Геодезический эффект

Представление геодезического эффекта, со значениями для Gravity Probe B .

Геодезического эффект (также известные как геодезическая прецессия , деСиттер прецессии или де Ситтер эффект ) представляет собой эффект кривизны пространства - время , предсказанный ОТО , на векторе осуществляется вместе с орбитальным телом. Например, вектор может быть угловым моментом гироскопа, вращающегося вокруг Земли, как это было выполнено в эксперименте Gravity Probe B. Геодезический эффект был впервые предсказан Виллемом де Ситтером в 1916 году, который внес релятивистские поправки в движение системы Земля-Луна. Работа Де Ситтера была расширена в 1918 году Яном Схоутеном и в 1920 году Адрианом Фоккером.. ^[1] Его также можно применить к определенной вековой прецессии астрономических орбит, эквивалентной вращению вектора Лапласа – Рунге – Ленца . ^[2]

Термин « геодезический эффект» имеет два немного разных значения, поскольку движущееся тело может вращаться или не вращаться. Не вращающиеся тела движутся по геодезическим , тогда как вращающиеся тела движутся по несколько другим орбитам. ^[3]

Разница между прецессией де Ситтера и прецессией Лензе – Тирринга (перетаскивание системы координат) состоит в том, что эффект де Ситтера обусловлен просто наличием центральной массы, тогда как прецессия Лензе – Тирринга обусловлена ​​вращением центральной массы. Полная прецессия вычисляется путем объединения прецессии де Ситтера с прецессией Лензе – Тирринга.

Экспериментальное подтверждение [ править ]

Геодезический эффект был подтвержден с точностью лучше 0,5% с помощью Gravity Probe B , эксперимента, который измеряет наклон оси вращения гироскопов на орбите вокруг Земли. ^[4] Первые результаты были объявлены 14 апреля 2007 года на заседании Американского физического общества . ^[5]

Формулы [ править ]

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Общая ковариация Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Рама отдыха Кадр с центром импульса Кривизна Геодезический Геон Принцип эквивалентности Масса в общей теории относительности Эквивалентность массы и энергии Инвариантный Инвариантная масса Симметрии пространства-времени Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Скорость света Производная по времени Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синий сдвиг Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание кадра Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Пространство конфигурации Государственное пространство Фазовое пространство Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца Замкнутая временная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Преобразование Лоренца Лоренцево многообразие Глобально гиперболическое многообразие Условия причинности Причинная структура Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Бранса – Дике Гипотеза космической цензуры Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Релятивистский диск Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

Чтобы получить прецессию, предположим, что система находится во вращающейся метрике Шварцшильда . Невращающаяся метрика

${\ displaystyle ds ^ {2} = dt ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) -dr ^ {2} \ left (1 - {\ frac {2m} { r}} \ right) ^ {- 1} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi '^ {2}),}$

где  c  = G  = 1.

Мы вводим вращающуюся систему координат с такой угловой скоростью , чтобы спутник на круговой орбите в плоскости θ = π / 2 оставался неподвижным. Это дает нам${\ displaystyle \ omega}$

${\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt.}$

В этой системе координат наблюдатель в радиальной позиции r видит вектор, расположенный в r, как вращающийся с угловой частотой ω. Однако этот наблюдатель видит вектор, расположенный при некотором другом значении r, как вращающийся с другой скоростью из-за релятивистского замедления времени. Преобразуя метрику Шварцшильда во вращающуюся систему отсчета и предполагая, что это постоянная величина, мы находим${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-\\&-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2},\end{aligned}}}$

с . Для тела, вращающегося в плоскости θ = π / 2, у нас будет β = 1, и мировая линия тела будет поддерживать постоянные пространственные координаты все время. Теперь метрика имеет канонический вид${\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.}$

Из этой канонической формы мы можем легко определить скорость вращения гироскопа в собственное время.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Omega &={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}=\\&={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .\end{aligned}}}$

где последнее равенство верно только для свободно падающих наблюдателей, для которых нет ускорения, и, следовательно . Это ведет к${\displaystyle \Phi ,_{i}=0}$

${\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

Решение этого уравнения относительно ω дает

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.}$

По сути, это закон периодов Кеплера , который оказывается релятивистски точным, когда выражается через координату времени t этой конкретной вращающейся системы координат. Во вращающейся системе координат спутник остается неподвижным, но наблюдатель на борту спутника видит прецессию вектора углового момента гироскопа со скоростью ω. Этот наблюдатель также видит вращающиеся далекие звезды, но они вращаются с несколько другой скоростью из-за замедления времени. Пусть τ - собственное время гироскопа . потом

${\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

Член −2 m / r интерпретируется как гравитационное замедление времени, а дополнительный - m / r связан с вращением этой системы отсчета. Пусть α '- накопленная прецессия во вращающейся системе отсчета. Поскольку прецессия на протяжении одной орбиты относительно далеких звезд определяется выражением:${\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }$

${\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.}$

Используя ряд Тейлора первого порядка, мы находим

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).}$

Прецессия Томаса [ править ]

Можно попытаться разбить прецессию де Ситтера на кинематический эффект, называемый прецессией Томаса, в сочетании с геометрическим эффектом, вызванным гравитационно искривленным пространством-временем. По крайней мере, один автор ^[6] описывает это так, но другие утверждают, что «прецессия Томаса имеет значение для гироскопа на поверхности Земли ... но не для гироскопа на свободно движущемся спутнике». ^[7] Возражение против прежней интерпретации состоит в том, что требуемая прецессия Томаса имеет неправильный знак. Уравнение переноса Ферми-Уокера ^[8]дает и геодезический эффект, и прецессию Томаса, и описывает перенос 4-вектора спина для ускоренного движения в искривленном пространстве-времени. 4-вектор спина ортогонален 4-вектору скорости. Транспорт Ферми-Уокера сохраняет эту связь. Если нет ускорения, перенос Ферми-Уокера - это просто параллельный перенос по геодезической и дает прецессию спина из-за геодезического эффекта. Для ускорения из-за равномерного кругового движения в плоском пространстве-времени Минковского транспорт Ферми-Уокера дает прецессию Томаса.

См. Также [ править ]

• Перетаскивание кадра
• Геодезические в общей теории относительности
• Гравитационный колодец
• Хронология гравитационной физики и теории относительности

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Вольфганг Риндлер (2006) Относительность: специальная, общая и космологическая (2-е изд.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8 

Внешние ссылки [ править ]

• Веб-сайты Gravity Probe B в НАСА и Стэнфордском университете
• Прецессия в искривленном пространстве "Геодезический эффект"
• Геодезический эффект