В математике , А Колчан является ориентированным графом , где циклы и множественные стрелки между двумя вершинами разрешены, т.е. multidigraph . Они обычно используются в теории представлений : представление V колчана назначает векторное пространство V ( x ) каждой вершине x колчана и линейное отображение V ( a ) каждой стрелке a .
В теории категорий колчан можно понимать как основную структуру категории , но без композиции или обозначения морфизмов идентичности. То есть существует забывчивый функтор от Cat до Quiv . Его левый сопряженный - свободный функтор, который из колчана образует соответствующую свободную категорию .
Определение
Колчан Γ состоит из:
- Множество V вершин графа Γ
- Множество E ребер графа Γ
- Две функции: s : E → V, задающие начало или источник фронта, и еще одна функция, t : E → V, задающая цель фронта.
Это определение идентично мультидиграфу .
Морфизм колчанов определяется следующим образом . Если а также два колчана, то морфизм колчанов состоят из двух функций а также такие, что коммутируют следующие диаграммы :
а также
Теоретико-категориальное определение
Приведенное выше определение основано на теории множеств ; теоретико-категориальное определение обобщает это до функтора от свободного колчана до категории множеств .
Свободный колчан (также называемый пешеходный колчан , Кронекер колчан , 2-Кронекер колчан или категория Кронекера ) Q является категорией с двумя объектами, и четыре морфизмов: Объекты В и Е . Четыре морфизмов с : Е → V , т : Е → V , и тождественные морфизмы ID V : V → V и идентификатор E : E → E . То есть вольный колчан
Колчан тогда является функтором Γ: Q → Set .
В более общем плане , колчан в категории С функтор Γ: Q → C . Категория Quiv ( C ) колчанов в C - это категория функторов, где:
- объекты являются функторами Γ: Q → C ,
- морфизмы - это естественные преобразования между функторами.
Обратите внимание, что Quiv - это категория предпучков в противоположной категории Q op .
Алгебра путей
Если Γ - колчан, то путь в Γ - это последовательность стрел a n a n −1 ... a 3 a 2 a 1 такая, что голова a i +1 является хвостом a i для i = 1. , ..., n −1, используя соглашение о конкатенации путей справа налево.
Если K - поле, то алгебра колчана или алгебра путей K Γ определяется как векторное пространство, имеющее в качестве основы все пути (длины ≥ 0) в колчане (включая, для каждой вершины i колчана Γ, тривиальный путь e i длины 0; эти пути не считаются равными для разных i ), а умножение задается конкатенацией путей. Если два пути не могут быть соединены, потому что конечная вершина первого не равна начальной вершине второго, их произведение определяется равным нулю. Это определяет ассоциативную алгебру над K . Эта алгебра имеет единичный элемент тогда и только тогда, когда колчан имеет только конечное число вершин. В этом случае модули над K Γ естественным образом отождествляются с представлениями Γ. Если колчан имеет бесконечно много вершин, то K Γ имеет приближенное тождество, задаваемое формулойгде F пробегает конечные подмножества множества вершин графа Γ.
Если колчан имеет конечное число вершин и стрелок, и конечную вершину и начальную вершину любого пути всегда различны (т.е. Q имеет не ориентированные циклы), то K Γ является конечно- мерной наследственной алгебры над K . И наоборот, если К алгебраически замкнуто, то любая конечномерен, наследственное, ассоциативная алгебра над K является Морита эквивалентна на пути алгебры ее Ext колчане (т.е. они имеют эквивалентные категории модулей).
Представления колчанов
Представление колчана Q - это ассоциация R -модуля с каждой вершиной Q и морфизм между каждым модулем для каждой стрелки.
Представление V из колчана Q называется тривиальным , если V ( х ) = 0 для всех вершин х в Q .
Морфизм , F : V → V ' , между представлениями колчана Q , представляет собой набор линейных отображений F ( х ): V ( х ) → V ' ( х ) таким образом, что для каждого стрелка в Q от й до у V ′ ( a ) f ( x ) = f ( y ) V ( a ) , т.е. квадраты, которые f образует со стрелками V и V ′, коммутируют. Морфизм f является изоморфизмом , если f ( x ) обратим для всех вершин x в колчане. С помощью этих определений изображения колчана образуют категорию .
Если V и W являются представлениями колчана Q , то прямая сумма этих представлений,, определяется для всех вершин x в Q иявляется прямой суммой линейных отображений V ( a ) и W ( a ).
Представление называется разложимым, если оно изоморфно прямой сумме ненулевых представлений.
Также может быть дано категоричное определение представления колчана. Сам колчан можно рассматривать как категорию, где вершины - объекты, а пути - морфизмы. Тогда представление Q - это просто ковариантный функтор из этой категории в категорию конечномерных векторных пространств . Морфизмы представлений Q - это в точности естественные преобразования между соответствующими функторами.
Для конечного колчана Γ (колчана с конечным числом вершин и ребер) пусть K Γ - его алгебра путей. Обозначим через e i тривиальный путь в вершине i . Тогда мы можем сопоставить вершины я проективный K Γ-модуль K Γ е я состоящий из линейных комбинаций путей , которые начинаются вершиной I . Это соответствует представлению Γ, полученному путем размещения копии K в каждой вершине, лежащей на пути, начинающемся в i и 0 на каждой другой вершине. Каждому ребру, соединяющему две копии K, мы связываем тождественное отображение.
Колчан с отношениями
Чтобы обеспечить коммутативность некоторых квадратов внутри колчана, обобщением является понятие колчанов с отношениями (также называемых связанными колчанами). Отношение на колчан Q является К линейной комбинации путей из Q . Колчан с отношением - это пара ( Q , I ), где Q колчан иидеал алгебры путей. Фактор K Γ / I - это алгебра путей в ( Q , I ) .
Колчан Разнообразие
Учитывая размерности векторных пространств, назначенных каждой вершине, можно сформировать множество, которое характеризует все представления этого колчана с этими указанными измерениями, и рассмотреть условия устойчивости. Они дают разновидности колчана, как было построено Кингом (1994) .
Теорема Габриэля
Колчан имеет конечный тип, если он имеет только конечное число классов изоморфизма неразложимых представлений . Габриэль (1972) классифицировал все колчаны конечного типа, а также их неразложимые представления. Точнее, теорема Габриэля утверждает, что:
- (Связный) колчан имеет конечный тип тогда и только тогда, когда его базовый граф (когда направления стрелок игнорируются) является одной из диаграмм Дынкина ADE : A n , D n , E 6 , E 7 , E 8 .
- Неразложимые представления находятся во взаимно однозначном соответствии с положительными корнями корневой системы диаграммы Дынкина.
Длаб и Рингель (1973) нашли обобщение теоремы Габриэля, в котором встречаются все диаграммы Дынкина конечномерных полупростых алгебр Ли.
Смотрите также
- Классификация ADE
- Категория клея
- Алгебра графов
- Групповое кольцо
- Алгебра инцидентности
- Схема колчана
- Полуинвариант колчана
- Торическая разновидность
- Производная некоммутативная алгебраическая геометрия - Колчаны помогают кодировать данные производных некоммутативных схем
Рекомендации
Книги
Кириллов, Александр (2016), Представления колчана и разновидности колчана , Американское математическое общество, ISBN 978-1-4704-2307-0
Конспект лекций
- Кроули-Бови, Уильям, Лекции по представлениям колчанов (PDF) , архивировано из оригинала 20 августа 2017 г.CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
- Представления колчана в торической геометрии
Исследовать
- Проективные торические многообразия как тонкие пространства модулей колчановых представлений
Источники
- Дерксен, Харм; Вейман, Ежи (февраль 2005 г.), «Колчаны представления» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 52 (2)
- Длаб, Властимил; Рингель, Клаус Майкл (1973), Об алгебрах конечного типа представления , Математические лекции Карлтона, 2 , Отдел математики, Карлтонский университет, Оттава, Онтарио, MR 0347907
- Кроули-Бови, Уильям (1992), Заметки о представлениях колчана (PDF) , Оксфордский университет
- Габриэль, Питер (1972), "Unzerlegbare Darstellungen я.", Manuscripta Mathematica , 6 (1): 71-103, DOI : 10.1007 / BF01298413 , ISSN 0025-2611 , МР 0332887. Опечатки .
- Кинг, Аластер (1994), "Модули представлений конечномерных алгебр", Quart. J. Math. , 45 (180): 515-530, DOI : 10,1093 / qmath / 45.4.515
- Savage, Alistair (2006) [2005], «Конечномерные алгебры и колчаны», Francoise, J.P .; Naber, GL; Цоу, С.Т. (ред.), Энциклопедия математической физики , 2 , Elsevier, стр. 313–320, arXiv : math / 0505082 , Bibcode : 2005math ...... 5082S
- Симсон, Дэниел; Сковронски, Анджей; Ассем, Ибрагим (2007), Элементы теории представлений ассоциативных алгебр , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88218-7
- Бернштейн, штат Индиана; Гельфанд И.М.; Пономарев В.А. Функторы Кокстера и теорема Габриэля // Успехи матем. 1973. Т. 28 , вып. 2 (170), 19–33. Перевод на сайте Бернштейна .
- Колчан в nLab