Идеальный бозе-газ - это квантово-механическая фаза вещества , аналогичная классическому идеальному газу . Он состоит из бозонов , которые имеют целое значение спина и подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна . Статистическая механика бозонов была разработана Сатьендрой Нат Бозом для фотонного газа и распространена на массивные частицы Альбертом Эйнштейном, который понял, что идеальный газ бозонов образует конденсат при достаточно низкой температуре, в отличие от классического идеального газа. Этот конденсат известен как конденсат Бозе – Эйнштейна .
Введение и примеры
Бозоны - это квантово-механические частицы, которые следуют статистике Бозе – Эйнштейна или, что эквивалентно, обладают целочисленным спином . Эти частицы можно классифицировать как элементарные: это бозон Хиггса , фотон , глюон , W / Z и гипотетический гравитон ; или составные, такие как атом водорода , атом 16 O , ядро дейтерия , мезоны и т. д. Кроме того, некоторые квазичастицы в более сложных системах также могут считаться бозонами, такими как плазмоны (кванты волн зарядовой плотности ).
Первой моделью, которая рассматривала газ с несколькими бозонами, был фотонный газ , газ фотонов, разработанный Бозе . Эта модель привела к лучшему пониманию закона Планка и излучения черного тела . Фотонный газ можно легко расширить до любого ансамбля безмассовых невзаимодействующих бозонов. Фононы газ , также известный как дебаевская модель , является примером , где нормальные моды колебаний кристаллической решетки металла, можно рассматривать в качестве эффективных безмассовых бозонов. Питер Дебай использовал модель фононного газа для объяснения поведения теплоемкости металлов при низкой температуре.
Интересный пример бозе-газа - ансамбль атомов гелия-4 . Когда система из атомов 4 He охлаждается до температуры, близкой к абсолютному нулю , возникает множество квантово-механических эффектов. Ниже 2,17 кельвина ансамбль начинает вести себя как сверхтекучая жидкость с почти нулевой вязкостью . Бозе-газ - наиболее простая количественная модель, объясняющая этот фазовый переход . В основном, когда газ бозонов охлаждается, он образует конденсат Бозе-Эйнштейна , состояние, в котором большое количество бозонов занимает самую низкую энергию, основное состояние , а квантовые эффекты макроскопически видны, как интерференция волн .
Теория конденсатов Бозе-Эйнштейна и бозе-газов может также объяснить некоторые особенности сверхпроводимости, когда носители заряда соединяются парами ( куперовские пары ) и ведут себя как бозоны. В результате сверхпроводники ведут себя так, как будто не обладают электрическим сопротивлением при низких температурах.
Эквивалентная модель для полуцелых частиц (таких как электроны или атомы гелия-3 ), которые следуют статистике Ферми – Дирака , называется ферми-газом (ансамбль невзаимодействующих фермионов ). При достаточно низкой плотности числа частиц и высокой температуре и ферми-газ, и бозе-газ ведут себя как классический идеальный газ . [1]
Макроскопический предел
Термодинамику идеального бозе-газа лучше всего рассчитать с помощью большого канонического ансамбля . Грандиозный потенциал для бозе - газа определяется по формуле:
где каждый член в сумме соответствует определенному одночастичному уровню энергии ε i ; g i - количество состояний с энергией ε i ; z - абсолютная активность (или «летучесть»), которую также можно выразить через химический потенциал μ , определив:
и β определяется как:
где k B - постоянная Больцмана, а T - температура . Все термодинамические величины могут быть получены из великого потенциала , и мы будем рассматривать все термодинамические величины являются функциями только три переменных г , р (или Т ), и V . Все частные производные берутся по одной из этих трех переменных, а две другие остаются постоянными.
Допустимый диапазон z - от отрицательной бесконечности до +1, так как любое значение за его пределами приведет к бесконечному количеству частиц в состояниях с уровнем энергии 0 (предполагается, что уровни энергии смещены, так что самый низкий уровень энергии равно 0).
Макроскопический предел, результат для неконденсированной фракции
Следуя процедуре, описанной в газе в коробке , мы можем применить приближение Томаса – Ферми, которое предполагает, что средняя энергия велика по сравнению с разностью энергий между уровнями, так что указанная выше сумма может быть заменена интегралом. Эта замена дает макроскопическую большую потенциальную функцию, что близко к :
Вырождение dg может быть выражено для многих различных ситуаций общей формулой:
где α - постоянная, E c - критическая энергия, а Γ - гамма-функция . Например, для массивного бозе-газа в ящике α = 3/2, а критическая энергия определяется как:
где Λ - тепловая длина волны , [ требуется пояснение ], а f - коэффициент вырождения ( f = 1 для простых бесспиновых бозонов). Для массивной бозе - газа в гармонической ловушке мы будем иметь α = 3 и критическая энергия определяется по формуле:
где В (г) = МОм 2 г 2 /2 представляет собой гармонический потенциал. Видно, что E c является функцией только объема.
Это интегральное выражение для большого потенциала оценивается как:
где Li s ( x ) - функция полилогарифма .
Проблема с этим приближением континуума для бозе-газа состоит в том, что основное состояние фактически игнорируется, что дает нулевое вырождение для нулевой энергии. Эта неточность становится серьезной при рассмотрении конденсата Бозе – Эйнштейна и будет рассмотрена в следующих разделах. Как будет видно, даже при низких температурах вышеупомянутый результат все еще полезен для точного описания термодинамики только неконденсированной части газа.
Ограничение количества частиц в неконденсированной фазе, критическая температура
Общее количество частиц находится из большого потенциала по формуле
Он монотонно возрастает с увеличением z (до максимального значения z = +1). Однако поведение при приближении к z = 1 в значительной степени зависит от значения α (т. Е. Зависит от того, является ли газ 1D, 2D, 3D, находится ли он в плоской или гармонической потенциальной яме).
При α > 1 количество частиц увеличивается только до конечного максимального значения, т. Е.конечно при z = 1:
где ζ ( α ) - дзета-функция Римана (используя Li α ( 1 ) = ζ ( α )). Таким образом, для фиксированного числа частиц, максимально возможное значение, которое может иметь β , является критическим значением β c . Это соответствует критической температуре T c = 1 / k B β c , ниже которой приближение Томаса – Ферми не работает (континуум состояний просто больше не может поддерживать такое количество частиц при более низких температурах). Приведенное выше уравнение может быть решено для критической температуры:
Например, для трехмерного бозе-газа в коробке ( и используя указанное выше значение ) мы получили:
При α ≤ 1 нет верхнего предела на количество частиц (расходится по мере приближения z к 1), и, таким образом, например, для газа в одномерном или двумерном ящике ( а также соответственно) критической температуры нет.
Включение основного состояния
Приведенная выше проблема поднимает вопрос при α > 1: если бозе-газ с фиксированным числом частиц опускается ниже критической температуры, что происходит? Проблема здесь в том, что приближение Томаса – Ферми установило вырождение основного состояния равным нулю, что неверно. Нет основного состояния, которое могло бы принять конденсат, и поэтому частицы просто «исчезают» из континуума состояний. Оказывается, однако, что макроскопическое уравнение дает точную оценку количества частиц в возбужденных состояниях, и это неплохое приближение, чтобы просто «привязать» член основного состояния, чтобы принять частицы, которые выпадают из континуум:
где N 0 - количество частиц в конденсате основного состояния.
Таким образом, в макроскопическом пределе, когда T < T c , значение z привязано к 1, а N 0 занимает остаток частиц. При T > T c наблюдается нормальное поведение, при N 0 = 0. Этот подход дает долю конденсированных частиц в макроскопическом пределе:
Примерное поведение в малых бозе-газах
Для меньших, мезоскопических систем (например, только с тысячами частиц) член основного состояния может быть более явно аппроксимирован добавлением фактического дискретного уровня с энергией ε = 0 в большой потенциал:
что дает вместо . Теперь поведение плавное при пересечении критической температуры, и z очень близко приближается к 1, но не достигает ее.
Теперь это можно решить вплоть до абсолютного нуля температуры. На рис. 1 показаны результаты решения этого уравнения для α = 3/2, где k = ε c = 1, что соответствует газу бозонов в ящике . Сплошная черная линия - это доля возбужденных состояний 1-N 0 / N для N = 10 000, а пунктирная черная линия - решение для N = 1000. Синие линии представляют собой долю конденсированных частиц N 0 / N. Красные линии показывают отрицательные значения химического потенциала μ, а зеленые линии - соответствующие значения z . По горизонтальной оси отложена нормализованная температура τ, определяемая как
Видно, что каждый из этих параметров становится линейным по τ α в пределе низкой температуры и, за исключением химического потенциала, линейным по 1 / τ α в пределе высокой температуры. По мере увеличения числа частиц конденсированная и возбужденная фракции стремятся к разрыву при критической температуре.
Уравнение для числа частиц можно записать в терминах нормированной температуры как:
Для заданных N и τ это уравнение может быть решено относительно τ α, а затем решение ряда для z может быть найдено методом обращения ряда , либо по степеням τ α, либо как асимптотическое разложение по обратным степеням τ α . Из этих разложений мы можем найти поведение газа вблизи T = 0 и в газе Максвелла – Больцмана, когда T стремится к бесконечности. В частности, нас интересует предел, когда N стремится к бесконечности, который легко определяется из этих разложений.
Однако такой подход к моделированию малых систем может быть нереалистичным, поскольку разброс числа частиц в основном состоянии очень велик, равный числу частиц. Напротив, дисперсия числа частиц в нормальном газе - это всего лишь квадратный корень из числа частиц, поэтому обычно им можно пренебречь. Эта высокая дисперсия обусловлена выбором использования большого канонического ансамбля для всей системы, включая состояние конденсата. [2]
Термодинамика малых газов
В развернутом виде огромный потенциал:
Все термодинамические свойства могут быть вычислены из этого потенциала. В следующей таблице перечислены различные термодинамические величины, рассчитанные в пределах низких и высоких температур, а также в пределах бесконечного числа частиц. Знак равенства (=) указывает на точный результат, а символ приближения указывает, что только первые несколько членов ряда в Показано.
Количество | Общий | ||
---|---|---|---|
Паровая фракция | |||
Уравнение состояния | |||
Свободная энергия Гиббса |
Видно, что все величины приближаются к значениям для классического идеального газа в пределе больших температур. Приведенные выше значения можно использовать для расчета других термодинамических величин. Например, соотношение между внутренней энергией и произведением давления на объем такое же, как для классического идеального газа при всех температурах:
Аналогичная ситуация имеет место для теплоемкости при постоянном объеме
Энтропия определяется по формуле:
Обратите внимание, что в пределе высокой температуры мы имеем
которое при α = 3/2 является просто переформулировкой уравнения Сакура – Тетрода . В одномерном случае бозоны с дельта-взаимодействием ведут себя как фермионы, они подчиняются принципу запрета Паули . В одномерном бозе-газе с дельта-взаимодействием можно точно решить анзац Бете . Объемная свободная энергия и термодинамические потенциалы были рассчитаны Чен-Нинг Янгом . В одномерном случае также оценивались корреляционные функции. [3] В одномерном случае бозе-газ эквивалентен квантовому нелинейному уравнению Шредингера .
Рекомендации
- ^ Schwabl, Franz (2013-03-09). Статистическая механика . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04702-6.
- ^ Маллин, WJ; Фернандес, JP (2003). «Конденсация Бозе – Эйнштейна, флуктуации и рекуррентные соотношения в статистической механике». Американский журнал физики . 71 (7): 661–669. arXiv : cond-mat / 0211115 . Bibcode : 2003AmJPh..71..661M . DOI : 10.1119 / 1.1544520 . ISSN 0002-9505 . S2CID 949741 .
- ^ Корепин, В.Е .; Боголюбов НМ; Изергин, АГ (1997-03-06). Квантовый метод обратной задачи рассеяния и корреляционные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521586467.
Общие ссылки
- Хуанг, Керсон (1967). Статистическая механика . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья.
- Исихара, А. (1971). Статистическая физика . Нью-Йорк: Academic Press.
- Ландау, ЛД; Е.М. Лифшиц (1996). Статистическая физика, 3-е издание, часть 1 . Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн.
- Петик, CJ; Х. Смит (2004). Конденсация Бозе – Эйнштейна в разбавленных газах . Кембридж: Издательство Кембриджского университета.
- Ян, Цзыцзюнь (2000). «Общая длина тепловых волн и ее приложения» (PDF) . Евро. J. Phys . 21 (6): 625–631. Bibcode : 2000EJPh ... 21..625Y . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 21/6/314 .