В теории категорий , раздел математики , предварительный пучок по категории.является функтором . Еслиявляется посет из открытых множеств в топологическом пространстве , интерпретируются как категория, то один выздоравливает обычное понятие предпучки на топологическом пространстве.
Морфизм предпучков определяется как естественное преобразование функторов. Это делает сбор всех предварительных пучков нав категорию и является примером категории функтора . Часто его записывают как. Функтор виногда называют профунктором .
Предпучок, который естественно изоморфен контравариантному гом-функтору Hom (-, A ) для некоторого объекта A из C , называется представимым предпучком .
Некоторые авторы ссылаются на функтор как предпучка . [1]
Примеры
- Симплициальная набор является набор -значная предпучка на симплекс категории .
Характеристики
- Когда - малая категория , категория функторовявляется декартовым закрытым .
- Частично упорядоченное множество подобъектов изобразуют алгебру Гейтинга , когда является объектом для маленьких .
- Для любого морфизма из , функтор отката подобъектов имеет правый сопряженный, обозначаемый , и левый сопряженный, . Это универсальные и экзистенциальные кванторы.
- Местно небольшая категория полностью и верно встраивается в категорию многозначных предварительных пучков через вложение Йонеды, которые к каждому объекту из связывает Хом функтор .
- Категория допускает малые пределы и маленькие копределы. [2] См. Предел и копредел предварительных пучков для дальнейшего обсуждения.
- Теорема плотности утверждает, что каждый предпучок является копределом представимых предпучков; по факту,является копределом завершения(см. # Универсальное свойство ниже.)
Универсальная собственность
Конструкция называется завершение копредела из C из следующего универсального свойства:
Предложение [3] - Пусть C , D категории и D допускает малые копределы. Тогда каждый функтор факторизуется как
где y - вложение Йонеды, аявляется, единственна с точностью до изоморфизма, копредел сохраняющего функтора называется расширение Йонедов из.
Доказательство : для предпучка F по теореме плотности можно записать где объекты в C . Тогда пустькоторое существует по предположению. С функториально, это определяет функтор . Лаконично,является левым расширением Кана изпо y ; отсюда и название «расширение Йонеды». Чтобы увидеть ездит с маленькими копиями, мы показываем является сопряженным слева (к некоторому функтору). Определятьбыть функтором, заданным: для каждого объекта M в D и каждого объекта U в C ,
Тогда для каждого объекта M из D , поскольку по лемме Йонеды имеем:
что сказать является левым сопряженным к .
Предложение дает несколько следствий. Например, из предложения следует, что конструкция является функториальным: т. е. каждый функтор определяет функтор .
Варианты
Предпучком пространств на ∞-категории C является контравариантным функтор из C до ∞-категории пространств (например, нерв категории CW-комплексов .) [4] Это ∞-категория версия предпучок наборов, поскольку «набор» заменяется «пробелом». Это понятие используется, среди прочего, в формулировке ∞-категории леммы Йонеды, которая гласит:полностью точное (здесь C может быть просто симплициальным множеством ) [5]
Смотрите также
- Topos
- Категория элементов
- Симплициальный предпучок (это понятие получается заменой «множество» на «симплициальное множество»)
- Presheaf с трансферами
Заметки
- ^ лемма со-Йонеды в nLab
- ^ Кашивары & Шапира 2005 , следствие 2.4.3.
- ^ Кашивары & Шапира 2005 , предложение 2.7.1.
- ^ Лурье , Определение 1.2.16.1.
- ^ Лурье , Предложение 5.1.3.1.
Рекомендации
- Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2005). Категории и связки . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 332 . Springer. ISBN 978-3-540-27950-1.
- Лурье, Дж. Теория высших топосов .
- Мак Лейн, Сондерс ; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике . Springer. ISBN 0-387-97710-4.
дальнейшее чтение
- Preheaf в nLab
- Бесплатное завершение в nLab
- Дэниел Даггер, Sheaves and Homotopy Theory , PDF-файл, предоставленный nlab.