Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Основы арифметики
Титульный лист Die Grundlagen der Arithmetik.jpg
Титульный лист оригинального издания 1884 г.
АвторГоттлоб Фреге
Оригинальное названиеDie Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-Mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl
ПереводчикJL Остин
СтранаГермания
ЯзыкНемецкий
ПредметФилософия математики
Опубликовано1884 г.
Страницы119 (оригинальный немецкий)
ISBN0810106051
OCLC650

«Основы арифметики» ( нем . Die Grundlagen der Arithmetik ) - это книга Готтлоба Фреге , опубликованная в 1884 году, в которой исследуются философские основы арифметики . Фреге опровергает другие теории чисел и развивает собственную теорию чисел. Grundlagen также помог мотивировать более поздние работы Фрега в логицизме . Книга не получила одобрения и не получила широкого распространения, когда была опубликована. Однако это привлекло внимание Бертрана Рассела и Людвига Витгенштейна., оба находились под сильным влиянием философии Фреге. Английский перевод был опубликован (Оксфорд, 1950) Дж. Л. Остином со вторым изданием в 1960 г. [1]

Критика предшественников [ править ]

Психологистские объяснения математики [ править ]

Фреге возражает против любого объяснения математики, основанного на психологизме , то есть взгляде, что математика и числа относятся к субъективным мыслям людей, которые думают о них. Согласно Фреге, психологические объяснения апеллируют к тому, что является субъективным, в то время как математика чисто объективна: математика полностью независима от человеческого мышления. Математические сущности, согласно Фреге, обладают объективными свойствами независимо от того, что люди думают о них: невозможно думать о математических утверждениях как о чем-то, что естественным образом возникло в ходе человеческой истории и эволюции . Он видит фундаментальное различие между логикой(и ее расширение, согласно Фреге, математика) и психология. Логика объясняет необходимые факты, тогда как психология изучает определенные мыслительные процессы в сознании людей. [2]

Кант [ править ]

Фреге высоко ценит работы Иммануила Канта . Он критикует его главным образом на том основании, что числовые утверждения не являются синтетическими - априори , а скорее аналитическими - априори. [3] Кант утверждает, что 7 + 5 = 12 - недоказуемое синтетическое утверждение. [4] Независимо от того, сколько мы анализируем идею 7 + 5, мы не найдем там идею 12. Мы должны прийти к идее 12 путем применения к объектам в интуиции. Кант указывает, что это становится тем более ясным при больших числах. Фреге, как раз в этом вопросе, придерживается противоположного направления. Кант ошибочно предполагает, что в предложении, содержащем «большие» числа, мы должны подсчитывать точки или что-то подобное, чтобы подтвердить их истинностное значение.. Фреге утверждает, что, даже не имея интуиции в отношении любого из чисел в следующем уравнении: 654 768 + 436 382 = 1 091 150, мы, тем не менее, можем утверждать, что это истинно. Это предоставляется как доказательство того, что такое предположение является аналитическим. Хотя Фреге согласен с тем, что геометрия действительно синтетическая априори, арифметика должна быть аналитической. [5]

Милл [ править ]

Фреге резко критикует эмпиризм из Джона Стюарта Милля . [6] [7] Он утверждает, что идея Милля о том, что числа соответствуют различным способам разделения коллекций объектов на подколлекции, несовместима с уверенностью в вычислениях с использованием больших чисел. [8] [9] Он также отрицает, что философия Милля адекватно трактует понятие нуля . [10] Он продолжает утверждать, что операцию сложения нельзя понимать как относящуюся к физическим величинам, и что замешательство Милля в этом вопросе является симптомом более серьезной проблемы, заключающейся в путанице приложений арифметики к самой арифметике.

Развитие собственного взгляда Фреге на число [ править ]

Смотрите также: теорема Фреге

Фреге проводит различие между конкретными числовыми утверждениями, такими как 1 + 1 = 2, и общими утверждениями, такими как a + b = b + a. Последние утверждения справедливы в отношении чисел так же хорошо, как и первые. Следовательно, необходимо попросить дать определение самого понятия числа. Фреге исследует возможность того, что число определяется внешними вещами. Он демонстрирует, как числа в естественном языке действуют как прилагательные. «Этот стол имеет 5 ящиков» по ​​форме похож на «Этот стол имеет зеленые ящики». Зеленые ящики - это объективный факт, связанный с внешним миром. Но это не относится к 5. Фреге утверждает, что каждый ящик находится на своем собственном зеленом поле, но не каждый ящик имеет 5. [11]Фреге призывает нас помнить, что из этого не следует, что числа могут быть субъективными. Действительно, числа похожи на цвета, по крайней мере, в том, что оба они полностью объективны. Фреге говорит нам, что мы можем преобразовать числовые выражения, в которых числовые слова появляются прилагательно (например, «есть четыре лошади»), в утверждения, где числовые термины появляются как единичные термины («количество лошадей - четыре»). [12] Фреге рекомендует такие переводы, потому что считает числа объектами. Нет смысла спрашивать, подпадают ли какие-либо объекты под категорию 4. После того, как Фреге приводит некоторые причины думать, что числа являются объектами, он приходит к выводу, что утверждения чисел являются утверждениями о концепциях.

Фреге считает это наблюдение основной мыслью Грундлагена . Например, предложение «количество лошадей в сарае равно четырем» означает, что четыре объекта подпадают под концептуальную лошадь в сарае . Фреге пытается объяснить наше понимание чисел через контекстное определение операции мощности («число ...» или ). Он пытается построить содержание суждения, включающего числовую идентичность, опираясь на принцип Юма (который гласит, что количество F равно количеству G тогда и только тогда, когда F и G равны между собой , т. Е. В соответствии один-один). [13]Он отвергает это определение, потому что оно не фиксирует истинностное значение утверждений идентичности, когда единичный термин, не имеющий формы «число F», фланкирует знак идентичности. Фреге дает явное определение числа в терминах расширения понятий, но выражает некоторые сомнения.

Определение числа Фреге [ править ]

Фреге утверждает, что числа являются объектами и что-то утверждают о концепции. Фреге определяет числа как расширения понятий. «Количество F - х» определяется как расширение понятия G является концепцией , которая является equinumerous к F . Рассматриваемое понятие приводит к классу эквивалентности всех понятий, имеющих номер F (включая F). Фреге определяет 0 как расширение понятия , не являющееся самоидентичным . Итак, номер этого понятия является расширением понятия всех понятий, не имеющих подпадающих под них объектов. Число 1 является продолжением идентичности с 0. [14]

Наследие [ править ]

Книга сыграла фундаментальную роль в развитии двух основных дисциплин: основ математики и философии. Хотя Бертран Рассел позже обнаружил серьезный недостаток в работе Фреге (этот недостаток известен как парадокс Рассела , который разрешается аксиоматической теорией множеств ), книга оказала влияние на последующие разработки, такие как « Принципы математики» . Книгу также можно считать отправной точкой в ​​аналитической философии, поскольку она вращается в основном вокруг анализа языка с целью прояснения концепции числа. Взгляды Фреге на математику также являются отправной точкой для философии математики, поскольку они вводят новаторский подход к эпистемологии чисел и математики в целом, известный как логицизм.

Редакции [ править ]

  • Фреге, Готтлоб (1884). Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch-Mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl . Бреслау: Verlag von Wilhelm Koebner.
  • Фреге, Готтлоб (1960). Основы арифметики: логико-математическое исследование понятия числа . Перевод Остина, JL (2-е изд.). Эванстон, Иллинойс : издательство Северо-Западного университета. ISBN 0810106051. OCLC  650 .CS1 maint: ref = harv ( ссылка )

См. Также [ править ]

  • Основной закон V
  • Begriffsschrift
  • Принцип контекста
  • Фундаментализм
  • Лингвистический поворот
  • Психологизм диспут
  • Круглая квадратная связка

Ссылки [ править ]

  1. ↑ Frege 1960 .
  2. ^ Фреге , §27.
  3. ^ Frege , §12: «Но интуиция в этом [кантовском] смысле не может служить основанием для нашего знания законов арифметики».
  4. ^ Фреге , §5: «Кант объявляет [такие утверждения, как 2 + 3 = 5] недоказуемыми и синтетическими, но не решается называть их аксиомами, потому что они не являются общими и потому что их число бесконечно. Ганкель справедливо называет эту концепцию бесконечно многочисленных недоказанных примитивных истин несочетаемых и парадоксальных ».
  5. ^ Frege , §14: «Тот факт, что [отрицание постулата параллельности ] возможно, показывает, что аксиомы геометрии независимы друг от друга и от примитивных законов логики и, следовательно, являются синтетическими. предположения науки о числах? Здесь нам нужно только попытаться отрицать какое-либо из них, и возникает полная путаница ».
  6. ↑ Frege 1960 , стр. 9-12.
  7. ^ Шапиро 2000 , стр. 96: « Основы арифметики Фрегесодержат стойкие и ожесточенные нападки на счет арифметики Милля»
  8. ↑ Frege 1960 , стр. 10: «Если определение каждого отдельного числа действительно утверждает особый физический факт, тогда мы никогда не сможем в достаточной степени восхищаться своим знанием природы человеком, который считает с помощью девятизначных чисел».
  9. ^ Шапиро 2000 , стр. 98: «Фреге также привлекает Милля к задаче, касающейся больших чисел».
  10. ↑ Frege 1960 , стр. 11: «[...] число 0 было бы загадкой; я так понимаю, до сих пор никто никогда не видел и не касался 0 камешков».
  11. ^ Frege , §22: «Разве мы не в совершенно разных смыслах говорим о дереве, имеющем 1000 листьев и снова имеющем зеленые листья? Зеленый цвет мы приписываем каждому листу, но не числу 1000».
  12. ^ Фреге , §57: «Например, предложение« Юпитер имеет четыре луны »может быть преобразовано в« количество спутников Юпитера равно четырем »».
  13. ^ Фреге , §63: «Юм давным-давно выразил такое средство:« Когда два числа соединяются таким образом, что одно всегда имеет единицу, соответствующую каждой единице другого, мы объявляем их равными »».
  14. ^ Boolos 1998 , стр. 154: «Фреге определяет 0 как число концепта: быть несамотождественным . Поскольку все самотождественно, ни один объект не подпадает под это понятие. Фреге определяет 1 как число концепта , идентичного числу ноль . Только 0 и 0 подпадают под эту последнюю концепцию ".

Источники [ править ]

  • Булос, Джордж (1998). «Глава 9: Готтлоб Фреге и основы арифметики». Логика, логика и логика . Под редакцией Ричарда С. Джеффри, введение Джона П. Берджесса. Кембридж, Массачусетс: издательство Гарвардского университета. ISBN 9780674537675. OCLC  37509971 .
  • Шапиро, Стюарт (2000). Размышляя о математике: философия математики . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С.  95–98 . ISBN 9780192893062. OCLC  43864339 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Die Grundlagen der Arithmetik в Project Gutenberg - бесплатное полнотекстовое издание на немецком языке
  • Die Grundlagen der Arithmetik на archive.org - Бесплатное полнотекстовое издание на немецком языке
  • Стэнфорд энциклопедия философии : «теорема и основы Фрега для Арифметика» от Эдварда Залта .
  • Нечаев В.И. (2001) [1994], «Число» , Математическая энциклопедия , EMS Press.
  • Питер Субер , «Геометрия и арифметика - синтетические» , 2002.