Теория Галуа

К решеточной диаграмме поля Q примыкают положительные квадратные корни из 2 и 3, его подполя и группы Галуа.

В математике , теория Галуа , первоначально введенный Галуа , обеспечивает связь между теорией поля и теорией групп . Эта связь, основная теорема теории Галуа , позволяет свести к теории групп некоторые проблемы теории поля; это в некотором смысле упрощает их и позволяет лучше понять.

Галуа ввел предмет для изучения корней из многочленов . Это позволило ему охарактеризовать полиномиальные уравнения , которые разрешаются радикалами, с точки зрения свойств группы перестановок их корней - уравнение разрешимо с помощью радикалов, если его корни могут быть выражены формулой, включающей только целые числа , корни n- й степени и четыре основных арифметических операции . Это широко обобщает теорему Абеля – Руффини , которая утверждает, что общий многочлен степени не менее пяти не может быть решен радикалами.

Теория Галуа использовалась для решения классических проблем, включая демонстрацию того, что две проблемы древности не могут быть решены, как они были заявлены ( удвоение куба и деление угла на три части ), и характеристика правильных многоугольников, которые можно построить (эта характеристика была ранее дана Гауссом , но все известные доказательства полноты этой характеристики требуют теории Галуа).

Работа Галуа была опубликована через четырнадцать лет после его смерти Жозефом Лиувиллем . Потребовалось больше времени, чтобы теория стала популярной среди математиков и была хорошо понята.

Теория Галуа обобщена связей Галуа и теории Галуа Гротендика .

Приложение к классическим задачам [ править ]

Рождение и развитие теории Галуа было вызвано следующим вопросом, который был одним из основных открытых математических вопросов до начала 19 века:

Существует ли формула для корней полиномиального уравнения пятой (или более высокой) степени в терминах коэффициентов полинома, использующая только обычные алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и применение радикалов (квадратные корни, кубические корни и т. д.)?

Теорема Абеля – Руффини представляет собой контрпример, доказывающий, что существуют полиномиальные уравнения, для которых такая формула не может существовать. Теория Галуа дает гораздо более полный ответ на этот вопрос, объясняя , почему это является возможным решить некоторые уравнения, в том числе все те степени четыре или ниже, в указанном выше порядке, и почему это не представляется возможным для большинства уравнений пятой степени или выше. Кроме того, он обеспечивает средство определения возможности решения конкретного уравнения, которое является концептуально ясным и легко выражается в виде алгоритма .

Теория Галуа также дает ясное представление о вопросах, касающихся задач построения компаса и линейки . Он дает элегантную характеристику соотношений длин, которые могут быть построены с помощью этого метода. Используя это, становится относительно легко ответить на такие классические задачи геометрии, как

1. Какие правильные многоугольники можно построить ? ^[1]
2. Почему нельзя разрезать каждый угол пополам с помощью циркуля и линейки ? ^[1]
3. Почему нельзя удвоить куб одним и тем же методом?

История [ править ]

Предистория [ править ]

Теория Галуа возникла при изучении симметричных функций - коэффициенты монического многочлена являются (с точностью до знака) элементарными симметричными многочленами в корнях. Например, ( x - a ) ( x - b ) = x ² - ( a + b ) x + ab , где 1, a + b и ab - элементарные многочлены степени 0, 1 и 2 от двух переменных.

Впервые это было формализовано французским математиком XVI века Франсуа Виетом в формулах Вьета для случая положительных вещественных корней. По мнению 18- го века английского математика Чарльза Хаттона , ^[2] выражение коэффициентов полинома в терминах корней (не только для положительных корней) впервые было понято 17-го века французского математика Альберт Girard ; Хаттон пишет:

... [Жирар] был первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

В этом ключе дискриминант является симметричной функцией в корнях, которая отражает свойства корней - он равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень, а для квадратичных и кубических многочленов он положителен тогда и только тогда, когда все корни равны действительные и различные, и отрицательные тогда и только тогда, когда существует пара различных комплексно сопряженных корней. Подробнее см. Дискриминант: природа корней .

Кубика была впервые частично решена итальянским математиком 15–16 веков Сципионе дель Ферро , который, однако, не опубликовал свои результаты; этот метод, однако, решал только один тип кубического уравнения. Это решение было затем независимо открыто заново в 1535 году Никколо Фонтана Тарталья , который поделился им с Джероламо Кардано , попросив его не публиковать его. Затем Кардано распространил это на множество других случаев, используя аналогичные аргументы; подробнее см . метод Кардано . После открытия работы дель Ферро он почувствовал, что метод Тартальи больше не является секретом, и поэтому опубликовал свое решение в своей книге 1545 года Ars Magna . ^[3] Его ученик Лодовико Феррарирешил полином четвертой степени; его решение также было включено в Ars Magna. В этой книге, однако, Кардано не предоставил «общую формулу» для решения кубического уравнения, так как в его распоряжении не было ни комплексных чисел , ни алгебраических обозначений, позволяющих описать общее кубическое уравнение. Благодаря современным обозначениям и комплексным числам формулы в этой книге работают в общем случае, но Кардано этого не знал. Именно Рафаэлю Бомбелли удалось понять, как работать с комплексными числами, чтобы решать все формы кубического уравнения.

Следующим шагом был 1770 документ REFLEXIONS сюр ла Разрешение algébrique де УРАВНЕНИЙ по Французско-итальянский математик Жозеф Луи Лагранж в своем методе Лагранжа резольвентах , где анализируемый решение Кардано и Феррари в кубиках и квартик, рассматривая их с точки зрения перестановок из корни, которые дали вспомогательный многочлен более низкой степени, обеспечивающий единое понимание решений и закладывающий основу теории групп и теории Галуа. Однако принципиально то, что он не рассматривал композицию перестановок. Метод Лагранжа не распространяется на уравнения пятой степени и выше, поскольку резольвента имеет более высокую степень.

Паоло Руффини в 1799 году почти доказал, что у квинтики нет общих решений радикалов , ключевой идеей которого было использование групп перестановок , а не только одной перестановки. Его решение содержало пробел, который Коши считал незначительным, хотя он не был исправлен до работы норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , который опубликовал доказательство в 1824 году, установив таким образом теорему Абеля – Руффини .

В то время как Руффини и Абель установили, что общая квинтика не может быть решена, некоторые частные квинтики могут быть решены, например, x ⁵ - 1 = 0 , и точный критерий, по которому данный многочлен пятой или более высокой степени может быть определен как разрешимый или нет. было дано Эваристом Галуа , который показал, что вопрос о том, разрешим ли многочлен или нет, эквивалентен тому, имеет ли группа перестановок его корней - в современных терминах, его группа Галуа - определенную структуру - в современных терминах, независимо от того, была разрешимая группа. Эта группа всегда была разрешима для многочленов четвертой или меньшей степени, но не всегда так для многочленов пятой и большей степени, что объясняет, почему не существует общего решения для более высоких степеней.

Произведения Галуа [ править ]

В 1830 году Галуа (в возрасте 18 лет) представил Парижской академии наук мемуары о своей теории разрешимости радикалами; В 1831 году статья Галуа была окончательно отвергнута как слишком схематичная и дававшая условие в терминах корней уравнения, а не его коэффициентов. Затем Галуа умер на дуэли в 1832 году, и его статья « Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux » оставалась неопубликованной до 1846 года, когда она была опубликована Жозефом Лиувиллем вместе с некоторыми из его собственных объяснений. ^[4] Перед этой публикацией Лиувилль объявил результат Галуа Академии в речи, которую он произнес 4 июля 1843 года. ^[5]По словам Аллана Кларка, характеристика Галуа «кардинально заменяет работы Абеля и Руффини». ^[6]

Последствия [ править ]

Теория Галуа была общеизвестно трудной для понимания его современниками, особенно до того уровня, на котором они могли ее расширить. Например, в своем комментарии 1846 года Лиувилль полностью упустил теоретико-групповое ядро ​​метода Галуа. ^[7] Жозеф Альфред Серре , присутствовавший на некоторых выступлениях Лиувилля, включил теорию Галуа в свой учебник Cours d'algèbre supérieure 1866 года (третье издание) . Ученица Серре, Камилла Джордан , имела еще лучшее понимание, что отражено в его книге 1870 года Traité des replaces et des équations algébriques . За пределами Франции теория Галуа долгое время оставалась более неясной. В Великобритании Кэлине смогли понять ее глубины, и популярные британские учебники по алгебре даже не упоминали теорию Галуа до конца столетия. В Германии работы Кронекера были больше сосредоточены на результате Абеля. Дедекинд мало писал о теории Галуа, но читал по ней лекции в Геттингене в 1858 году, продемонстрировав очень хорошее понимание. ^[8] Eugen Нетто «книги с 1880 - х годов, на основе Джордана TRAITE , сделал теорию Галуа доступной для более широкой немецкой и американской аудитории , как сделал Генрих Мартин Вебер » s 1895 алгебра учебник. ^[9]

Подход группы перестановок [ править ]

Учитывая многочлен, может оказаться, что некоторые из корней связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может случиться так, что для двух корней, скажем, A и B , A ² + 5 B ³ = 7 . Центральная идея теории Галуа состоит в том, чтобы рассмотреть перестановки (или перестановки) корней таким образом, чтобы любое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют корни, по- прежнему выполнялось после того, как корни были переставлены. Первоначально теория разрабатывалась для алгебраических уравнений, коэффициенты которых являются рациональными числами . Он естественным образом распространяется на уравнения с коэффициентами в любом поле, но это не будет рассматриваться в простых примерах ниже.

Эти перестановки вместе образуют группу перестановок , также называемую группой Галуа многочлена, которая явно описывается в следующих примерах.

Квадратное уравнение [ править ]

Рассмотрим квадратное уравнение

${\ displaystyle x ^ {2} -4x + 1 = 0.}$

Используя квадратичную формулу , мы находим, что два корня равны

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 2 + {\ sqrt {3}}, \\ B & = 2 - {\ sqrt {3}}. \ end {align}}}$

Примеры алгебраических уравнений, которым удовлетворяют A и B, включают

${\ Displaystyle А + В = 4,}$

и

${\ displaystyle AB = 1.}$

Если мы поменяем местами A и B в любом из последних двух уравнений, мы получим другое истинное утверждение. Например, уравнение A + B = 4 становится B + A = 4 . Это более общем верно , что это справедливо для каждого возможного алгебраического соотношения между А и В таким образом, что все коэффициенты являются рациональными ; то есть в любом таком отношении замена A и B дает другое истинное отношение. Это следует из теории симметричных многочленов, который в данном случае можно заменить манипуляциями с формулами с использованием биномиальной теоремы .

Можно возразить, что A и B связаны алгебраическим уравнением A - B - 2 √ 3 = 0 , которое не остается верным при обмене местами A и B. Однако это соотношение здесь не рассматривается, поскольку оно имеет коэффициент −2 √ 3, что нерационально .

Мы пришли к выводу о том , что группа Галуа многочлена х ² - 4 х + 1 состоит из двух подстановки: идентичность перестановки , которая оставляет и Б нетронутыми, а транспонирование перестановки , которая обменивается A и B . Это циклическая группа второго порядка, и , следовательно , изоморфно к Z / 2 Z .

Аналогичное обсуждение применимо к любому квадратичному многочлену ax ² + bx + c , где a , b и c - рациональные числа.

• Если многочлен имеет рациональные корни, например x ² - 4 x + 4 = ( x - 2) ² или x ² - 3 x + 2 = ( x - 2) ( x - 1) , то группа Галуа тривиальна ; то есть он содержит только тождественную перестановку. В этом примере, если = 2 и В = 1 , то - В = 1 уже не верно , когда являются Б меняются местами.
• Если он имеет два иррациональных корня, например x ² - 2 , то группа Галуа содержит две перестановки, как в приведенном выше примере.

Уравнение четвертой степени [ править ]

Рассмотрим многочлен

${\ displaystyle x ^ {4} -10x ^ {2} +1,}$

который также можно записать как

${\ displaystyle \ left (x ^ {2} -5 \ right) ^ {2} -24.}$

Мы хотим описать группу Галуа этого многочлена снова над полем рациональных чисел . У многочлена четыре корня:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}, \\ B & = {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}, \\ C & = - {\ sqrt {2}} + {\ sqrt {3}}, \\ D & = - {\ sqrt {2}} - {\ sqrt {3}}. \ end {выравнивается}}}$

Есть 24 возможных способа перестановки этих четырех корней, но не все эти перестановки являются членами группы Галуа. Члены группы Галуа должны сохранять любое алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами с участием A , B , C и D .

Среди этих уравнений:

${\ displaystyle {\ begin {align} AB & = - 1 \\ AC & = 1 \\ A + D & = 0 \ end {align}}}$

Отсюда следует, что если φ - перестановка, принадлежащая группе Галуа, мы должны иметь:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ varphi (B) & = {\ frac {-1} {\ varphi (A)}}, \\\ varphi (C) & = {\ frac {1} {\ varphi (A)}}, \\\ varphi (D) & = - \ varphi (A). \ End {выравнивается}}}$

Это означает, что перестановка корректно определяется образом A и что группа Галуа имеет 4 элемента, а именно:

( A , B , C , D ) → ( A , B , C , D )

( A , B , C , D ) → ( B , A , D , C )

( A , B , C , D ) → ( C , D , A , B )

( A , B , C , D ) → ( D , C , B , A )

Отсюда следует, что группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна .

Современный подход к теории поля [ править ]

В современном подходе один начинается с расширения полей L / K (читать « L над K »), и рассматривает группу автоморфизмов из L , фиксирующих K . См. Статью о группах Галуа для дальнейшего объяснения и примеров.

Связь между двумя подходами заключается в следующем. Коэффициенты полинома в вопросе должны быть выбраны из базы поля K . Верхнее поле L должно быть полем, полученным путем присоединения корней рассматриваемого многочлена к основному полю. Любая перестановка корней, которая уважает алгебраические уравнения, как описано выше, приводит к автоморфизму L / K , и наоборот.

В первом примере выше мы изучали расширение Q ( √ 3 ) / Q , где Q - поле рациональных чисел , а Q ( √ 3 ) - поле, полученное из Q присоединением √ 3 . Во втором примере, мы изучали расширение Q ( , B , C , D ) / Q .

У современного подхода есть несколько преимуществ перед подходом группы перестановок.

• Он позволяет сформулировать гораздо более простую формулировку основной теоремы теории Галуа .
• Использование других базовых полей, кроме Q, имеет решающее значение во многих областях математики. Например, в алгебраической теории чисел часто используют теорию Галуа, используя числовые поля , конечные поля или локальные поля в качестве основного поля.
• Это позволяет легче изучать бесконечные расширения. Опять же это важно в алгебраической теории чисел, где, например , один часто обсуждает абсолютную Галуа группа из Q , определяется как группа Галуа K / Q , где К представляет собой алгебраическое замыкание из Q .
• Это позволяет рассматривать неотделимые расширения . Эта проблема не возникает в классических рамках, поскольку всегда неявно предполагалось, что арифметика имеет место в нулевой характеристике , но ненулевая характеристика часто возникает в теории чисел и в алгебраической геометрии .
• Это устраняет довольно искусственную зависимость от поиска корней многочленов. То есть разные полиномы могут давать одни и те же поля расширения, и современный подход признает связь между этими полиномами.

Разрешаемые группы и решение радикалами [ править ]

Понятие разрешимой группы в теории групп позволяет определить, разрешима ли многочлен в радикалах, в зависимости от того, обладает ли его группа Галуа свойством разрешимости. По сути, каждое расширение поля L / K соответствует фактор-группе в композиционном ряду группы Галуа. Если фактор-группа в композиционном ряду циклическая порядка n , и если в соответствующем расширении поля L / K поле K уже содержит примитивный корень n- й степени из единицы, То это радикальное расширение и элементы L , то могут быть выражены с помощью п - й корень некоторого элемента K .

Если все фактор-группы в ее композиционном ряду циклические, группа Галуа называется разрешимой , и все элементы соответствующего поля могут быть найдены путем многократного извлечения корней, произведений и сумм элементов из базового поля (обычно Q ) .

Одним из величайших триумфов теории Галуа было доказательство того, что для любого n > 4 существуют многочлены степени n, которые не разрешимы радикалами (это было независимо доказано с использованием аналогичного метода Нильсом Хенриком Абелем за несколько лет до этого, и является теоремой Абеля – Руффини ), а также систематическим способом проверки того, разрешается ли конкретный многочлен в радикалах. Результаты теоремы Абеля-Руффиня из того факта , что при п > 4 симметричной группа S _п содержит простую , циклическую, нормальную подгруппу , а именно группу переменной А _н .

Неразрешимый пятый пример [ править ]

Ван дер Варден ^[10] цитирует многочлен f ( x ) = x ⁵ - x - 1 . По теореме о рациональном корне у него нет рациональных нулей. Также нет линейных множителей по модулю 2 или 3.

Группа Галуа функции f ( x ) по модулю 2 является циклической функцией порядка 6, поскольку f ( x ) по модулю 2 делится на многочлены порядков 2 и 3, ( x ² + x + 1) ( x ³ + x ² + 1) .

f ( x ) по модулю 3 не имеет линейного или квадратичного множителя и, следовательно, неприводима. Таким образом, ее группа Галуа по модулю 3 содержит элемент порядка 5.

Известно ^[11], что группа Галуа по простому модулю изоморфна подгруппе группы Галуа над рациональными числами. Группа перестановок на 5 объектах с элементами порядков 6 и 5 должна быть симметрической группой S ₅ , которая, следовательно, является группой Галуа для f ( x ) . Это один из простейших примеров неразрешимого полинома пятой степени. По словам Сержа Ланга , Эмиль Артин любил этот пример. ^[12]

Обратная задача Галуа [ править ]

Обратная задача Галуа , чтобы найти расширение поля с заданной группой Галуа.

Пока не указывается также основное поле , проблема не очень сложна, и все конечные группы действительно встречаются как группы Галуа. Чтобы показать это, можно поступить следующим образом. Выберите поле K и конечную группу G . Теорема Кэли утверждает , что G является ( с точностью до изоморфизма) подгруппа симметрической группы S на элементах G . Выберем неопределенные { x _α } , по одной для каждого элемента α группы G , и соединим их с K, чтобы получить поле F = K ({ x_α }). Внутри F содержится поле L симметричныхрациональных функцийиз{ x _α }. Группа Галуа группы F / L - это S согласно основному результату Эмиля Артина. G действует на F ограничения действия S . Еслификсированное полеэтого действия М , то поосновной теореме теории Галуа, группа Галуа F / M является G .

С другой стороны, это открытый вопрос, является ли всякая конечная группа группой Галуа полевого расширения поля Q рациональных чисел. Шафаревич доказал , что всякая разрешимая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения Q . Различные люди решили обратную задачу Галуа для избранных неабелевых простых групп . Существование решений было показано для всех, кроме, возможно, одной ( группа Матье M ₂₃ ) из 26 спорадических простых групп. Существует даже многочлен с целыми коэффициентами, группа Галуа которого является группой Монстра .

Неразделимые расширения [ править ]

В упомянутой выше форме, включая, в частности, основную теорему теории Галуа , теория рассматривает только расширения Галуа, которые, в частности, являются сепарабельными. Общие расширения полей можно разделить на отдельные, за которыми следует полностью неотделимое расширение поля . Для чисто неразрывного расширения F / K , существует теория Галуа , когда группа Галуа заменяются векторным пространством отведений , , т.е. K -линейных эндоморфизмы F , удовлетворяющие правило Лейбница. В этой переписке, промежуточное поле Е назначается . Наоборот, подпространство${\ displaystyle Der_ {K} (F, F)}$${\displaystyle Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)}$${\displaystyle V\subset Der_{K}(F,F)}$, удовлетворяющие соответствующим дополнительным условиям, отображается в . В предположении , Якобсон (1944) показал , что это устанавливает соответствие один к одному. Условие, наложенное Якобсоном, было снято Брантнером и Уолдроном (2020) путем предоставления соответствия с использованием понятий производной алгебраической геометрии .${\displaystyle \{x\in F,f(x)=0\forall f\in V\}}$${\displaystyle F^{p}\subset K}$

См. Также [ править ]

• Группа Галуа для дополнительных примеров
• Основная теорема теории Галуа
• Дифференциальная теория Галуа для теории Галуа дифференциальных уравнений
• Теория Галуа Гротендика для обширного обобщения теории Галуа

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Артин, Эмиль (1998) [1944]. Теория Галуа . Дувр. ISBN 0-486-62342-4.
• Беверсдорф, Йорг (2006). Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива . Американское математическое общество. DOI : 10.1090 / stml / 035 . ISBN 0-8218-3817-2.
• Брантнер, Лукас; Уолдрон, Джо (2020), Чисто неразрывная теория Галуа I: фундаментальная теорема , arXiv : 2010.15707
• Кардано, Джероламо (1545 г.). Artis Magnæ (PDF) (на латыни).
• Эдвардс, Гарольд М. (1984). Теория Галуа . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. (Оригинальная статья Галуа с обширной историей и комментариями.)
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930). «Краткое изложение истории симметричных функций от корней уравнений». Американский математический ежемесячник . 37 (7): 357–365. DOI : 10.2307 / 2299273 . JSTOR  2299273 .
• "Теория Галуа" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джейкобсон, Натан (1944), "Теория Галуа чисто неотделимых полей экспоненты один", Amer. J. Math. , 66 : 645–648
• Джейкобсон, Натан (1985). Основы алгебры I (2-е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1480-9. (Глава 4 дает введение в теоретико-полевой подход к теории Галуа.)
• Джанелидзе, Г .; Борсё, Фрэнсис (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80309-0.(Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94225-4.
• Постников, М.М. (2004). Основы теории Галуа . Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.
• Ротман, Джозеф (1998). Теория Галуа (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98541-7.
• Фёлькляйн, Гельмут (1996). Группы как группы Галуа: введение . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-56280-5.
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1931). Современная алгебра (на немецком языке). Берлин: Springer.. Английский перевод (2-го исправленного издания): Современная алгебра . Нью-Йорк: Фредерик Ангар. 1949 г. (Позже переиздано на английском языке компанией Springer под названием «Алгебра».)

Внешние ссылки [ править ]

Поищите теорию Галуа в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы, связанные с теорией Галуа .

Некоторые онлайн-руководства по теории Галуа доступны по адресу:

• http://www.math.niu.edu/~beachy/aaol/galois.html
• http://nrich.maths.org/public/viewer.php?obj_id=1422
• http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html

Онлайн-учебники на французском, немецком, итальянском и английском языках можно найти по адресу:

• http://www.galois-group.net/