Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Древняя фреска с играющими в кости в Помпеях

В древней истории понятия случайности и случайности были переплетены с представлениями о судьбе. Многие древние народы бросали кости, чтобы определить судьбу, что позже превратилось в азартные игры . В то же время в большинстве древних культур использовались различные методы гадания, чтобы попытаться обойти случайность и судьбу. [1] [2]

Китайцы, возможно, были первыми людьми, формализовавшими случайности и вероятности 3000 лет назад. В Греческие философы обсуждали хаотичность в длину, но только в неколичественных формах. Только в шестнадцатом веке итальянские математики начали формализовать шансы, связанные с различными азартными играми. Изобретение современного исчисления оказало положительное влияние на формальное изучение случайности. В XIX веке в физику было введено понятие энтропии .

В начале двадцатого века наблюдался быстрый рост формального анализа случайности, и были введены математические основы вероятности, что привело к его аксиоматизации в 1933 году. В то же время появление квантовой механики изменило научный взгляд на детерминированность . В середине-конце 20-го века идеи алгоритмической теории информации внесли в эту область новые измерения с помощью концепции алгоритмической случайности .

Хотя на протяжении многих столетий случайность часто рассматривалась как препятствие и неприятность, в двадцатом веке компьютерные ученые начали понимать, что преднамеренное введение случайности в вычисления может быть эффективным инструментом для разработки лучших алгоритмов. В некоторых случаях такие рандомизированные алгоритмы могут превзойти лучшие детерминированные методы.

От античности до средневековья [ править ]

Изображение римской богини Фортуны , решившей судьбу, работы Ганса Бехама , 1541 г.

Дохристианские жители Средиземноморья бросали кости, чтобы определить судьбу, и позже это превратилось в азартные игры. [3] Есть также свидетельства азартных игр, в которые играли древние египтяне, индусы и китайцы, начиная с 2100 года до нашей эры. [4] Китайцы играли в кости раньше европейцев и давно играли в азартные игры. [5]

Более 3000 лет назад проблемы, связанные с подбрасыванием нескольких монет, рассматривались в « Ицзин» , одном из старейших китайских математических текстов, который, вероятно, датируется 1150 годом до нашей эры. Два основных элемента, инь и ян, были объединены в И-цзин в различных формах, чтобы произвести перестановки орла и хвоста типа HH, TH, HT и т. Д., И китайцы, похоже, знали о треугольнике Паскаля задолго до того, как европейцы формализовали его. в 17 веке. [6] Однако западная философия до 16 века фокусировалась на нематематических аспектах случайности и случайности.

Развитие концепции случайности на протяжении всей истории происходило очень постепенно. Историки задаются вопросом, почему прогресс в области случайности был таким медленным, учитывая, что люди сталкивались со случайностями с древних времен. Дебора Беннетт предполагает, что обычные люди сталкиваются с врожденными трудностями в понимании случайности, хотя эта концепция часто считается очевидной и самоочевидной. Она цитирует исследования Канемана и Тверски ; они пришли к выводу, что статистические принципы не усваиваются из повседневного опыта, потому что люди не обращают внимания на детали, необходимые для получения таких знаний. [7]

Греческие философы были первыми западными мыслителями, которые обращались к случайности и случайности. Около 400 г. до н.э. Демокрит представил взгляд на мир как управляемый однозначными законами порядка и рассматривал случайность как субъективную концепцию, которая возникла только из неспособности людей понять природу событий. Он использовал пример двух мужчин, которые одновременно посылали своих слуг принести воду, чтобы заставить их встретиться. Слуги, не подозревая о плане, сочли бы встречу случайной. [8]

Аристотель рассматривал случайность и необходимость как противоположные силы. Он утверждал, что у природы есть богатые и постоянные закономерности, которые не могут быть результатом одного лишь случая, но что эти закономерности никогда не демонстрируют машинного единообразия необходимого детерминизма. Он рассматривал случайность как подлинную и широко распространенную часть мира, но как подчиненную необходимости и порядку. [9] Аристотель разделил события на три типа: определенные события, которые происходят обязательно; вероятные события, которые происходят в большинстве случаев; и неизвестные события, которые происходят случайно. Он считал исход азартных игр непостижимым. [10]

Около 300 г. до н.э. Эпикур предложил концепцию, согласно которой случайность существует сама по себе, независимо от человеческого знания. Он считал, что в атомном мире атомы будут случайным образом отклоняться на своем пути, вызывая случайность на более высоких уровнях. [11]

Хотей , божество удачи, наблюдает за петушиным боем на японской гравюре XVI века

В течение нескольких столетий после этого идея случая продолжала переплетаться с судьбой. Гадание практиковалось во многих культурах с использованием различных методов. Китайцы проанализировали трещины в панцирях черепах, а немцы, которые, по словам Тацита, очень дорожили жребием и приметами, использовали полоски коры. [12] В Римской империи случай был олицетворен богиней Фортуной . Римляне участвовали в азартных играх, чтобы имитировать то, что решил Фортуна. В 49 г. до н.э. Юлий Цезарь якобы принял роковое решение пересечь Рубикон, бросив кости. [13] [ ненадежный источник? ]

Классификация событий Аристотелем на три класса: определенные , вероятные и непознаваемые была принята римскими философами, но им пришлось примирить ее с детерминированными христианскими учениями, в которых даже события, неизвестные человеку, считались предопределенными Богом. Около 960 епископ Камбре Вибольд правильно перечислил 56 различных исходов (без перестановок) игры с тремя кубиками. Никаких упоминаний об игральных картах в Европе не было найдено до 1350 года. Церковь проповедовала против карточной игры, и карточные игры распространялись гораздо медленнее, чем игры, основанные на играх в кости. [14] Христианская церковь специально запретила гадание.; Куда бы ни пошло христианство, гадание потеряло большую часть своей прежней силы. [15] [16]

На протяжении веков многие христианские ученые боролись с конфликтом между верой в свободную волю и ее подразумеваемой случайностью и идеей, что Бог знает все, что происходит. Святые Августин и Фома Аквинский пытались найти компромисс между предвидением и свободой воли, но Мартин Лютер возражал против случайности и придерживался позиции, согласно которой всеведение Бога делает человеческие действия неизбежными и решительными. [17] В 13 веке Фома Аквинскийрассматривал случайность не как результат одной причины, а как результат нескольких случайных причин. Хотя он верил в существование случайности, он отверг ее как объяснение конечной направленности природы, так как он видел слишком много закономерностей в природе, чтобы их можно было получить случайно. [18]

Греки и римляне не заметили относительной частоты азартных игр. На протяжении веков в Европе случайность обсуждалась без какой-либо математической основы, и только в 16 веке итальянские математики начали обсуждать результаты азартных игр как отношения. [19] [20] [21] В « Liber de Lude Aleae» 1565 года (руководство игрока, опубликованное после его смерти) Джероламо Кардано написал один из первых официальных трактатов, в которых анализируются шансы на победу в различных играх. [22]

17-19 веков [ править ]

Статуя Блеза Паскаля , Лувр

Примерно в 1620 году Галилей написал статью под названием « Об открытии, касающейся игральных костей», в которой использовалась ранняя вероятностная модель для решения конкретных вопросов. [23] В 1654 году, вызванный интересом шевалье де Мере к азартным играм, Блез Паскаль переписывался с Пьером де Ферма , и были заложены многие основы теории вероятностей. Пари Паскаля был известен своим ранним использованием концепции бесконечности и первым формальным использованием теории принятия решений . Работа Паскаля и Ферма повлияла на работы Лейбница по исчислению бесконечно малых, что, в свою очередь, дало дополнительный импульс формальному анализу вероятности и случайности.

Первое известное предположение о рассмотрении случайности с точки зрения сложности было сделано Лейбницем в малоизвестном документе 17-го века, обнаруженном после его смерти. Лейбниц спросил, как можно узнать, был ли случайным образом выбран набор точек на листе бумаги (например, путем разбрызгивания чернил) или нет. Учитывая, что для любого набора конечных точек всегда существует математическое уравнение, которое может описывать точки (например, с помощью лагранжевой интерполяции ), вопрос фокусируется на том, как точки выражаются математически. Лейбниц рассматривал точки как случайные, если функция, описывающая их, должна быть чрезвычайно сложной. Спустя три столетия эта же концепция была формализована как алгоритмическая случайность А. Н. Колмогоровым и Григорием Чайтиным.как минимальная длина компьютерной программы, необходимой для описания конечной строки как случайной. [24]

Доктрина шансов , первый учебник по теории вероятностей, был опубликован в 1718 году, и с тех пор эта область продолжала расти. [25] Теория частотного подхода к вероятности была впервые разработана Робертом Эллисом и Джоном Венном в конце XIX века.

Гадалка по Вуэ , 1617

В то время как математическая элита добивалась прогресса в понимании случайности с 17 по 19 века, широкая публика продолжала полагаться на такие практики, как гадания, в надежде обуздать случай. Судьбы предсказывались разными способами как на Востоке (где гадание позже было названо зависимостью), так и в Европе цыганами и другими. [26] [27] Английские практики, такие как чтение яиц, упавших в стакан, были экспортированы в пуританские общины Северной Америки. [28]

Термин энтропия , который сейчас является ключевым элементом в изучении случайности, был введен Рудольфом Клаузиусом в 1865 году, когда он изучал тепловые двигатели в контексте второго закона термодинамики . Клаузиус был первым, кто заявил, что «энтропия всегда увеличивается». [29]

Со времен Ньютона примерно до 1890 года обычно считалось, что если знать начальное состояние системы с большой точностью и если все силы, действующие на систему, могут быть сформулированы с одинаковой точностью, то в принципе это возможно. , чтобы делать предсказания состояния Вселенной на бесконечно долгое время. Пределы таких предсказаний в физических системах стали ясны еще в 1893 году, когда Анри Пуанкаре показал, что в задаче трех тел в астрономии небольшие изменения начального состояния могут привести к большим изменениям траекторий во время численного интегрирования уравнений. [30]

В 19 веке, когда теория вероятностей была формализована и лучше понята, отношение к «случайности как помехе» стало подвергаться сомнению. Гете писал:

Ткань мира построена из необходимости и случайности; интеллект людей находится между ними и может управлять ими; учитывает необходимость и причину своего существования; он знает, как можно управлять, контролировать и использовать случайность.

Слова Гете оказались пророческими, когда в 20 веке рандомизированные алгоритмы были обнаружены как мощные инструменты. [31] К концу 19-го века модель механической Вселенной Ньютона угасла, так как Максвелл и Больцман изучали статистическое представление о столкновении молекул в газах . [32] Уравнение Больцмана S  =  k  log e  W (начертанное на его надгробии) сначала связывает энтропию с логарифмами .

20 век [ править ]

Скульптура Энтони Гормли « Квантовое облако» в Лондоне была создана компьютером с использованием алгоритма случайного блуждания .

В течение 20-го века пять основных интерпретаций теории вероятностей (например, классическая , логическая , частотная , склонная и субъективная ) стали лучше поняты, обсуждались, сравнивались и противопоставлялись. [33] В этом веке было разработано значительное количество прикладных областей, от финансов до физики. В 1900 году Луи Башелье применил броуновское движение для оценки опционов на акции , положив начало области финансовой математики и стохастических процессов .

Эмиль Борель был одним из первых математиков, который в 1909 году официально обратился к случайности и ввел нормальные числа . [34] В 1919 году Ричард фон Мизес дал первое определение алгоритмической случайности через невозможность игровой системы . Он разработал частотную теорию случайности в терминах того, что он назвал коллективной , то есть случайной последовательностью.. Фон Мизес рассматривал случайность коллектива как эмпирический закон, установленный опытом. Он связал «беспорядок» или случайность коллектива с неудачей попыток использования игровых систем. Этот подход привел его к тому, что он предложил определение случайности, которое позже было уточнено и математически строгое Алонзо Черч с использованием вычислимых функций в 1940 году. [35] Фон Мизес сравнил принцип невозможности игровой системы с принципом сохранения энергия , закон, который нельзя доказать, но подтвердился в многократных экспериментах. [36]

Фон Мизес никогда полностью не формализовал свои правила выбора подпоследовательности, но в своей статье 1940 года «О концепции случайной последовательности» Алонзо Чёрч предположил, что функции, используемые для размещения в формализме фон Мизеса, должны быть вычислимыми функциями, а не произвольными функциями. начальных сегментов последовательности, апеллируя к тезису Черча – Тьюринга об эффективности. [37] [38]

Появление квантовой механики в начале 20-го века и формулировка принципа неопределенности Гейзенберга в 1927 году положили конец ньютоновскому мышлению физиков в отношении детерминированности природы . В квантовой механике нет даже способа рассматривать все наблюдаемые элементы в системе как случайные величины одновременно , поскольку многие наблюдаемые не коммутируют. [39]

Café Central , одно из первых мест встречи Венского круга

К началу 1940-х годов подход теории вероятностей к теории частот был хорошо принят в венском кругу , но в 1950-х Карл Поппер предложил теорию склонностей . [40] [41] Учитывая, что частотный подход не может иметь дело с «одиночным подбрасыванием» монеты и может работать только с большими ансамблями или коллективами, единичные вероятности рассматривались как склонности или шансы. Концепция предрасположенности также была продиктована желанием иметь дело с установками вероятности одного случая в квантовой механике, например вероятностью распада определенного атома в определенный момент. В более общем плане частотный подход не может иметь дело с вероятностью смерти конкретного человека.учитывая, что смерть этого человека не может повториться несколько раз. Карл Поппер повторил то же мнение, что и Аристотель, рассматривая случайность как подчиненную порядку, когда он писал, что «концепция случайности не противоречит концепции закона» в природе, при условии, что мы рассматриваем законы случая. [42] [43]

Развитие теории информации Клодом Шенноном в 1948 году привело к появлению энтропийного взгляда на случайность. С этой точки зрения случайность противоположна детерминизму в стохастическом процессе . Следовательно, если стохастическая система имеет нулевую энтропию, в ней нет случайности, и любое увеличение энтропии увеличивает случайность. Формулировка Шеннона по умолчанию соответствует формулировке энтропии Больцмана XIX века в случае, если все вероятности равны. [44] [45] Энтропия сейчас широко используется в различных областях науки от термодинамики до квантовой химии . [46]

Мартингалы для изучения шансов и стратегий ставок были введены Полом Леви в 1930-х годах и формализованы Джозефом Л. Дубом в 1950-х. [47] Применение гипотезы случайного блуждания в финансовой теории было впервые предложено Морисом Кендаллом в 1953 году. [48] Позднее ее продвигали Юджин Фама и Бертон Малкиел .

Случайные строки впервые были изучены в 1960-х годах А. Н. Колмогоровым (который дал первое аксиоматическое определение теории вероятностей в 1933 г.) [49] Чейтином и Мартином-Лёфом . [50] алгоритмическая хаотичность строки была определена как минимальный размер программы (например , в битах) , выполняемой на универсальном компьютере , который дает строку. Число Омега Чейтина позже связывало случайность и вероятность остановки программ. [51]

В 1964 году Бенуа Мандельброт предположил, что большинство статистических моделей подходят только к первой стадии работы с индетерминизмом и что они игнорируют многие аспекты турбулентности реального мира. [52] [53] В своем 1997 году он определил семь состояний случайности в диапазоне от «умеренного до дикого», при этом традиционная случайность находится на умеренном конце шкалы. [54]

Несмотря на математические достижения, в 20 веке продолжалось использование других методов работы со случайностями, таких как гадание и астрология . По сообщениям, правительство Мьянмы сформировало экономическую политику 20-го века, основываясь на предсказаниях судьбы, и спланировало перенос столицы страны на основе советов астрологов. [55] [56] [57] Глава администрации Белого дома Дональд Риган раскритиковал участие астролога Джоан Куигли в решениях, принятых во время президентства Рональда Рейгана в 1980-х годах. [58] [59] [60] Куигли утверждает, что был астрологом Белого дома в течение семи лет. [61]

В течение 20 века ограничения в работе со случайностью стали более понятными. Самый известный пример как теоретических, так и практических ограничений предсказуемости - это прогноз погоды просто потому, что модели используются в полевых условиях с 1950-х годов. Прогнозы погоды и климата обязательно неопределенны. Наблюдения за погодой и климатом являются неопределенными и неполными, а модели, в которые вводятся данные, являются неопределенными. [62] В 1961 году Эдвард Лоренц заметил, что очень небольшое изменение исходных данных, представленных в компьютерную программу моделирования погоды, может привести к совершенно иному сценарию погоды. Позже это стало известно как эффект бабочки , который часто перефразировали как вопрос: "Вызывает ли взмах крыльев бабочки в Бразилии торнадо в Техасе? ". [63] Ключевым примером серьезных практических ограничений предсказуемости является геология, где способность предсказывать землетрясения на индивидуальной или статистической основе остается отдаленной перспективой. [64]

В конце 1970-х - начале 1980-х годов компьютерные ученые начали понимать, что преднамеренное введение случайности в вычисления может быть эффективным инструментом для разработки лучших алгоритмов. В некоторых случаях такие рандомизированные алгоритмы превосходят лучшие детерминированные методы. [65]

Примечания [ править ]

  1. ^ Справочник по жизни в Древнем Риме , Лесли Адкинс, 1998 ISBN  0-19-512332-8 стр. 279
  2. ^ Религии древнего мира , Сара Айлс Джонстон, 2004 ISBN 0-674-01517-7 стр. 370 
  3. ^ Что такое случайность?: Случайность и порядок в математике и жизни , Эдвард Дж. Белтрами, 1999, Springer ISBN 0-387-98737-1, стр. 2–4 
  4. ^ Энциклопедия досуга и отдыха на открытом воздухе , Джон Майкл Дженкинс, 2004 ISBN 0-415-25226-1 стр. 194 
  5. ^ Смелые углы Китая , Элиза Маккормик, 2007 ISBN 1-4067-5332-7 стр. 158 
  6. ^ Природа и рост современной математики , Эдна Эрнестин Крамер, 1983, ISBN 9780691023724 , стр. 313 
  7. ^ Случайность , Дебора Дж. Беннетт, Издательство Гарвардского университета, 1998. ISBN 0-674-10745-4 стр. 8-9 и 24 
  8. ^ Дизайн и анализ рандомизированных алгоритмов , Юрай Хромкович, 2005 ISBN 3-540-23949-9 стр. 1 
  9. ^ Физика Аристотеля: управляемое исследование , Джо Сакс, 1995 ISBN 0-8135-2192-0 стр. 70 
  10. ^ История вероятностей и статистики и их приложений до 1750 года , Андерс Халд, 2003 ISBN 0-471-47129-1 стр. 30 
  11. ^ Эпикур: Введение , Джон М. Рист, 1972 ISBN 0-521-08426-1 стр. 52 
  12. ^ Эпоха шанса , Герда Рейт, 2000 ISBN 0-415-17997-1 стр. 15; Tac. Зародыш. 10 
  13. ^ Что такое случайность?: Случайность и порядок в математике и жизни , Эдвард Дж. Белтрами, 1999, Springer ISBN 0-387-98737-1, стр. 3–4 
  14. ^ История вероятностей и статистики и их приложений до 1750 года , Андерс Халд, 2003 ISBN 0-471-47129-1 стр. 29-36 
  15. ^ Общая история христианской церкви Том 2 Джозеф Пристли 1804 ASIN B002KW4M6O страница 11
  16. ^ Католическая энциклопедия [1]
  17. ^ Дело в пользу гуманизма , Льюис Вон, Остин Дейси , 2003 ISBN 0-7425-1393-9 стр. 81 год 
  18. ^ Трактат о божественной природе: Summa theologiae I , 1–13, Святого Фомы Аквинского, Брайана Дж. Шанли, 2006 ISBN 0-87220-805-2 с. 198 
  19. ^ История вероятностей и статистики и их приложений до 1750 года , Андерс Халд, 2003 ISBN 0-471-47129-1 стр. 30–4 
  20. ^ Мир научных открытий , Кимберли А. МакГрат и Бриджит Трэверспейдж, 1999 ISBN 0-7876-2760-7 стр. 893 
  21. ^ Случайность , Дебора Дж. Беннет, издательство Гарвардского университета, 1998. ISBN 0-674-10745-4 стр. 8 
  22. ^ Словарь ученых , Джон Дейнтит, Дерек Гьерсен, 1999 ISBN 0-19-280086-8 стр. 88 
  23. ^ История вероятностей и статистики и их приложений до 1750 года , Андерс Халд, 2003 ISBN 0-471-47129-1 стр. 41 год 
  24. ^ Размышляя о Гёделе и Тьюринге , Грегори Дж. Чайтин, 2007 ISBN 981-270-896-0 стр. 242 
  25. ↑ Шнайдер, Иво (2005), «Абрахам Де Муавр, Доктрина шансов (1718, 1738, 1756)», в Grattan-Guinness, I., Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Amsterdam: Elsevier, p. 105–120, ISBN 0-444-50871-6 
  26. ^ Азия в становлении Европы , Том 3, Дональд Фредерик Лач, Эдвин Дж. Ван Клей, 1998 ISBN 0-226-46769-4 стр. 1660 
  27. ^ История цыган Восточной Европы и России , Дэвид М. Кроу, 1996 ISBN 0-312-12946-7 стр. 36 
  28. ^ События, которые изменили Америку в семнадцатом веке , Джон Э. Финдлинг, Фрэнк У. Теккерей, 2000 ISBN 0-313-29083-0 стр. 168 
  29. ^ Великие физики Уильяма Х. Кроппера 2004 ISBN стр. 93
  30. ^ Об ограниченной предсказуемости , A. Wiin-Nielsen , 1999 ISBN 87-7304-185-8 p. 3 
  31. ^ Дизайн и анализ рандомизированных алгоритмов , Юрай Хромкович, 2005 ISBN 3-540-23949-9 стр. 4 
  32. ↑ Энциклопедия науки и техники Джеймса С. Трефила 2001 ISBN 0-415-93724-8 Страница cxxxiii 
  33. ^ Стэнфордская энциклопедия философии
  34. ^ Э. Борель, Ле probabilites denombrables и др Leurs приложения arithmetique Rend. Circ. Мат. Палермо, 27 (1909) 247–271
  35. ^ Companion Энциклопедия истории и философии Том 2, Айвор Граттан Гиннесс 0801873975 р. 1412
  36. ^ Философия Карла Поппера , ISBN Герберта Кеута 0-521-54830-6 стр. 171 
  37. ^ Алонзо Черч , «О концепции случайной последовательности», Bull. Амер. Математика. Soc., 46 (1940), 254–260.
  38. ^ J. Альберто Coffa, «Случайность и знание» в СРП 1972: Труды 1972 двухгодичное совещание философии науки ассоциации , том 20, М., 1974 г. ISBN 90-277-0408-2 р. 106 
  39. ^ Введение в случайное время и квантовую случайность Кай Лай Чунг, Жан-Клод Замбрини 2003 ISBN 981-238-415-4 страница 
  40. ↑ Карл Поппер, 1957, «Интерпретация склонности исчисления вероятностей и квантовой теории», в S. Körner (ed.), The Colston Papers , 9: 65–70.
  41. ↑ Карл Поппер, 1959, "Интерпретация вероятности склонностью", British Journal of the Philosophy of Science , 10: 25–42.
  42. Перейти ↑ Karl Popper, The Logic of Scientific Discovery p. 206
  43. ^ Философия Карла Поппера , ISBN Герберта Кеута 0-521-54830-6 стр. 170 
  44. ^ Single Orbit Dynamics , Benjamin Weiss 1999 ISBN 0-8218-0414-6 стр. 83 
  45. ^ Математическая теория информации Ян Коре 2002 ISBN 1-4020-7064-0 страница 218 
  46. ^ Обзоры в вычислительной химии, том 23 Кеннета Б. Липковица ISBN 0-470-08201-1 стр. 279 
  47. ^ Мартингальное приближение Ю. В. Боровских, 1997 ISBN 90-6764-271-1 стр. 287 
  48. Перейти ↑ Kendall, MG (1953). «Анализ экономических временных рядов, часть I: цены», журнал Королевского статистического общества . А (Общие) 116 (1): 11–34. [2]
  49. ^ Теория вероятностей: логика науки Эдвином Т. Джейнсом, Г. Ларри Бретторстом 2003 ISBN 0-521-59271-2 стр. 49 
  50. ^ Информация и случайность: алгоритмическая перспектива , Кристиан Калуд, 2002 ISBN 3-540-43466-6 стр. 145 
  51. ^ Размышляя о Гёделе и Тьюринге , Грегори Дж. Чайтин, 2007 ISBN 981-270-896-0 стр. 185 
  52. ^ Гауссовское самоаффинити и фракталы Бенуа Мандельброта, Ф. Дж. Дамерау, М. Фрейма и К. МакКами 2001 ISBN 0-387-98993-5 стр. 20 
  53. ^ Экономия науки без усилий? Филиппа Мировски 2004 ISBN 0-8223-3322-8 стр. 255 
  54. ^ Фракталы и масштабирование в области финансов по Benoît Мандельброта 1997 ISBN 0-387-98363-5 страницы 136-142 
  55. ^ Мьянма (Бирма) с 1962 года: провал разработки Питером Джоном Перри 2007 ISBN 0-7546-4534-7 стр. 
  56. ↑ Asia Times, 18 июня 2009 г. Мгновенная карма в Мьянме.
  57. ^ НьюЙорк Таймс, 11 ноября 2005 Правительство А на переезд в незавершенном строительстве столицы , [3]
  58. ↑ Time Magazine, 16 мая 1988 г., Боже мой!
  59. ^ Энциклопедия лет Рейгана-Буша 1996 Питер Б. Леви ISBN 0-313-29018-0 страница 25 
  60. ^ Выйти с честью: жизнь и президентство Рональда Рейгана Уильямом Э. Пембертоном 1997 ISBN 0-7656-0095-1 стр. 123 
  61. ^ Куигли, Джоан. Что говорит Джоан? Мои семь лет в качестве астролога Белого дома Нэнси и Рональду Рейганам . Кэрол Издательская группа. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк; 1990 г.
  62. ^ Предсказуемость погоды и климата , Тим Палмер, Ренате Хагедорн, 2006 ISBN 0-521-84882-2 стр. 1 
  63. ^ Предупреждение о шторме: История смерча-убийцы , Нэнси Матис, 2007 ISBN 978-0-7432-8053-2 стр. Икс 
  64. ^ Л. Кнопофф, "Предсказание землетрясений: научная проблема", Труды Национальной академии наук , 1999 ISBN 0-309-05837-6 стр. 3720 
  65. ^ Дизайн и анализ рандомизированных алгоритмов , Юрай Хромкович 2005 ISBN 3-540-23949-9 стр. 4