Число Якобсталя

В математике числа Якобсталя представляют собой целочисленную последовательность, названную в честь немецкого математика Эрнста Якобсталя . Как и соответствующие числа Фибоначчи , они представляют собой особый тип последовательности Люка, для которой P  = 1 и Q  = −2 ^[1] - и определяются аналогичным рекуррентным соотношением : проще говоря, последовательность начинается с 0 и 1, затем каждое следующее число находится путем добавления числа перед ним к удвоенному числу перед ним. Первые числа Якобсталя:${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$

0 , 1 , 1, 3 , 5 , 11 , 21 , 43 , 85 , 171 , 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… (последовательность A001045 в OEIS )

Числа Якобсталя [ править ]

Числа Якобсталя определяются рекуррентным соотношением:

${\displaystyle J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

Следующее число Якобсталя также дается формулой рекурсии:

${\displaystyle J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}\,,}$

или по:

${\displaystyle J_{n+1}=2^{n}-J_{n}.\,}$

Первая формула рекурсии выше также удовлетворяется степенями 2.

Число Якобсталя в определенной точке последовательности может быть вычислено непосредственно с использованием уравнения в закрытой форме: ^[2]

${\displaystyle J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.}$

Производящая функция для чисел Якобсталя является

${\displaystyle {\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.}$

Сумма обратных чисел Якобсталя составляет приблизительно 2,7186, что немного больше, чем e .

Числа Якобсталя могут быть расширены до отрицательных индексов с помощью рекуррентного соотношения или явной формулы, что дает

${\displaystyle J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}}$(см. OEIS :  A077925 )

Имеет место следующее тождество

${\displaystyle 2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}}$(см. OEIS :  A139818 )

Числа Якобсталя-Лукаса [ править ]

Числа Якобсталя-Лукаса представляют дополнительную последовательность Лукаса . Они удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и числа Якобсталя, но имеют разные начальные значения: ${\displaystyle V_{n}(1,-2)}$

${\displaystyle j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}}$

Следующее число Якобстала-Лукаса также удовлетворяет: ^[3]

${\displaystyle j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,}$

Число Якобсталя-Лукаса в определенной точке последовательности может быть вычислено непосредственно с использованием уравнения в замкнутой форме: ^[3]

${\displaystyle j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,}$

Первые числа Якобсталя-Лукаса:

2 , 1 , 5 , 7 , 17 , 31 , 65 , 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537 , 131071, 262145, 524287, 1048577,… (последовательность A014551 в OEIS ) .

Якобстальские продолговатые числа [ править ]

Первые продолговатые числа Якобсталя: 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311,… (последовательность A084175 в OEIS )

${\displaystyle Jo_{n}=J_{n}J_{n+1}}$

Ссылки [ править ]