Структура Хита – Джарроу – Мортона

Хит-Jarrow-Мортон ( HJM ) основой является общей основой для моделирования эволюции процентных ставок кривых - мгновенные кривых скоростей вперед , в частности , (в отличие от простых форвардных ставок ). Когда волатильность и дрейф мгновенного форвардного курса считаются детерминированными , это называется гауссовой моделью форвардных курсов Хита – Джарроу – Мортона (HJM) . ^{[1] : 394} Примером для прямого моделирования простых форвардных курсов является модель Брейса – Гатарека – Мусиела .

Структура HJM берет свое начало из работ Дэвида Хита , Роберта А. Джарроу и Эндрю Мортона в конце 1980-х, особенно ценообразование облигаций и временная структура процентных ставок: новая методология (1987) - рабочий документ, Корнельский университет и облигации ценообразование и временная структура процентных ставок: новая методология (1989 г.) - рабочий документ (отредактированная ред.) Корнельского университета. Однако у него есть свои критики, и Пол Уилмотт описывает его как «... на самом деле просто большой коврик для [ошибок], который нужно выметать». ^{[2] [3]}

Framework [ править ]

Ключом к этим методам является признание того, что дрейф безарбитражной эволюции определенных переменных может быть выражен как функции их волатильности и корреляции между собой. Другими словами, оценка дрейфа не требуется.

Модели, разработанные в соответствии со структурой HJM, отличаются от так называемых моделей короткой ставки в том смысле, что модели типа HJM отражают полную динамику всей кривой форвардной ставки , в то время как модели короткой ставки отражают только динамику точки. на кривой (короткий курс).

Однако модели, разработанные в соответствии с общей структурой HJM, часто не являются марковскими и могут даже иметь бесконечные размеры. Ряд исследователей внесли большой вклад в решение этой проблемы. Они показывают, что если структура волатильности форвардных курсов удовлетворяет определенным условиям, то модель HJM может быть полностью выражена марковской системой с конечным числом состояний, что делает ее выполнимой с вычислительной точки зрения. Примеры включают однофакторную модель с двумя состояниями (О. Чейет, «Динамика срочной структуры и оценка ипотеки», Journal of Fixed Income, 1, 1992; П. Ритчкен и Л. Санкарасубраманян в «Структуры волатильности форвардных ставок и динамики»). of Term Structure », Mathematical Finance , 5, No. 1, Jan 1995), и более поздние многофакторные версии.

Математическая формулировка [ править ]

Класс моделей, разработанный Хитом, Джарроу и Мортоном (1992), основан на моделировании форвардных курсов, но не отражает всех сложностей развивающейся временной структуры.

Модель начинается с введения мгновенной форвардной ставки , которая определяется как непрерывная ставка начисления сложных процентов, доступная во времени, как видно из времени . Связь между ценой облигаций и форвардным курсом также определяется следующим образом:${\displaystyle \textstyle f(t,T)}$${\displaystyle \textstyle t\leq T}$${\displaystyle \textstyle T}$${\displaystyle \textstyle t}$

${\displaystyle P(t,T)=e^{-\int _{t}^{T}f(t,s)ds}}$

Вот цена на момент выплаты по бескупонной облигации 1 доллар при наступлении срока погашения . Счет безрискового денежного рынка также определяется как${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$${\displaystyle \textstyle t}$${\displaystyle \textstyle T\geq t}$

${\displaystyle \beta (t)=e^{\int _{0}^{t}f(u,u)du}}$

Это последнее уравнение позволяет нам определить безрисковую короткую ставку. Структура HJM предполагает, что динамика ценообразования без учета риска следующая:${\displaystyle \textstyle f(t,t)\triangleq r(t)}$${\displaystyle \textstyle f(t,s)}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle df(t,s)=\mu (t,s)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)dW_{t}}$

Где это - мерный винеровский процесс , и , которые адаптированы процессы . Теперь, основываясь на этой динамике для , мы попытаемся найти динамику для и найти условия, которые должны быть выполнены в соответствии с правилами ценообразования, нейтральными к риску. Определим следующий процесс:${\displaystyle \textstyle W_{t}}$${\displaystyle \textstyle d}$${\displaystyle \textstyle \mu (u,s)}$${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(u,s)}$${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}_{u}}$ ${\displaystyle \textstyle f}$${\displaystyle \textstyle P(t,s)}$

${\displaystyle Y_{t}\triangleq \log P(t,s)=-\int _{t}^{s}f(t,u)du}$

Динамику можно получить с помощью правила Лейбница :${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}dY_{t}&=f(t,t)dt-\int _{t}^{s}df(t,u)du\\&=r_{t}dt-\int _{t}^{s}\mu (t,u)dtdu-\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}du\end{aligned}}}$

Если мы определим , и предположим , что условия теоремы Фубиней удовлетворены в формуле для динамики , мы получаем:${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}=\int _{t}^{s}\mu (t,u)du}$${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}=\int _{t}^{s}{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)du}$${\displaystyle \textstyle Y_{t}}$

${\displaystyle dY_{t}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

По лемме Ито , динамика затем:${\displaystyle \textstyle P(t,T)}$

${\displaystyle {\frac {dP(t,s)}{P(t,s)}}=\left(r_{t}-\mu (t,s)^{*}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}\right)dt-{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}dW_{t}}$

Но по показателям ценообразования должен быть мартингейл , поэтому мы требуем этого . Дифференцируя это относительно, мы получаем:${\displaystyle \textstyle {\frac {P(t,s)}{\beta (t)}}}$${\displaystyle \textstyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \textstyle \mu (t,s)^{*}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{*T}}$${\displaystyle \textstyle s}$

${\displaystyle \mu (t,u)={\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds}$

Что, наконец, говорит нам, что динамика должна иметь следующую форму:${\displaystyle \textstyle f}$

${\displaystyle df(t,u)=\left({\boldsymbol {\sigma }}(t,u)\int _{t}^{u}{\boldsymbol {\sigma }}(t,s)^{T}ds\right)dt+{\boldsymbol {\sigma }}(t,u)dW_{t}}$

Это позволяет нам оценивать облигации и производные процентные ставки на основе нашего выбора .${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$

См. Также [ править ]

• Модель Black – Derman – Toy
• Модель Brace – Gatarek – Musiela
• Чен модель
• Cheyette модель
• Модель Хо – Ли
• Модель Халла – Уайта

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

Источники [ править ]

• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мортон, А. (1990). Ценообразование облигаций и временная структура процентных ставок: приближение дискретного времени . Журнал финансового и количественного анализа , 25: 419-440.
• Хит, Д., Джарроу, Р. и Мортон, А. (1991). Оценка условных требований со случайным изменением процентных ставок . Обзор фьючерсных рынков , 9: 54-76.
• Хит Д., Джарроу Р. и Мортон А. (1992). Ценообразование облигаций и временная структура процентных ставок: новая методология оценки условных требований . Econometrica , 60 (1): 77-105. DOI : 10,2307 / 2951677
• Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов процентной ставки (2-е изд.). Стэнфордская экономика и финансы. ISBN  0-8047-4438-6

Дальнейшее чтение [ править ]

• Некустистые деревья для гауссовских HJM и логнормальных прямых моделей , профессор Алан Брейс, Сиднейский технологический университет
• Модель временной структуры Хита-Джарроу-Мортона , профессор Дон Чанс, Колледж бизнеса Урсо , Университет штата Луизиана
• Рекомбинирование деревьев для одномерных моделей форвардной ставки , Дариуш Гатарек, Вёнша Школа Бизнесу - Национальный Луисовский университет , и Ярослав Колаковски
• Внедрение безарбитражной временной структуры моделей процентных ставок в дискретное время, когда процентные ставки обычно распределяются , Дуайт М. Грант и Гаутам Вора. Журнал фиксированного дохода, март 1999 г., Vol. 8, No. 4: pp. 85–98
• Модель Хита – Джарроу – Мортона и ее приложения , Владимир I Поздыняков, Пенсильванский университет
• Эмпирическое исследование свойств сходимости дерева нерекомбинирующих форвардных ставок HJM в ценообразовании производных процентных ставок , А. Р. Радхакришнан, Нью-Йоркский университет
• Моделирование процентных ставок с помощью Хита, Джарроу и Мортона. Д-р Дональд ван Девентер, Kamakura Corporation :
  • С одним фактором и волатильностью, зависящей от срока погашения
  • С одним фактором и ставкой и волатильностью, зависящей от срока погашения
  • С двумя факторами и волатильностью, зависящей от ставки и срока погашения
  • С тремя факторами и волатильностью, зависящей от ставки и срока погашения