В математике , особенно в области абстрактной алгебры , известной как теории модулей , кольцо R называются наследственным , если все подмодули из проективных модулей над R снова проективные. Если это требуется только для конечно порожденных подмодулей, это называется полунаследственным .
Для некоммутативным кольца R , термины наследственно слева и оставили полунаследственны и их правильные версии рук используются , чтобы отличить собственность на одной стороне кольца. Чтобы быть (полу) наследственными слева, все (конечно порожденные) подмодули проективных левых R -модулей должны быть проективными, а чтобы быть (полу-) наследственными справа, все (конечно порожденные) подмодули проективных правых R -модулей должны быть проективными. Кольцо может быть левым (полу) наследственным, но не право (полу) наследственным, и наоборот.
Эквивалентные определения
- Кольцо R остается (полу) наследственным тогда и только тогда , когда все ( конечно порожденный ) левых идеалов из R являются проективные модули. [1] [2]
- Кольцо R наследуется слева тогда и только тогда, когда все левые модули имеют проективные резольвенты длины не больше 1. Это эквивалентно утверждению, что левая глобальная размерность не больше 1. Следовательно, обычные производные функторы, такие как а также тривиальны для .
Примеры
- Полупростые кольца наследуются слева и справа посредством эквивалентных определений: все левые и правые идеалы являются слагаемыми в R и, следовательно, проективны. Аналогичным образом, в регулярном кольце фон Неймана каждый конечно порожденный левый и правый идеал является прямым слагаемым в R , и поэтому регулярные кольца фон Неймана полунаследственны слева и справа.
- Для любого ненулевого элемента х в области R , через карту . Следовательно, в любой области главный правый идеал свободен, а значит, проективен. Это отражает тот факт, что домены являются правыми кольцами Рикарта . Отсюда следует, что если R - правая область Безу , так что конечно порожденные правые идеалы являются главными, то R имеет все конечно порожденные правые идеалы проективны, и, следовательно, R является полунаследственным справа. Наконец, если предположить, что R является областью главных правых идеалов , то все правые идеалы проективны, а R наследственно справа.
- Коммутативная наследственная область целостности называется дедекиндовской областью . Коммутативная полунаследственная область целостности называется областью Прюфера .
- Важный пример (слева) наследственным кольцом является путь алгебра из дрожи . Это следствие существования стандартной резольвенты (имеющей длину 1) для модулей над алгеброй путей.
- Кольцо треугольных матриц наследственно справа и полунаследственно слева, но не наследственно слева.
- Если S - регулярное кольцо фон Неймана с идеалом I , не являющимся прямым слагаемым, то кольцо треугольных матриц является полунаследственным слева, но не полунаследственным справа.
Характеристики
- Для наследственного слева кольца R каждый подмодуль свободного левого R -модуля изоморфен прямой сумме левых идеалов кольца R и, следовательно, проективен. [2]
Рекомендации
- Перейти ↑ Lam 1999 , p. 42
- ↑ a b Reiner 2003 , стр. 27–29.
- Кроули-Бови, Уильям , Заметки о представлении колчана (PDF)
- Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту 1653294 , Zbl 0911.16001
- Осборн, М. Скотт (2000), Базовая гомологическая алгебра , Тексты для выпускников по математике, 196 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98934-X, Zbl 0948,18001
- Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 28 , Oxford University Press , ISBN 0-19-852673-3, Zbl 1024,16008
- Вейбель, Чарльз А. (1994), Введение в гомологическую алгебру , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38 , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-43500-5, Zbl 0797,18001