В математике , то фильтр Фреше , также называемый коконечен фильтр , на множестве X определенная совокупность подмножеств X (то есть, это конкретное подмножество множества мощности из X ). Подмножество F из X принадлежит к фильтру Фреше тогда и только тогда , когда дополнение из F в X конечна. Любое такое множество F называется конфинитным в X , поэтому его также называют конфинитным фильтром наX .
Фильтр Фреше представляет интерес для топологии , откуда возникли фильтры, и относится к теории порядка и решеток, поскольку набор мощности множества является частично упорядоченным множеством при включении множества (более конкретно, он образует решетку). Фильтр Фреше назван в честь французского математика Мориса Фреше (1878–1973), который работал в области топологии.
Определение
Подмножество A множества X называется конфинитным в X, если его дополнение в X (т. Е. Множество X ∖ A ) конечно . Фильтр Фреше на X , обозначим через F , является множество всех непустых коконечен подмножеств X . То есть: [1]
- F = { A ⊆ X : X ∖ A конечно и A ≠ ∅ } .
Если X является не конечное множество , то каждое коконечен подмножество X обязательно не пустой , так что в данном случае определение становится просто
- F = { A ⊆ X : X ∖ A конечно } .
Это делает F фильтр на решетку ( P ( X ), ⊆), то набор мощности P из X с заданным включением, учитывая , что S с обозначает дополнение множества S в X , следующие два условия:
- Условие пересечения
- Если два множества конечно дополняемы в X , то также и их пересечение, поскольку ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c и
- Верхнее заданное состояние
- Если множество конечно дополняют в X , то и его надмножества в X .
Характеристики
Если базовое множество X конечно, то F = P ( X ), поскольку каждое подмножество X и, в частности, каждое дополнение, тогда конечно. Этот случай иногда исключается по определению, иначе называемый неправомерное фильтр на X . [2] Разрешение X быть конечным создает единственное исключение из того, что фильтр Фреше является свободным и неглавным, поскольку фильтр на конечном множестве не может быть свободным, а неглавный фильтр не может содержать какие-либо синглтоны в качестве членов.
Если X бесконечно, то каждый член F бесконечен, поскольку это просто X минус конечное число его членов. Кроме того, F является бесконечным , так как один из его подмножеств называется множество всех { х } с , где х ∈ Х .
Фильтр Фреше является как бесплатным, так и неглавным, за исключением упомянутого выше конечного случая, и включен в каждый бесплатный фильтр. Это также двойной фильтр в идеале всех конечных подмножеств (бесконечный) X .
Фильтр Фреше не обязательно является ультрафильтром (или максимально правильным фильтром). Рассмотрим = P (ℕ) , где ℕ - натуральные числа . Набор четных чисел - это дополнение набора нечетных чисел. Так как ни один из этих множеств конечно, ни один набор в фильтре Фреше на ℕ . Однако ультрафильтр является бесплатным тогда и только тогда, когда он включает фильтр Фреше. Существование свободных ультрафильтров было установлено Тарским в 1930 году на основе теоремы, эквивалентной аксиоме выбора, и используется при построении гиперреалов в нестандартном анализе . [3]
Примеры
Если X является конечное множество , то фильтр Фреше на X состоит из всех непустых подмножеств X .
На множестве ℕ из натуральных чисел , множество бесконечных интервалов B = {( п , ∞): п ∈ ℕ } является Фреш базисом фильтра , то есть фильтр Фреша на ℕ состоит из всех надмножеств элементов B . [ необходима цитата ]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ "Cofinite фильтр" . mathworld.wolfram.com .
- ^ Ходжес, Уилфрид (2008). «Теория моделей». Энциклопедия математики и ее приложений . Издательство Кембриджского университета. п. 265. ISBN 978-0-521-06636-5.
- ^ Пинто, Дж. Соуза; Хоскинс, РФ (2004). Инфинитезимальные методы математического анализа . Математика и приложения. Издательство Хорвуд. п. 53. ISBN 978-1-898563-99-0.
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Конечный фильтр" . MathWorld .
- JB Nation, Заметки по теории решеток , неопубликованные заметки по курсу доступны в виде двух файлов PDF.