В геометрии , A hemipolyhedron является однородной звездой полиэдр некоторые из которых лицо проходит через его центр. Эти «полукруглые» грани лежат параллельно граням некоторого другого симметричного многогранника, и их количество равно половине числа граней этого другого многогранника - отсюда и префикс «геми». [1]
Приставка «геми» также используется для обозначения некоторых проективных многогранников , таких как полукуб , которые являются изображением карты 2 к 1 сферического многогранника с центральной симметрией .
Символ Wythoff и фигура вершины [ править ]
Их символы Уайтхоффа имеют вид p / ( p - q ) p / q | r ; их вершинные фигуры - это скрещенные четырехугольники . Таким образом, они связаны со скошенными многогранниками, которые имеют аналогичные символы Wythoff. Конфигурации вершина является р / д 0,2 г . p / ( p - q ) .2 р . 2 рГрани -угольники проходят через центр модели: если они представлены в виде граней сферических многогранников , они покрывают всю полусферу, а их ребра и вершины лежат вдоль большого круга . Р / ( р - д) обозначение подразумевает { р / Q } лицо поворот в обратном направлении вокруг фигуры вершин.
Ниже перечислены девять форм, перечисленных с их символами Wythoff и конфигурациями вершин:
 Тетрагемигексаэдр 3 / +2 3 | 2 (3.4. 3 / 2 0,4) ( р / д = 3, г = 2) |  Octahemioctahedron 3 / +2 3 | 3 (3.6. 3 / 2 0,6) ( р / д = 3, г = 3) |  Малый icosihemidodecahedron 3 / +2 3 | 5 (3.10. 3 / 2 0,10) ( р / д = 3, г = 5) |  Great icosihemidodecahedron 3 / +2 3 | 5 / 3 (3. 10 / 3 . 3 / 2 . 10 / 3 ) ( р / д = 3, г = 5 / 3 ) |  Малый dodecahemicosahedron 5 / 3 5 / 2 | 3 ( 5 / 2 0,6. 5 / 3 +0,6) ( р / д = 5 / 2 , г = 3) |
 Cubohemioctahedron 4 / +3 4 | 3 (4.6. 4 / 3 +0,6) ( р / д = 4, г = 3) |  Малый dodecahemidodecahedron 5 / +4 5 | 5 (5.10. 5 / 4 0,10) ( р / д = 5, г = 5) |  Большой dodecahemidodecahedron +5 / +3 +5 / 2 | 5 / 3 ( 5 / 2 . 10 / 3 . 5 / 3 . 10 / 3 ) ( р / д = 5 / 2 , г = 5 / 3 ) |  Большой dodecahemicosahedron 5 / 4 5 | 3 (5.6. 5 / 4 +0,6) ( р / д = 5, г = 3) |
Обратите внимание, что калейдоскопическая конструкция Витхоффа генерирует неориентируемые гемиполиэдры (все, кроме октагемиоктаэдра) как двойные покрытия (два совпадающих гемиполиэдра).
В евклидовой плоскости, последовательность hemipolyhedra продолжается со следующими четырехзвездочный паркетами, где apeirogons появляются как вышеупомянутые экваториальные полигоны: [ править ]
| Оригинальная ректифицированная плитка | Диаграмма края | Твердый | Конфигурация вершин | Wythoff | Симметрия |
|---|---|---|---|---|---|
 Квадратная плитка |  |  | 4.∞.4 / 3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m |
 Треугольная черепица |  |  | (3.∞.3.∞.3.∞) / 2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m |
Трехгранная черепица | 6.∞.6 / 5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |||
| ∞.3.∞.3 / 2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
Из этих четырех плиток только 6/5 6 | ∞ порождается как двойное покрытие конструкцией Витхоффа.
Ориентация [ править ]
Только октагемиоктаэдр представляет собой ориентируемую поверхность; остальные гемиполиэдры имеют неориентируемые или односторонние поверхности.
Двойники гемиполиэдров [ править ]
Поскольку у гемиполиэдров есть грани, проходящие через центр, двойственные фигуры имеют соответствующие вершины на бесконечности; собственно, на реальной проективной плоскости на бесконечности. [2] В Магнуса Веннингер «ы Двойные модели , они представлены с пересекающимися призм , каждая из которых проходит в обоих направлениях с одной и той же вершины на бесконечности, с тем чтобы сохранить симметрию. На практике призмы модели обрезаются в удобном для производителя месте. Веннингер предположил, что эти фигуры являются членами нового класса звездчатых фигур, называемого звездчатостью до бесконечности.. Однако он также предположил, что, строго говоря, они не являются многогранниками, потому что их конструкция не соответствует обычным определениям.
Всего существует 9 таких двойников, имеющих только 5 различных внешних форм, четыре из которых существуют в идентичных парах. Члены данной визуально идентичной пары различаются расположением истинных и ложных вершин (ложная вершина - это место, где два ребра пересекаются, но не соединяются). Внешние формы:
| Тетрагемигексакрон | Октахемиоктакрон и гексагемиоктакрон | Малый икосигемидодекакрон и малый додекагемидодекакрон | Большой додекагемидодекакрон и великий икосихемидодекакрон | Большой додекагемикосакрон и малый додекагемикосакрон |
| 3 пересекающиеся бесконечные квадратные призмы | 4 пересекающиеся бесконечные шестиугольные призмы | 6 пересекающихся бесконечных десятиугольных призм | 6 пересекающихся бесконечных декаграммических призм | 10 пересекающихся бесконечных шестиугольных призм |
Связь с квазирегулярными многогранниками [ править ]
Hemipolyhedra происходят в парах , как facetings в квазирегулярного многогранников с четырьмя лицами в вершине. Эти квазирегулярные многогранники имеют конфигурацию вершин m . п . м . п и их края, в дополнении к формированию м - и п -gonal лицо, также образует гей-граней hemipolyhedra. Таким образом, гемиполиэдры могут быть получены из квазирегулярных многогранников, отбрасывая либо m -угольники, либо n -угольники (для сохранения двух граней на ребре), а затем вставляя полуграни. Поскольку либо m -угольники, либо n-угольники могут быть отброшены, любой из двух гемиполиэдров может быть получен из каждого квазирегулярного многогранника, за исключением октаэдра как тетратраэдра , где m = n = 3 и две грани совпадают. (Эта конструкция не работает для квазирегулярных многогранников с шестью гранями в вершине, также известных как дитригональные многогранники , поскольку их ребра не образуют правильных полуграней.) [1]
Поскольку гемиполиэдры, как и квазирегулярные многогранники, также имеют два типа граней, чередующихся вокруг каждой вершины, их иногда также считают квазирегулярными. [1]
| Квазирегулярный многогранник m . п . м . п | Полугольцы ( h- угольники) | Гемиполиэдр с отброшенными m -угольниками n . ч . п / п - 1 . час | Гемиполиэдр с отброшенными n -угольниками m . ч . м / м - 1 . час |
|---|---|---|---|
Тетратетраэдр 3.3.3.3 m = 3, n = 3 | квадраты {4} | Тетрагемигексаэдр 3.4.3 / 2.4 | Тетрагемигексаэдр 3.4.3 / 2.4 |
Кубооктаэдр 3.4.3.4 m = 3, n = 4 | шестиугольники {6} | Кубогемиоктаэдр 4.6.4 / 3.6 | Октагемиоктаэдр 3.6.3 / 2.6 |
Икосододекаэдр 3.5.3.5 м = 3, п = 5 | декагоны {10} | Малый додекагемидодекаэдр 5.10.5 / 4.10 | Малый икосигемидодекаэдр 3.10.3 / 2.10 |
Додекадодекаэдр 5.5 / 2.5.5 / 2 m = 5, n = 5/2 | шестиугольники {6} | Малый додекагемикосаэдр 5 / 2.6.5 / 3.6 | Большой додекагемикосаэдр 5.6.5 / 4.6 |
Большой икосододекаэдр 3.5 / 2.3.5 / 2 m = 3, n = 5/2 | декаграммы {10/3} | Большой додекагемидодекаэдр 5 / 2.10 / 3.5 / 3.10 / 3 | Большой икосигемидодекаэдр 3.10 / 3.3 / 2.10 / 3 |
Здесь m и n соответствуют p / q выше, а h соответствует 2 r выше.
Ссылки [ править ]
- ^ a b c Харт, Джордж (1996). «Квазирегулярные многогранники» . Виртуальные многогранники: Энциклопедия многогранников . Проверено 6 мая 2012 года .
- ^ ( Веннингер 2003 , стр.101 )
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954), «Равномерные многогранники», Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки , Королевское общество, 246 (916): 401-450, DOI : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446
- Веннингер, Магнус (1974), Модели многогранников , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09859-5, Руководство по ремонту 0467493 (Модели Веннингера: 67, 68, 78, 89, 91, 100, 102, 106, 107)
- Веннингер, Магнус (1983), Двойные модели , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту 0730208
- Хар'Эль З. Однородное решение для однородных многогранников. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har'El (Стр. 10, 5.2. Полугранники p p '| r.)
Внешние ссылки [ править ]
- Глоссарий многогранников Stella
- Версиправильные многогранники в наглядных многогранниках
