Куча (математика)

В абстрактной алгебре , А полугруда представляет собой алгебраическая структура , состоящая из непустого множества Н с тройной операцией , обозначенном , который удовлетворяет модифицированное свойство ассоциативности:${\ displaystyle [x, y, z] \ in H}$

${\ displaystyle \ forall a, b, c, d, e \ in H \ \ \ \ [[a, b, c], d, e] = [a, [d, c, b], e] = [ a, b, [c, d, e]].}$^[1]

Biunitary элемент ч из полугруда удовлетворяет [ ч, H, K ] = K = [ K, H, H ] для каждого к в H . ^{[1] : 75,6}

Кучи является полугруда , в котором каждый элемент является biunitary. ^{[1] : 80}

Термин « куча» происходит от слова «груда», что в русском языке означает «куча», «куча» или «стопка». Антон Сушкевич использовал этот термин в своей Теории обобщенных групп (1937), который повлиял на Виктора Вагнера , пропагандиста полукучей, куч и обобщенных куч. ^{[1] : 11} Груда контрастирует с группой ( group ), переведенной на русский язык путем транслитерации. Действительно, в английском тексте куча называется groud . ^[2] )

Примеры [ править ]

Куча из двух элементов [ править ]

Превратитесь в циклическую группу , определив единичный элемент, и . Затем он создает следующую кучу:${\ Displaystyle Н = \ {а, Ь \}}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle bb = a}$

${\ Displaystyle [a, a, a] = a, \, [a, a, b] = b, \, [b, a, a] = b, \, [b, a, b] = a,}$

${\displaystyle [a,b,a]=b,\,[a,b,b]=a,\,[b,b,a]=a,\,[b,b,b]=b.}$

Определив как элемент идентичности и дал бы такую ​​же кучу.${\displaystyle b}$${\displaystyle aa=b}$

Куча целых чисел [ править ]

Если это целые числа, мы можем настроить создание кучи. Затем мы можем выбрать любое целое число в качестве идентификатора новой группы на множестве целых чисел с помощью операции${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle [x,y,z]=x-y+z}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle *}$

${\displaystyle x*y=x+y-k}$

и обратный

${\displaystyle x^{-1}=2k-x}$.

Куча группоида с двумя объектами [ править ]

Можно обобщить понятие кучи группы на случай группоида, который имеет два объекта A и B, если рассматривать их как категорию . Элементы кучи могут быть идентифицированы с морфизмами от A до B, так что три морфизма x , y , z определяют операцию кучи в соответствии с:

${\displaystyle [x,y,z]=xy^{-1}z.}$

Это сводится к куче группы, если в качестве идентичности выбран конкретный морфизм между двумя объектами. Это интуитивно связывает описание изоморфизмов между двумя объектами в виде кучи и описание изоморфизмов между несколькими объектами в виде группоида.

Гетерогенные отношения [ править ]

Пусть A и B - разные множества и совокупность разнородных отношений между ними. Для определения тернарного оператора, где q ^T - обратное отношение к q . Результат этой композиции также состоит в том, что математическая структура была сформирована тройной операцией. ^[3] Виктор Вагнер был мотивирован на создание этой кучи, изучая карты переходов в атласе, которые являются частичными функциями . ^[4] Таким образом, куча - это больше, чем настройка группы: это общая концепция, включающая группу как тривиальный случай.${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$${\displaystyle p,q,r\in {\mathcal {B}}(A,B)}$${\displaystyle [p,q,r]=pq^{T}r}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(A,B)}$

Теоремы [ править ]

Теорема : полугруду с биунитарным элементом e можно рассматривать как инволютивную полугруппу с операцией, заданной формулой ab = [ a , e , b ], и инволюцией a ^–1 = [ e , a , e ]. ^{[1] : 76}

Теорема : любую полугруду можно вложить в инволютивную полугруппу . ^{[1] : 78}

Как и при изучении полугрупп , структура полугруды описывается в терминах идеалов, где «i-простая полукуча» - это такая куча, не имеющая собственных идеалов. Мустафаева перевела отношения Грина теории полугрупп на полугруды и определила ρ-класс как элементы, порождающие один и тот же принцип двустороннего идеала. Затем он доказал, что никакая i-простая полукуча не может иметь более двух ρ классов. ^[5]

Он также описал классы регулярности полукучины S :

${\displaystyle D(m,n)=\{a\mid \exists x\in S:a=a^{n}xa^{m}\}}$где п и м имеют одинаковую четность и тройная операция полугруды применяются в левой части строки из S .

Он доказывает, что S может иметь не более 5 классов регулярности. Мустафаев называет идеал B «изолированным», когда он затем доказывает, что когда S = D (2,2), то каждый идеал изолирован, и наоборот. ^[6]${\displaystyle a^{n}\in B\implies a\in B.}$

Изучая полугруду Z ( A, B ) неоднородных отношений между множествами A и B , в 1974 г. К.А. Зарецкий вслед за Мустафаевым описал идеальную эквивалентность, классы регулярности и идеальные факторы полукучины. ^[7]

Обобщения и связанные концепции [ править ]

• Pseudoheap или pseudogroud удовлетворяет частичная пара-ассоциативная условие ^[4]

  ${\displaystyle [[a,b,c],d,e]=[a,b,[c,d,e]].}$^{[ сомнительно - обсудить ]}

• Мальцева операция удовлетворяет закон идентичности , но не обязательно пару-ассоциативный закон, ^[8] то есть тройная операция на множестве удовлетворяющего личность .${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x,x,y)=f(y,x,x)=y}$
• Полугруды или semigroud должен удовлетворять только пару-ассоциативный закон , но не должен подчиняться закону идентичности. ^[9]

  Пример semigroud , который не в общем Groud даются М кольца из матриц фиксированного размера с

  ${\displaystyle [x,y,z]=x\cdot y^{\mathrm {T} }\cdot z}$

  где • обозначает умножение матриц, а T обозначает транспонирование матрицы . ^[9]

• Идемпотентный является полугруды , где для всех а .${\displaystyle [a,a,a]=a}$
• Обобщена куча или обобщенный Groud является идемпотентной , где

  ${\displaystyle [a,a,[b,b,x]]=[b,b,[a,a,x]]}$и для всех а и б .${\displaystyle [[x,a,a],b,b]=[[x,b,b],a,a]}$

Полугруд является обобщенным слоем, если отношение → определено формулой

${\displaystyle a\rightarrow b\Leftrightarrow [a,b,a]=a}$

является рефлексивной (идемпотентность) и антисимметричной . В обобщенной группе → - отношение порядка . ^[10]

См. Также [ править ]

n -арная ассоциативность

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Антон Сушкевич (1929) «Об обобщении ассоциативного закона», Труды Американского математического общества 31 (1): 204–14 ‹См. Tfd› doi : 10.1090 / S0002-9947-1929-1501476-0 MR 1501476
• Шейн, Борис (1979). «Обратные полугруппы и обобщенные группы». В А.Ф. Лаврик (ред.). Двенадцать работ по логике и алгебре . Амер. Математика. Soc. Пер. 113 . Американское математическое общество . С. 89–182. ISBN 0-8218-3063-5. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Вагнер, В.В. (1968). «К алгебраической теории координатных атласов, II». Труды сем. Вектор. Tenzor. Анальный. (на русском). 14 : 229–281. Руководство по ремонту  0253970 . CS1 maint: discouraged parameter (link)

Внешние ссылки [ править ]

• Сорт Мальцева в nLab