В математике , уравнение , определяющее изомонодромные деформации в мероморфных линейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений являются, в довольно точном смысле, наиболее фундаментальные точные нелинейные дифференциальные уравнения. В результате их решения и свойства лежат в основе области точной нелинейности и интегрируемых систем .
Изомонодромные деформации были впервые изучены Ричардом Фуксом с ранними новаторскими вкладами Лазаря Фукса , Поля Пенлеве , Рене Гарнье и Людвига Шлезингера . Вдохновленные результатами статистической механики , основополагающий вклад в теорию внесли Мичио Джимбо , Тетсудзи Мива и Кимио Уэно , изучавшие случаи с произвольной структурой сингулярности.
Фуксовы системы и уравнения Шлезингера
Рассмотрим фуксову систему линейных дифференциальных уравнений
где независимая переменная x принимает значения в комплексной проективной прямой P 1 ( C ), решение Y принимает значения в C n, а A i - постоянные матрицы размера n × n . Помещая n независимых столбцовых решений в фундаментальную матрицу, можно рассматривать Y как принимающее значения из GL ( n , C ). Решения этого уравнения имеют простые полюсы при x = λ i . Для простоты предположим, что нет другого полюса на бесконечности, что соответствует условию, что
Данные монодромии
Теперь зафиксируйте базовую точку b на сфере Римана вдали от полюсов. Аналитическое продолжение решения Y вокруг любого полюса λ i и обратно к базовой точке приведет к новому решению Y ', определенному около b . Новое и старое решения связаны матрицей монодромии M i следующим образом:
Таким образом, имеется гомоморфизм Римана – Гильберта от фундаментальной группы проколотой сферы к представлению монодромии:
Изменение базовой точки просто приводит к (одновременному) сопряжению всех матриц монодромии. Матрицы монодромии по модулю одновременного сопряжения определяют данные монодромии фуксовой системы.
Двадцать первая проблема Гильберта
Теперь, имея данные о монодромии, можно ли найти фуксову систему, которая демонстрирует эту монодромию? Это одна из форм двадцать первой проблемы Гильберта . Координаты x и координаты не различаются.которые связаны преобразованиями Мёбиуса , а также не различают калибровочно эквивалентные фуксовы системы - это означает, что A и
считаются эквивалентными для любого голоморфного калибровочного преобразования g ( x ). (Таким образом, наиболее естественно рассматривать фуксову систему геометрически как связь с простыми полюсами на тривиальном векторном расслоении ранга n над сферой Римана).
Для общих данных о монодромии ответ на двадцать первую проблему Гильберта - «да», как впервые было доказано Иосипом Племель . Однако Племель пренебрегал некоторыми вырожденными случаями, и в 1989 году Андрей Болибрух показал, что бывают случаи, когда ответ отрицательный. Здесь полностью рассматривается общий случай.
Уравнения Шлезингера
Существует (в общем) много фуксовых систем с одинаковыми данными монодромии. Таким образом, для любой такой фуксовой системы с заданными данными монодромии можно производить изомонодромные деформации . Поэтому он приводит к изучению семейств фуксовых систем и позволяет матрицам A i зависеть от положения полюсов.
В 1912 году (следуя более ранним ошибочным попыткам) Людвиг Шлезингер доказал, что в общем случае деформации, которые сохраняют данные монодромии (общей) фуксовой системы, управляются интегрируемой голономной системой уравнений в частных производных, которая теперь носит его имя:
Следовательно, это уравнения изомонодромии для (общих) фуксовых систем. Естественная интерпретация этих уравнений - это плоскостность естественной связи на векторном расслоении над «пространством параметров деформации», которое состоит из возможных положений полюсов. Для необщих изомонодромных деформаций все еще будет существовать интегрируемое уравнение изомонодромии, но уже не Шлезингера.
Если ограничиться случаем, когда A i принимает значения в алгебре Ли, получаются так называемые системы Гарнье . Если продолжить изучение случая, когда всего четыре полюса, то уравнения Шлезингера / Гарнье можно свести к знаменитому шестому уравнению Пенлеве .
Неправильные особенности
Мотивированные появлением трансцендентов Пенлеве в корреляционных функциях теории бозе-газов , Мичио Джимбо, Тетсуджи Мива и Кимио Уэно распространили понятие изомонодромной деформации на случай произвольной структуры полюсов. Исследуемая линейная система теперь имеет вид
с n полюсами, с полюсом в точке λ i порядка. В - постоянные матрицы.
Расширенные данные монодромии
Помимо представления монодромии, описанного в фуксовой установке, деформации нерегулярных систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений требуются для сохранения расширенных данных монодромии. Грубо говоря, данные монодромии теперь рассматриваются как данные, которые склеивают канонические решения вблизи сингулярностей. Если взятькак локальная координата вблизи полюса А я от того , , затем можно почленно решить такое голоморфное калибровочное преобразование g , что локально система выглядит как
где и являются диагональными матрицами. Если бы это было верно, это было бы чрезвычайно полезно, потому что тогда (по крайней мере, локально) можно разделить систему на n скалярных дифференциальных уравнений, которые можно легко решить, чтобы найти это (локально):
Однако это не работает - потому что степенной ряд, решаемый семенно для g , в общем случае не сходится.
Джимбо, Мива и Уэно пришли к великой проницательности - осознать, что, тем не менее, этот подход обеспечивает канонические решения вблизи сингулярностей и, следовательно, может быть с пользой использован для определения расширенных данных монодромии. Это происходит из - за теоремы Джорджа Биркгофом в которой говорится , что при такой формальный ряд, существует единственный сходящийся функция G я такая , что в какой - либо конкретной достаточно большой сектор вокруг полюса, G я является асимптотическим к г я , и
является истинным решением дифференциального уравнения. Таким образом, каноническое решение появляется в каждом таком секторе около каждого полюса. Расширенные данные монодромии состоят из
- данные из представления монодромии как для фуксова случая;
- Матрицы Стокса, связывающие канонические решения между соседними секторами на одном полюсе;
- матрицы связи, связывающие канонические решения между секторами на разных полюсах.
Общие изомонодромные деформации
Как и раньше, теперь рассматриваются семейства систем линейных дифференциальных уравнений с одинаковой структурой особенностей. Таким образом, можно разрешить матрицызависеть от параметров. Можно изменять положение полюсов λ i , но теперь, кроме того, можно также изменять элементы диагональных матриц которые появляются в каноническом решении около каждого полюса.
Джимбо, Мива и Уэно доказали, что если определить одну форму на «пространстве параметров деформации» с помощью
(где D обозначает внешнее дифференцирование по компонентам Только)
то деформации мероморфной линейной системы, задаваемой A , изомонодромны тогда и только тогда, когда
Это общие уравнения изомонодромии . Как и прежде, эти уравнения можно интерпретировать как плоскостность естественной связи на пространстве параметров деформации.
Характеристики
Уравнения изомонодромии обладают рядом свойств, которые оправдывают их статус нелинейных специальных функций .
Пенлеве недвижимость
Это, пожалуй, самое важное свойство решения уравнений изомонодромной деформации. Это означает, что все существенные особенности решений фиксированы, хотя положения полюсов могут перемещаться. Это было доказано Бернаром Мальгранжем для случая фуксовых систем и Тетсудзи Мива в общем случае.
В самом деле, предположим, что дано уравнение в частных производных (или их система). Затем, «обладая редукцию к уравнению изомонодромного» является более или менее эквивалентно к свойству Пенлева , и , следовательно , может быть использована в качестве теста на интегрируемость .
Превосходство
В общем случае решения уравнений изомонодромии не могут быть выражены в терминах более простых функций, таких как решения линейных дифференциальных уравнений. Однако для конкретного (точнее, приводимого) выбора расширенных данных монодромии решения могут быть выражены в терминах таких функций (или, по крайней мере, в терминах «более простых» трансцендентов изомонодромии). Изучение того, что именно означает эта трансцендентность, в значительной степени было проведено благодаря изобретению Хироши Умемуры и Бернарда Малгранжа «нелинейной дифференциальной теории Галуа » .
Есть также очень специальные решения, которые являются алгебраическими . Изучение таких алгебраических решений включает изучение топологии пространства параметров деформации (и, в частности, его группы классов отображений ); для случая простых полюсов это равносильно изучению действия групп кос . В особенно важном случае шестого уравнения Пенлеве заметный вклад внесли Борис Дубровин и Марта Маццокко , который недавно был расширен Филипом Боалхом на более широкие классы данных монодромии .
Рациональные решения часто связаны со специальными многочленами. Иногда, как в случае шестого уравнения Пенлеве, это хорошо известные ортогональные многочлены , но появляются новые классы многочленов с чрезвычайно интересным распределением нулей и свойствами чередования. Изучение таких многочленов в основном проводилось Питером Кларксоном и его сотрудниками.
Симплектическая структура
Уравнения изомонодромии можно переписать, используя гамильтоновы формулировки. Этой точки зрения активно придерживался Кадзуо Окамото в серии работ по уравнениям Пенлеве в 1980-х годах.
Их также можно рассматривать как естественное расширение симплектической структуры Атьи – Ботта на пространствах плоских связностей на римановых поверхностях в мир мероморфной геометрии - перспектива, которую преследовал Филип Боальх . В самом деле, если зафиксировать положение полюсов, можно даже получить полные гиперкэлеровы многообразия ; результат доказали Оливье Бикар и Филип Боальх .
Есть еще одно описание в терминах отображений моментов в (центральные расширения) алгебр петель - точка зрения, введенная Джоном Харнадом и распространенная на случай общей структуры сингулярностей Ником Вудхаусом . Эта последняя перспектива тесно связана с любопытным преобразованием Лапласа между уравнениями изомонодромии с разной структурой полюсов и рангом для лежащих в основе уравнений.
Твисторная структура
Уравнения изомонодромии возникают как (общие) полные размерные редукции (обобщенных) антиавтодуальных уравнений Янга – Миллса . Таким образом, с помощью преобразования Пенроуза – Уорда их можно интерпретировать в терминах голоморфных векторных расслоений на комплексных многообразиях, называемых твисторными пространствами . Это позволяет использовать мощные методы алгебраической геометрии для изучения свойств трансцендентов. Этот подход применялся Найджелом Хитчином , Лайонелом Мэйсоном и Ником Вудхаусом .
Связи Гаусса-Манина
Рассматривая данные, связанные с семействами римановых поверхностей, разветвленных по особенностям, можно рассматривать уравнения изомонодромии как неоднородные связности Гаусса – Манина . Это приводит к альтернативному описанию уравнений изомонодромии в терминах абелевых функций - подход, известный Фуксу и Пенлеве, но утраченный до повторного открытия Юрием Маниным в 1996 году.
Асимптотика
Конкретные трансценденты можно охарактеризовать их асимптотическим поведением. Изучение такого поведения восходит к ранним дням изомонодромии в работах Пьера Бутру и других.
Приложения
Их универсальность как простейших действительно нелинейных интегрируемых систем означает, что уравнения изомонодромии имеют чрезвычайно разнообразный диапазон приложений. Возможно, наибольшее практическое значение имеет теория случайных матриц . Здесь статистические свойства собственных значений больших случайных матриц описываются конкретными трансцендентами.
Первым толчком к возрождению интереса к изомонодромии в 1970-х годах стало появление трансцендентов в корреляционных функциях в бозе-газах .
Они обеспечивают производящие функции для пространств модулей двумерных топологических квантовых теорий поля и, таким образом, полезны при изучении квантовых когомологий и инвариантов Громова – Виттена .
Уравнения изомонодромные «высшего порядка» недавно были использованы для объяснения механизма и универсальности свойств формирования ударной для предела бездисперсного из Кортевега-де Фриза .
Они являются естественными редукциями уравнения Эрнста и тем самым обеспечивают решения полевых уравнений Эйнштейна общей теории относительности; они также приводят к другим (совершенно отличным) решениям уравнений Эйнштейна в терминах тета-функций .
Они возникли в недавней работе в зеркальной симметрии - как в геометрической Ленглендса программе, так и в работе на пространствах модулей условий устойчивости на производных категориях .
Обобщения
Уравнения изомонодромии обобщены для мероморфных связностей на общей римановой поверхности .
Они также могут быть легко адаптированы для принятия значений в любой группе Ли путем замены диагональных матриц максимальным тором и других подобных модификаций.
Растет область изучения дискретных версий изомонодромных уравнений.
Рекомендации
Источники
- Его, Александр Р .; Новокшенов Виктор Ю. (1986), Метод изомонодромной деформации в теории уравнений Пенлеве , Лекционные заметки по математике, 1191 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16483-8, Руководство по ремонту 0851569
- Саббах, Клод (2007), Изомонодромные деформации и многообразия Фробениуса , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7, ISBN 978-2-7598-0047-6 MR1933784