В геометрии гиперплоскость — это подпространство, размерность которого на единицу меньше размера окружающего его пространства . Например, если пространство трехмерное, то его гиперплоскости — это двумерные плоскости , а если пространство двухмерное, его гиперплоскости — это одномерные линии . Это понятие можно использовать в любом общем пространстве , в котором определено понятие размерности подпространства .
В разных настройках гиперплоскости могут иметь разные свойства. Например, гиперплоскость n -мерного аффинного пространства представляет собой плоское подмножество размерности n - 1 [1] и разделяет пространство на два полупространства . А гиперплоскость n -мерного проективного пространства этим свойством не обладает.
Разница в размерности между подпространством S и окружающим его пространством X известна как коразмерность S относительно X. Следовательно, необходимым и достаточным условием того, чтобы S была гиперплоскостью в X , является то, что S имеет коразмерность единица в X .
В геометрии гиперплоскость n - мерного пространства V — это подпространство размерности n - 1 или, что то же самое, коразмерности 1 в V. Пространство V может быть евклидовым пространством или, в более общем плане , аффинным пространством , векторным пространством или проективным пространством , и понятие гиперплоскости меняется соответственно, поскольку определение подпространства различается в этих условиях; однако во всех случаях любая гиперплоскость может быть задана в координатах как решение одного (из-за ограничения «коразмерности 1») алгебраического уравнения степени 1.
Если V — векторное пространство, различают «векторные гиперплоскости» (которые являются линейными подпространствами и, следовательно, должны проходить через начало координат) и «аффинные гиперплоскости» (которые не обязательно проходят через начало координат; их можно получить путем перевода вектора гиперплоскость). Гиперплоскость в евклидовом пространстве разделяет это пространство на два полупространства и определяет отражение , которое фиксирует гиперплоскость и меняет местами эти два полупространства.
Определены несколько конкретных типов гиперплоскостей со свойствами, которые хорошо подходят для конкретных целей. Некоторые из этих специализаций описаны здесь.