Квинтическая функция

График многочлена степени 5 с 3 действительными нулями (корнями) и 4 критическими точками .

В алгебре , квинтик функция является функцией вида

${\ displaystyle g (x) = ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f, \,}$

где a , b , c , d , e и f являются членами поля , обычно рациональными числами , действительными числами или комплексными числами , а a не равно нулю. Другими словами, квинтики функция определяется полиномом от степени пять.

Поскольку они имеют нечетную степень, нормальные квинтические функции кажутся похожими на нормальные кубические функции на графике, за исключением того, что каждая из них может иметь дополнительный локальный максимум и локальный минимум. Производная из квинтики функции является квартиком функции .

Если задать g ( x ) = 0 и предположить, что a 0, получается уравнение пятой степени вида:

${\ displaystyle ax ^ {5} + bx ^ {4} + cx ^ {3} + dx ^ {2} + ex + f = 0. \,}$

Решение уравнений пятой степени в терминах радикалов было основной проблемой алгебры с XVI века, когда решались уравнения кубической и четвертой степени , до первой половины XIX века, когда невозможность такого общего решения была доказана с помощью метода Абеля – Руффини. теорема .

Поиск корней уравнения пятой степени [ править ]

Нахождение корней заданного многочлена было важной математической проблемой.

Решение линейных , квадратных , кубических и четвертых уравнений путем факторизации в радикалы всегда можно выполнить, независимо от того, являются ли корни рациональными или иррациональными, действительными или комплексными; есть формулы, дающие требуемые решения. Однако не существует алгебраического выражения (то есть в терминах радикалов) для решений общих уравнений пятой степени над рациональными числами; это утверждение известно как теорема Абеля – Руффини , впервые утвержденная в 1799 г. и полностью доказанная в 1824 г. Этот результат также верен для уравнений более высоких степеней. Примером квинтики, корни которой нельзя выразить через радикалы, является x⁵ - х + 1 = 0 .

Некоторые квинтики могут быть решены в терминах радикалов. Однако решение, как правило, слишком сложно для использования на практике. Вместо этого численные приближения вычисляются с использованием алгоритма поиска корня для многочленов .

Решаемые квинтики [ править ]

Некоторые уравнения пятой степени могут быть решены в терминах радикалов. К ним относятся уравнения пятой степени, определяемые приводимым полиномом , например x ⁵ - x ⁴ - x + 1 = ( x ² + 1) ( x + 1) ( x - 1) ² . Например, было показано ^[1], что

${\displaystyle x^{5}-x-r=0}$

имеет решения в радикалах тогда и только тогда, когда оно имеет целочисленное решение или r равно одному из ± 15, ± 22440 или ± 2759640, и в этих случаях многочлен приводим.

Поскольку решение приводимых уравнений пятой степени немедленно сводится к решению многочленов более низкой степени, в оставшейся части этого раздела рассматриваются только неприводимые уравнения пятой степени, а термин «квинтика» будет относиться только к неприводимым квинтикам. Разрешим квинтик Таким образом , неприводимое квинтика многочлен, корни которого может быть выражены в терминах радикалов.

Чтобы охарактеризовать разрешимые квинтики и, в более общем смысле, разрешимые многочлены более высокой степени, Эварист Галуа разработал методы, которые привели к теории групп и теории Галуа . Применяя эти методы, Артур Кэли нашел общий критерий для определения того, разрешима ли любая заданная квинтика. ^[2] Этот критерий следующий. ^[3]

Учитывая уравнение

${\displaystyle ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,}$

преобразование Чирнгауз х = у -б/5 а, который подавляет квинтику (т. е. удаляет член четвертой степени), дает уравнение

${\displaystyle y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0}$,

где

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}}$

Обе квинтики разрешимы радикалами тогда и только тогда, когда либо они факторизуемы в уравнениях младших степеней с рациональными коэффициентами, либо многочлен P ² - 1024 z Δ , называемый резольвентой Кэли , имеет рациональный корень в z , где

${\displaystyle P=z^{3}-z^{2}(20r+3p^{2})-z(8p^{2}r-16pq^{2}-240r^{2}+400sq-3p^{4})}$

${\displaystyle {}-p^{6}+28p^{4}r-16p^{3}q^{2}-176p^{2}r^{2}-80p^{2}sq+224prq^{2}-64q^{4}}$

${\displaystyle {}+4000ps^{2}+320r^{3}-1600rsq}$

а также

${\displaystyle \Delta =-128p^{2}r^{4}+3125s^{4}-72p^{4}qrs+560p^{2}qr^{2}s+16p^{4}r^{3}+256r^{5}+108p^{5}s^{2}}$

${\displaystyle {}-1600qr^{3}s+144pq^{2}r^{3}-900p^{3}rs^{2}+2000pr^{2}s^{2}-3750pqs^{3}+825p^{2}q^{2}s^{2}}$

${\displaystyle {}+2250q^{2}rs^{2}+108q^{5}s-27q^{4}r^{2}-630pq^{3}rs+16p^{3}q^{3}s-4p^{3}q^{2}r^{2}.}$

Результат Кэли позволяет нам проверить, разрешима ли квинтика. Если это так, то найти его корни - более сложная задача, которая состоит в выражении корней в терминах радикалов, включающих коэффициенты квинтики и рациональный корень резольвенты Кэли.

В 1888 году Джордж Пакстон Янг ^[4] описал, как решить разрешимое уравнение пятой степени, не предоставив явной формулы; Дэниел Лазард написал трехстраничную формулу (Лазард (2004)).

Quintics in Bring – Jerrard [ править ]

Существует несколько параметрических представлений разрешимых квинтик вида x ⁵ + ax + b = 0 , называемых формой Бринга – Джеррарда .

Во второй половине XIX века Джон Стюарт Глашан, Джордж Пакстон Янг и Карл Рунге дали такую ​​параметризацию: неприводимая квинтика с рациональными коэффициентами в форме Бринга – Джеррарда разрешима тогда и только тогда, когда либо a = 0, либо оно может быть написано

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0}$

где μ и ν рациональны.

В 1994 году Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс предложили альтернативу:

${\displaystyle x^{5}+{\frac {5e^{4}(4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(2c-11)}{c^{2}+1}}=0.}$

Связь между параметризациями 1885 и 1994 годов можно увидеть, определив выражение

${\displaystyle b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)}$

где a =5 (4 ν + 3)/ν ² + 1. Использование отрицательного случая квадратного корня дает после масштабирования переменных первую параметризацию, а положительный случай дает вторую.

Подстановка c =- м/l ⁵, e =1/лв параметризации Спирмена-Вильямса позволяет не исключать частный случай a = 0 , что дает следующий результат:

Если a и b - рациональные числа, уравнение x ⁵ + ax + b = 0 разрешимо радикалами, если либо его левая часть является произведением многочленов степени меньше 5 с рациональными коэффициентами, либо существуют два рациональных числа l и м такой, что

${\displaystyle a={\frac {5l(3l^{5}-4m)}{m^{2}+l^{10}}}\qquad b={\frac {4(11l^{5}+2m)}{m^{2}+l^{10}}}.}$

Корни разрешимой квинтики [ править ]

Полиномиальное уравнение разрешимо радикалами, если его группа Галуа является разрешимой группой . В случае неприводимых квинтик группа Галуа является подгруппой симметрической группы S ₅ всех перестановок пятиэлементного множества, которая разрешима тогда и только тогда, когда она является подгруппой группы F ₅ порядка 20 , порожденной циклическими перестановками (1 2 3 4 5) и (1 2 4 3) .

Если квинтика разрешима, одно из решений может быть представлено алгебраическим выражением, содержащим корень пятой степени и не более двух квадратных корней, как правило, вложенных . Другие решения могут быть получены либо путем изменения корня пятой степени, либо путем умножения всех вхождений корня пятой степени на ту же степень примитивного корня пятой степени из единицы.

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {-10-2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{4}}.}$

Все четыре примитивных корня пятой степени из единицы можно получить, соответствующим образом изменив знаки квадратных корней, а именно:

${\displaystyle {\frac {\alpha {\sqrt {-10-2\beta {\sqrt {5}}}}+\beta {\sqrt {5}}-1}{4}},}$

где , что дает четыре различных примитивных корня пятой степени из единицы.${\displaystyle \alpha ,\beta \in \{-1,1\}}$

Отсюда следует, что для записи всех корней разрешимой квинтики может потребоваться четыре различных квадратных корня. Даже для первого корня, который включает не более двух квадратных корней, выражение решений в терминах радикалов обычно очень сложно. Однако, когда квадратный корень не требуется, форма первого решения может быть довольно простой, как для уравнения x ⁵ - 5 x ⁴ + 30 x ³ - 50 x ² + 55 x - 21 = 0 , для которого единственное реальное решение

${\displaystyle x=1+{\sqrt[{5}]{2}}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{2}+\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{3}-\left({\sqrt[{5}]{2}}\right)^{4}.}$

Пример более сложного (хотя и достаточно маленького, чтобы быть записанным здесь) решения - единственный действительный корень x ⁵ - 5 x + 12 = 0 . Пусть a = √ 2 φ ⁻¹ , b = √ 2 φ и c = ⁴ √ 5 , где φ =1+ √ 5/2это золотое сечение . Тогда единственное реальное решение x = −1,84208… дается формулой

${\displaystyle -cx={\sqrt[{5}]{(a+c)^{2}(b-c)}}+{\sqrt[{5}]{(-a+c)(b-c)^{2}}}+{\sqrt[{5}]{(a+c)(b+c)^{2}}}-{\sqrt[{5}]{(-a+c)^{2}(b+c)}}\,,}$

или, что то же самое,

${\displaystyle x={\sqrt[{5}]{y_{1}}}+{\sqrt[{5}]{y_{2}}}+{\sqrt[{5}]{y_{3}}}+{\sqrt[{5}]{y_{4}}}\,,}$

где y _i - четыре корня уравнения четвертой степени

${\displaystyle y^{4}+4y^{3}+{\frac {4}{5}}y^{2}-{\frac {8}{5^{3}}}y-{\frac {1}{5^{5}}}=0\,.}$

В более общем смысле, если уравнение P ( x ) = 0 простой степени p с рациональными коэффициентами разрешимо в радикалах, то можно определить вспомогательное уравнение Q ( y ) = 0 степени p - 1 , также с рациональными коэффициентами, такое, что каждый корень P является суммой р -х корней корней Q . Эти корни p-й степени были введены Жозефом-Луи Лагранжем , и их произведения на p обычно называют резольвентами Лагранжа . Вычисление Qи его корни можно использовать для решения P ( x ) = 0 . Однако эти корни p-степени не могут быть вычислены независимо (это даст корни p ^{p –1} вместо p ). Таким образом, правильное решение должно выражать все эти p -корни через один из них. Теория Галуа показывает, что это всегда теоретически возможно, даже если полученная формула может оказаться слишком большой, чтобы ее можно было использовать.

Возможно, что некоторые из корней Q рациональны (как в первом примере этого раздела) или некоторые равны нулю. В этих случаях формула для корней намного проще, как для разрешимой квинтики де Муавра

${\displaystyle x^{5}+5ax^{3}+5a^{2}x+b=0\,,}$

где вспомогательное уравнение имеет два нулевых корня и сводится, вычитая их, к квадратному уравнению

${\displaystyle y^{2}+by-a^{5}=0\,,}$

так что пять корней квинтики де Муавра задаются

${\displaystyle x_{k}=\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}-{\frac {a}{\omega ^{k}{\sqrt[{5}]{y_{i}}}}},}$

где y _i - любой корень вспомогательного квадратного уравнения, а ω - любой из четырех примитивных корней 5-й степени из единицы . Это можно легко обобщить для построения разрешимой септической и других нечетных степеней, не обязательно простых.

Другие разрешимые квинтики [ править ]

Существует бесконечно много разрешимых квинтик в форме Бринга-Джеррарда, параметризованных в предыдущем разделе.

До масштабирования переменной существует ровно пять решаемых квинтик формы , которые равны ^[5] (где s - коэффициент масштабирования):${\displaystyle x^{5}+ax^{2}+b}$

${\displaystyle x^{5}-2s^{3}x^{2}-{\frac {s^{5}}{5}}}$

${\displaystyle x^{5}-100s^{3}x^{2}-1000s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}-3s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-5s^{3}x^{2}+15s^{5}}$

${\displaystyle x^{5}-25s^{3}x^{2}-300s^{5}}$

Пакстон Янг (1888) привел ряд примеров разрешимых квинтик:

${\displaystyle x^{5}-10x^{3}-20x^{2}-1505x-7412}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {625}{4}}x+3750}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {22}{5}}x^{3}-{\frac {11}{25}}x^{2}+{\frac {462}{125}}x+{\frac {979}{3125}}}$
${\displaystyle x^{5}+20x^{3}+20x^{2}+30x+10}$	${\displaystyle ~\qquad ~}$ Корень: ${\displaystyle {\sqrt[{5}]{2}}-{\sqrt[{5}]{2}}^{2}+{\sqrt[{5}]{2}}^{3}-{\sqrt[{5}]{2}}^{4}}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+250x-400}$
${\displaystyle x^{5}-5x^{3}+{\frac {85}{8}}x-{\frac {13}{2}}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {20}{17}}x+{\frac {21}{17}}}$
${\displaystyle x^{5}-{\frac {4}{13}}x+{\frac {29}{65}}}$
${\displaystyle x^{5}+{\frac {10}{13}}x+{\frac {3}{13}}}$
${\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+60x^{2}+800x+8320)}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}-80x^{2}-150x-656}$
${\displaystyle x^{5}-40x^{3}+160x^{2}+1000x-5888}$
${\displaystyle x^{5}-50x^{3}-600x^{2}-2000x-11200}$
${\displaystyle x^{5}+110(5x^{3}+20x^{2}-360x+800)}$
${\displaystyle x^{5}-20x^{3}+170x+208}$

Можно построить бесконечную последовательность разрешимых квинтик, корни которой являются суммами корней n -й степени из единицы , причем n = 10 k + 1 является простым числом:

${\displaystyle x^{5}+x^{4}-4x^{3}-3x^{2}+3x+1}$		Корнеплоды: ${\displaystyle 2\cos \left({\frac {2k\pi }{11}}\right)}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-12x^{3}-21x^{2}+x+5}$		Корень: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{5}e^{\frac {2i\pi 6^{k}}{31}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-16x^{3}+5x^{2}+21x-9}$		Корень: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{7}e^{\frac {2i\pi 3^{k}}{41}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-24x^{3}-17x^{2}+41x-13}$	${\displaystyle ~\qquad ~}$	Корень: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{11}e^{\frac {2i\pi (21)^{k}}{61}}}$
${\displaystyle x^{5}+x^{4}-28x^{3}+37x^{2}+25x+1}$		Корень: ${\displaystyle \sum _{k=0}^{13}e^{\frac {2i\pi (23)^{k}}{71}}}$

Есть также два параметризованных семейства разрешимых квинтик: квинтика Кондо – Брумера,

${\displaystyle x^{5}+(a-3)x^{4}+(-a+b+3)x^{3}+(a^{2}-a-1-2b)x^{2}+bx+a=0\,}$

и семейство в зависимости от параметров ${\displaystyle a,l,m}$

${\displaystyle x^{5}-5p(2x^{3}+ax^{2}+bx)-pc=0\,}$

где

${\displaystyle p={\frac {l^{2}(4m^{2}+a^{2})-m^{2}}{4}},\qquad b=l(4m^{2}+a^{2})-5p-2m^{2},\qquad c={\frac {b(a+4m)-p(a-4m)-a^{2}m}{2}}}$

Casus irducibilis [ править ]

Аналогично кубическим уравнениям существуют разрешимые квинтики с пятью действительными корнями, все решения которых в радикалах содержат корни комплексных чисел. Это casus unducibilis для квинтики, которая обсуждается в Dummit. ^{[6] : стр.17 В} самом деле, если у неприводимой квинтики все корни действительны, ни один корень не может быть выражен только в терминах вещественных радикалов (как это верно для всех полиномиальных степеней, не являющихся степенями двойки).

Помимо радикалов [ править ]

Около 1835 года Джеррард продемонстрировал, что квинтики могут быть решены с помощью ультрарадикалов (также известных как радикалы Бринга), единственного действительного корня из t ⁵ + t - a = 0 для действительных чисел a . В 1858 году Чарльз Эрмит показал, что радикал Бринга можно охарактеризовать в терминах тета-функций Якоби и связанных с ними эллиптических модулярных функций , используя подход, аналогичный более известному подходу к решению кубических уравнений с помощью тригонометрических функций . Примерно в то же время Леопольд Кронекер, используя теорию групп , разработал более простой способ получения результата Эрмита, как и Франческо Бриоски . Позже Феликс Кляйн придумал метод, который связывает симметрии икосаэдра , теорию Галуа и эллиптические модульные функции, представленные в решении Эрмита, дав объяснение, почему они вообще должны появляться, и разработал свое собственное решение в терминах из обобщенных гипергеометрических функций . ^[7] Подобные явления происходят в степени 7 ( септические уравнения ) и 11 , как это изучал Кляйн и обсуждал в разделе «Икосаэдрическая симметрия» § Связанные геометрии..

Решение с помощью радикалов Bring [ править ]

Преобразование Чирнгауз , которая может быть вычислена путем решения уравнения четвертой степени , уменьшает общее уравнение пятой степени вида

${\displaystyle x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0\,}$

к нормальной форме Бринга – Джеррарда x ⁵ - x + t = 0 .

Корни этого уравнения нельзя выразить радикалами. Однако в 1858 году Чарльз Эрмит опубликовал первое известное решение этого уравнения в терминах эллиптических функций . ^[8] Примерно в то же время Франческо Бриоски ^[9] и Леопольд Кронекер ^[10] пришли к эквивалентным решениям.

Подробную информацию об этих и некоторых связанных с ними решениях см. В разделе «Радикальное внедрение».

Приложение к небесной механике [ править ]

Решение местоположения лагранжевых точек астрономической орбиты, на которой массами обоих объектов нельзя пренебречь, включает решение квинтики.

Точнее, местоположения L ₂ и L ₁ являются решениями следующих уравнений, где гравитационные силы двух масс на третью (например, Солнце и Земля на спутниках, таких как Gaia на L ₂ и SOHO на L ₁ ) обеспечить центростремительную силу спутника, необходимую для нахождения на синхронной орбите с Землей вокруг Солнца:

${\displaystyle {\frac {GmM_{S}}{(R\pm r)^{2}}}\pm {\frac {GmM_{E}}{r^{2}}}=m\omega ^{2}(R\pm r)}$

Знак ± соответствует L ₂ и L ₁ соответственно; G - гравитационная постоянная , ω - угловая скорость , r - расстояние от спутника до Земли, R - расстояние от Солнца до Земли (то есть большая полуось орбиты Земли), а m , M _E и M _S равны соответствующие массы спутника, Земли и Солнца .

Используя третий закон Кеплера и переставляя все члены, получаем квинтику${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{P^{2}}}={\frac {G(M_{S}+M_{E})}{R^{3}}}}$

${\displaystyle ar^{5}+br^{4}+cr^{3}+dr^{2}+er+f=0}$

с , , , ( при этом d = 0 при L ₂ ), , .${\displaystyle a=\pm (M_{S}+M_{E})}$${\displaystyle b=+(M_{S}+M_{E})3R}$${\displaystyle c=\pm (M_{S}+M_{E})3R^{2}}$${\displaystyle d=+(M_{E}\mp M_{E})R^{3}}$${\displaystyle e=\pm M_{E}2R^{4}}$${\displaystyle f=\mp M_{E}R^{5}}$

Решение этих двух квинтик дает r = 1,501 x 10 ⁹ м для L ₂ и r = 1,491 x 10 ⁹ м для L ₁ . Солнце-Земля лагранжиан точек L ₂ и L ₁ , как правило , дается в 1,5 млн км от Земли.

См. Также [ править ]

• Шестическое уравнение
• Септическая функция
• Теория уравнений

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Шарль Эрмит, "Sur la résolution de l'équation du cinquème degré", uvres de Charles Hermite , 2 : 5–21, Gauthier-Villars, 1908.
• Феликс Клейн, Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени , пер. Джордж Гэвин Моррис, Trübner & Co., 1888. ISBN 0-486-49528-0 . 
• Леопольд Кронекер, "Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 46 : 1: 1150–1152 1858.
• Блэр Спирман и Кеннет С. Уильямс, "Характеристика разрешимых квинтик x ⁵ + ax + b , American Mathematical Monthly" , 101 : 986–992 (1994).
• Ян Стюарт, Теория Галуа, 2-е издание, Чепмен и Холл, 1989. ISBN 0-412-34550-1 . Обсуждает теорию Галуа в целом, включая доказательство неразрешимости общей квинтики. 
• Йорг Беверсдорф , Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива , Американское математическое общество, 2006. ISBN 0-8218-3817-2 . Глава 8 ( Решение уравнений пятой степени на Wayback Machine (архивировано 31 марта 2010 г.)) дает описание решения разрешимых квинтик x ⁵ + cx + d . 
• Виктор С. Адамчик и Дэвид Дж. Джеффри, "Полиномиальные преобразования Чирнхауса, Бринга и Джеррарда", Бюллетень ACM SIGSAM , Vol. 37, № 3, сентябрь 2003 г., стр. 90–94.
• Эренфрид Вальтер фон Чирнхаус, «Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения», Бюллетень ACM SIGSAM , Vol. 37, № 1, март 2003 г., стр. 1–3.
• Даниэль Лазар, «Решение квинтик в радикалах», в Олав Арнфинн Лодал , Рагни Пиен , Наследие Нильса Хенрика Абеля , стр. 207-225, Берлин, 2004, ISBN 3-540-43826-2 , доступный в архивной 6 января, 2005, в Wayback Machine 
• Тот, Габор (2002), Конечные группы Мебиуса, минимальные погружения сфер и модули

Внешние ссылки [ править ]

• Mathworld - Quintic Equation - подробнее о методах решения Quintics.
• Solving Solvable Quintics - метод решения разрешимых квинтик, созданный Дэвидом С. Даммитом.
• Метод удаления всех промежуточных членов из данного уравнения - недавний английский перевод статьи Чирнхауза 1683 года.