В алгебраической геометрии , то формула следа Гротендика выражает число точек многообразия над конечным полем в терминах следа от эндоморфизм Фробениуса на его группы когомологий . Есть несколько обобщений: эндоморфизм Фробениуса можно заменить более общим эндоморфизмом, и в этом случае точки над конечным полем заменяются его неподвижными точками, а также существует более общий вариант для пучка над многообразием, в котором группы когомологий заменяются когомологиями с коэффициентами в пучке.
Формула следа Гротендика является аналогом в алгебраической геометрии теоремы Лефшеца о неподвижной точке в алгебраической топологии .
Одно из применений формулы следа Гротендика состоит в том, чтобы выразить дзета-функцию многообразия над конечным полем или, в более общем смысле, L-серию пучка в виде суммы по следам Фробениуса на группах когомологий. Это один из шагов, используемых при доказательстве гипотез Вейля .
Формула следа Беренда обобщает формулу на алгебраические стеки .
Формальное заявление для L- функций
Пусть k - конечное поле, l - простое число, обратимое в k , X - гладкая k- схема размерности n иконструктивны- пучок на X . Тогда следующий Когомологическая выражение для L -функции из держит:
где F всюду геометрическое действие Фробениуса на l -адических когомологиях с компактными носителями пучка. Принимая логарифмические производные обоих формальных степенных рядов производит заявление о суммах следов для каждого конечного расширения поля Е основного поля к :
Для постоянной связки (рассматривается как квалифицировать как л -адического пучок) левая частью этой формулы является числом Х -точек X .
Рекомендации
- Делинь, Пьер (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4½) . Конспект лекций по математике (на французском языке). 569 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / BFb0091516 . ISBN 978-3-540-08066-4.
- Гротендик, Александр (1977). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5) . Конспект лекций по математике (на французском языке). 589 . Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag . DOI : 10.1007 / BFb0096802 . ISBN 3-540-08248-4.
- Фрейтаг, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 13 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-12175-6, Руководство по ремонту 0926276