в своей методологии, конечным результатом которой является кодификация этой ветви в формальных дедуктивных системах». [14]

Критика формализма [ править ]

Курт Гёдель указал на одну из слабых сторон формализма, обратившись к вопросу о непротиворечивости аксиоматических систем.

Бертран Рассел утверждал, что формализм не может объяснить, что подразумевается под лингвистическим применением чисел в таких утверждениях, как «в комнате трое мужчин». [15]

См. Также [ править ]

  • QED проект
  • Математический формализм
  • Формализованная математика

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d Вейр, Алан (2015), «Формализм в философии математики» , в Zalta, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (издание весна 2015 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 25.05.2019
  2. ^ Саймонс, Питер (2009). "Формализм". Философия математики . Эльзевир. п. 292. ISBN. 9780080930589.
  3. ^ Саймонс, Питер (2009). Философия математики . Эльзевир. п. 293. ISBN 9780080930589.
  4. ^ Фреге, Готтлоб (1903). Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа . Чикаго: издательство Северо-Западного университета. п. 183.
  5. ^ Даммит, Майкл (1991). Фреге: Философия математики . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 252. ISBN. 9780674319356.
  6. ^ Даммит, Майкл (1991). Фреге: Философия математики . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. п. 253. ISBN. 9780674319356.
  7. ^ Фреге, Готтлоб; Эберт, Филип А .; Кук, Рой Т. (1893). Основные законы арифметики: выведены с использованием концепт-сценария . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета (опубликовано в 2013 г.). С. § 93. ISBN 9780199281749.
  8. ^ Зак, Ричард (2019), «Программа Гильберта» , в Залте, Эдвард Н. (ред.), Стэнфордская энциклопедия философии (изд. Лето 2019 г.), Исследовательская лаборатория метафизики, Стэнфордский университет , получено 25 мая 2019 г.
  9. ^ a b Snapper, Эрнст (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм» (PDF) . Математический журнал . 52 (4): 207–216. DOI : 10.1080 / 0025570X.1979.11976784 .
  10. ^ а б Рид, Констанс; Вейль, Герман (1970). Гильберта . Springer-Verlag. п. 198. ISBN 9783662286159.
  11. Перейти ↑ Gödel, Kurt (1986). Феферман, Соломон (ред.). Курт Гёдель: Собрание сочинений: Том I: Публикации 1929-1936 гг . 1 . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 195. ISBN 9780195039641.
  12. ^ Карнап, Рудольф (1937). Логический синтаксис языка . Рутледж. С. 325–328. ISBN 9781317830597.
  13. ^ a b Карри, Хаскелл Б. (1951). Очерки формалистической философии математики . Эльзевир. п. 56. ISBN 9780444533685.
  14. ^ Шапиро, Стюарт (2005). "Формализм". Оксфордский компаньон философии . Хондерих, Тед (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 9780191532658. OCLC  62563098 .
  15. ↑ Бертран Рассел « Мое философское развитие» , 1959, гл. ИКС.

Внешние ссылки [ править ]

  • СМИ, связанные с формализмом (дедуктивным) на Викискладе?