Желе

Джеллий , также известный как однородный электронный газ ( UEG ) или гомогенный электронный газ ( HEG ), представляет собой квантово-механическую модель взаимодействующих электронов в твердом теле, где положительные заряды (т.е. атомные ядра), как предполагается, равномерно распределены в пространстве; плотность электронов является равномерным количеством, а в пространстве. Эта модель позволяет сосредоточить внимание на эффектах в твердых телах, которые возникают из-за квантовой природы электронов и их взаимных отталкивающих взаимодействий (из-за одинакового заряда) без явного введения атомной решетки и структуры, составляющих реальный материал. Джеллиум часто используют вфизика твердого тела как простая модель делокализованных электронов в металле, где она может качественно воспроизводить особенности реальных металлов, такие как экранирование , плазмоны , кристаллизация Вигнера и осцилляции Фриделя .

При нулевой температуре свойства желе зависят исключительно от постоянной электронной плотности . Это позволяет рассматривать его в рамках теории функционала плотности ; сам формализм лежит в основе приближения локальной плотности к обменно-корреляционному функционалу плотности энергии.

Термин « желе» был придуман Коньерсом Херрингом , имея в виду «позитивный желеобразный» фон и типичное металлическое поведение, которое он демонстрирует. ^[1]

Гамильтониан [ править ]

Модель желе строго рассматривает электрон-электронное взаимодействие. Искусственный бесструктурный фоновый заряд электростатически взаимодействует с самим собой и электронами. Гамильтониан желе для N электронов, заключенных в объеме пространства Ω, с электронной плотностью ρ ( r ) и (постоянной) плотностью фонового заряда n ( R ) = N / Ω равен ^[2]^[3]

{\hat {H}}={\hat {H}}_{\mathrm {el} }+{\hat {H}}_{\mathrm {back} }+{\hat {H}}_{\mathrm {el-back} },\,

куда

H _el - электронный гамильтониан, состоящий из членов кинетического и электрон-электронного отталкивания:

{\hat {H}}_{\mathrm {el} }=\sum _{i=1}^{N}{\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+\sum _{i<j}^{N}{\frac {e^{2}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}

H _back - это гамильтониан положительного фонового заряда, электростатически взаимодействующего с самим собой:

{\hat {H}}_{\mathrm {back} }={\frac {e^{2}}{2}}\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} '\ {\frac {n(\mathbf {R} )n(\mathbf {R} ')}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}={\frac {e^{2}}{2}}\left({\frac {N}{\Omega }}\right)^{2}\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} '\ {\frac {1}{|\mathbf {R} -\mathbf {R} '|}}

H _el-back - это гамильтониан взаимодействия электронов с фоном, опять же электростатическое взаимодействие:

{\hat {H}}_{\mathrm {el-back} }=\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {r} \int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \ {\frac {\rho (\mathbf {r} )n(\mathbf {R} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}=-e^{2}{\frac {N}{\Omega }}\sum _{i=1}^{N}\int _{\Omega }\mathrm {d} \mathbf {R} \ {\frac {1}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} |}}

H _back является константой и в пределе бесконечного объема расходится вместе с H _el-back . Расхождение компенсируется членом от электрон-электронного взаимодействия: фоновые взаимодействия сокращаются, и в системе доминируют кинетическая энергия и взаимодействие электронов. Такой анализ проводится в пространстве Фурье; оставшиеся члены взаимодействия гамильтониана соответствуют разложению Фурье электронной связи, для которого q ≠ 0 .

Вклады в общую энергию [ править ]

Традиционный способ изучения электронного газа - начать с невзаимодействующих электронов, которые регулируются только кинетической энергетической частью гамильтониана, также называемой ферми-газом . Кинетическая энергия на электрон определяется выражением

KE={\frac {3}{5}}E_{F}={\frac {3}{5}}{\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m_{e}}}={\frac {3}{5}}{\biggl (}{\frac {9\pi }{4}}{\biggr )}^{\frac {2}{3}}{\frac {1}{(r_{s}/a_{0})^{2}}}{\textrm {Ry}}\approx {\frac {2.21}{(r_{s}/a_{0})^{2}}}{\textrm {Ry}}

где - энергия Ферми, - волновой вектор Ферми, а последнее выражение показывает зависимость от радиуса Вигнера – Зейтца, где энергия измеряется в ридбергах . $E_{F}$ $k_{F}$ $r_{s}$

Не проделывая большой работы, можно предположить, что электрон-электронные взаимодействия будут масштабироваться как инверсия среднего межэлектронного расстояния и, следовательно, как (поскольку кулоновское взаимодействие происходит как единичное на расстоянии между зарядами), так что если мы будем рассматривать взаимодействия как небольшая поправка к кинетической энергии, мы описываем предел малой (то есть больше чем ) и, следовательно, высокой плотности электронов. К сожалению, у реальных металлов обычно от 2 до 5, что означает, что эту картину нужно серьезно пересмотреть. $1/r_{12}$ $r_{s}$ $1/r_{s}^{2}$ $1/r_{s}$ $r_{s}$

Первая поправка к модели свободных электронов для гелия связана с фоковским обменным вкладом в электрон-электронные взаимодействия. Добавив это, мы получим общую энергию

E={\frac {2.21}{r_{s}^{2}}}-{\frac {0.916}{r_{s}}}

где отрицательный член обусловлен обменом: обменные взаимодействия понижают полную энергию. Поправки более высокого порядка к полной энергии обусловлены корреляцией электронов, и если кто-то решит работать в серии для малых , он найдет $r_{s}$

E={\frac {2.21}{r_{s}^{2}}}-{\frac {0.916}{r_{s}}}+0.0622\ln(r_{s})-0.096+O(r_{s})

Этот ряд довольно точен для небольших, но сомнительной ценности для реальных металлов. $r_{s}$ $r_{s}$

Для всего диапазона плотность корреляционной энергии Чачиё может использоваться в качестве поправки более высокого порядка. В этом случае, $r_{s}$

E={\frac {2.21}{r_{s}^{2}}}-{\frac {0.916}{r_{s}}}+a\ln \left(1+{\frac {b}{r_{s}}}+{\frac {b}{r_{s}^{2}}}\right)

, ^[4], что достаточно хорошо (порядка миллихартри) согласуется с квантовым моделированием Монте-Карло.

Фазовая диаграмма желе при нулевой температуре в трех и двух измерениях [ править ]

Физика фазового поведения желе при нулевой температуре обусловлена конкуренцией между кинетической энергией электронов и энергией электрон-электронного взаимодействия. Оператор кинетической энергии в гамильтониане масштабируется как , где - радиус Вигнера – Зейтца , а оператор энергии взаимодействия масштабируется как . Следовательно, кинетическая энергия преобладает при высокой плотности (малая ), а энергия взаимодействия преобладает при низкой плотности (большая ). $1/r_{s}^{2}$ $r_{s}$ $1/r_{s}$ $r_{s}$ $r_{s}$

Предел высокой плотности - это то место, где желе больше всего напоминает невзаимодействующий свободный электронный газ . Чтобы минимизировать кинетическую энергию, одноэлектронные состояния делокализованы в состоянии, очень близком к детерминанту Слейтера (невзаимодействующее состояние), построенному из плоских волн. Здесь состояния плоской волны с наименьшим импульсом дважды заняты электронами со спином вверх и со спином вниз, образуя парамагнитную ферми-жидкость.

При более низких плотностях, когда энергия взаимодействия более важна, для электронного газа энергетически выгодно поляризоваться по спину (т. Е. Иметь дисбаланс в количестве электронов со вращением вверх и вниз), что приводит к ферромагнитному ферми-излучению. жидкость. Это явление известно как странствующий ферромагнетизм . При достаточно низкой плотности потери кинетической энергии, возникающие из-за необходимости занимать состояния плоских волн с более высоким импульсом, более чем компенсируются уменьшением энергии взаимодействия из-за того, что эффекты обмена удерживают неразличимые электроны друг от друга.

Дальнейшее снижение энергии взаимодействия (за счет кинетической энергии) может быть достигнуто за счет локализации электронных орбиталей. В результате желе при нулевой температуре и достаточно низкой плотности образует так называемый кристалл Вигнера , в котором одночастичные орбитали имеют приблизительно гауссову форму с центрами в узлах кристаллической решетки. После того, как кристалл Вигнера сформирован, в принципе могут происходить дополнительные фазовые переходы между различными кристаллическими структурами и между различными магнитными состояниями кристаллов Вигнера (например, из антиферромагнитных в ферромагнитные спиновые конфигурации) по мере снижения плотности. Когда происходит вигнеровская кристаллизация, гелий приобретает запрещенную зону .

В рамках теории Хартри – Фока ферромагнитная жидкость внезапно становится более стабильной, чем парамагнитная жидкость при параметре плотности в трех измерениях (3D) и в двух измерениях (2D). ^[5] Однако, согласно теории Хартри-Фока, кристаллизация Вигнера происходит в 3D и в 2D, так что гелий должен кристаллизоваться до того, как возникнет странствующий ферромагнетизм. ^[6] Кроме того, теория Хартри-Фока предсказывает экзотическое магнитное поведение, при котором парамагнитная жидкость нестабильна по отношению к образованию спиральной волны спиновой плотности. ^[7]^[8] $r_{s}=5.45$ $2.01$ $r_{s}=4.5$ $1.44$ К сожалению, теория Хартри-Фока не включает никакого описания корреляционных эффектов, которые вообще энергетически важны, кроме очень высоких плотностей, и поэтому требуется более точный уровень теории, чтобы делать количественные заключения о фазовой диаграмме желе.

Методы квантового Монте-Карло (КМК), которые обеспечивают явную трактовку эффектов электронной корреляции, по общему мнению, обеспечивают наиболее точный количественный подход для определения фазовой диаграммы желе при нулевой температуре. Первым применением диффузионного метода Монте-Карло был знаменитый расчет Сеперли и Олдером в 1980 году фазовой диаграммы трехмерного желе при нулевой температуре. ^[9] Они рассчитали, что переход парамагнитно-ферромагнитной жидкости должен происходить при, а кристаллизация Вигнера (в объемно-центрированный кубический кристалл) должна происходить при . Последующие расчеты QMC ^[10]^[11] $r_{s}=75(5)$ $r_{s}=100(20)$ уточнили свою фазовую диаграмму: существует переход второго рода от состояния парамагнитной жидкости к частично поляризованной по спину жидкости от до примерно ; и кристаллизация Вигнера происходит при . $r_{s}=50(2)$ $100$ $r_{s}=106(1)$

В 2D расчеты QMC показывают, что переход парамагнитной жидкости в ферромагнитную жидкость и кристаллизация Вигнера происходят при одинаковых параметрах плотности в диапазоне . ^[12]^[13] Последние расчеты QMC показывают, что у ферромагнитной жидкости нет области стабильности. ^[14] Вместо этого происходит переход от парамагнитной жидкости к гексагональному кристаллу Вигнера при . Возможно, существует небольшая область стабильности (фрустрированного) антиферромагнитного кристалла Вигнера перед дальнейшим переходом к ферромагнитному кристаллу. Кристаллизационный переход в 2D не относится к первому порядку, поэтому должна быть непрерывная серия переходов от жидкости к кристаллу, возможно, с участием полосатых фаз кристалл / жидкость. ^[15] $30<r_{s}<40$ $r_{s}=31(1)$ Экспериментальные результаты для двумерного дырочного газа в гетероструктуре GaAs / AlGaAs (которая, несмотря на свою чистоту, может не соответствовать в точности идеализированной модели желе), указывают на плотность кристаллизации Вигнера, равную . ^[16] $r_{s}=35.1(9)$

Приложения [ править ]

Джеллий - простейшая модель взаимодействующих электронов. Он используется при расчете свойств металлов, где остовные электроны и ядра моделируются как однородный положительный фон, а валентные электроны рассматриваются с полной строгостью. Полубесконечные плиты из желе используются для исследования свойств поверхности, таких как работа выхода и поверхностные эффекты, такие как адсорбция ; вблизи поверхностей электронная плотность колеблется, уменьшаясь до постоянного значения в объеме. ^[17]^[18]^[19]

В рамках теории функционала плотности желе используется при построении приближения локальной плотности , которое, в свою очередь, является компонентом более сложных функционалов обменно-корреляционной энергии. Из квантовых расчетов желе с помощью метода Монте-Карло были получены точные значения плотности корреляционной энергии для нескольких значений электронной плотности ^[9], которые использовались для построения полуэмпирических корреляционных функционалов. ^[20]

Модель желе применялась к суператомам и использовалась в ядерной физике .

См. Также [ править ]

Модель свободного электрона - это модельный электронный газ, в котором электроны ни с чем не взаимодействуют.
Модель почти свободного электрона - модельный электронный газ, в котором электроны не взаимодействуют друг с другом, но чувствуют (слабый) потенциал атомной решетки.

Ссылки [ править ]

^ Hughes, RIG (2006). "Теоретическая практика: квартет Бома-Пайнса" (PDF) . Перспективы науки . 14 (4): 457–524. DOI : 10,1162 / posc.2006.14.4.457 . S2CID 57569991 .
^ Гросс, ЭКУ; Runge, E .; Хейнонен, О. (1991). Теория многих частиц . Бристоль: Verlag Adam Hilger. С. 79–80. ISBN 978-0-7503-0155-8.
^ Джулиани, Габриэле; Vignale; Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости . Издательство Кембриджского университета. С. 13–16 . ISBN 978-0-521-82112-4.
^ Teepanis Chachiyo (2016). «Простая и точная однородная корреляционная энергия электронного газа для всего диапазона плотностей» . J. Chem. Phys . 145 (2): 021101. Bibcode : 2016JChPh.145b1101C . DOI : 10.1063 / 1.4958669 . PMID 27421388 .
^ Джулиани, Габриэле; Vignale; Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-82112-4.
^ JR Trail; MD Towler; Потребности Р.Дж. (2003). "Неограниченная теория Хартри-Фока кристаллов Вигнера". Phys. Rev. B . 68 (4): 045107. arXiv : 0909.5498 . Bibcode : 2003PhRvB..68d5107T . DOI : 10.1103 / PhysRevB.68.045107 . S2CID 8932393 .
↑ AW Overhauser (1960). «Гигантские волны спиновой плотности». Phys. Rev. Lett . 4 (9): 462–465. Полномочный код : 1960PhRvL ... 4..462O . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.4.462 .
↑ AW Overhauser (1962). «Волны спиновой плотности в электронном газе». Phys. Ред . 128 (3): 1437–1452. Bibcode : 1962PhRv..128.1437O . DOI : 10.1103 / PhysRev.128.1437 .
^ a b Д. М. Сеперли; Б. Дж. Алдер (1980). «Основное состояние электронного газа стохастическим методом» . Phys. Rev. Lett. (Представлена рукопись). 45 (7): 566–569. Bibcode : 1980PhRvL..45..566C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.566 .
^ FH Zong; C. Lin; Д.М. Сеперли (2002). «Спиновая поляризация трехмерного электронного газа низкой плотности». Phys. Rev. E . 66 (3): 1–7. arXiv : cond-mat / 0205339 . Bibcode : 2002PhRvE..66c6703Z . DOI : 10.1103 / PhysRevE.66.036703 . PMID 12366294 . S2CID 11606173 .
^ Н.Д. Драммонд; З. Раднаи; JR Trail; MD Towler; Потребности Р.Дж. (2004). «Диффузионное квантовое исследование трехмерных кристаллов Вигнера методом Монте-Карло». Phys. Rev. B . 69 (8): 085116. arXiv : 0801.0377 . Bibcode : 2004PhRvB..69h5116D . DOI : 10.1103 / PhysRevB.69.085116 . S2CID 18176116 .
^ Б. Танатар; Д.М. Сеперли (1989). «Основное состояние двумерного электронного газа». Phys. Rev. B . 39 (8): 5005–5016. Bibcode : 1989PhRvB..39.5005T . DOI : 10.1103 / PhysRevB.39.5005 . PMID 9948889 .
^ Ф. Раписарда; Г. Сенаторе (1996). "Исследование электронов в двумерных слоях диффузионным методом Монте-Карло" . Aust. J. Phys . 49 : 161. Bibcode : 1996AuJPh..49..161R . DOI : 10,1071 / PH960161 .
^ Н.Д. Драммонд; Потребности Р.Дж. (2009). "Фазовая диаграмма двумерного однородного электронного газа низкой плотности". Phys. Rev. Lett . 102 (12): 126402. arXiv : 1002.2101 . Bibcode : 2009PhRvL.102l6402D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.126402 . PMID 19392300 . S2CID 35125378 .
^ Б. Спивак; С.А. Кивельсон (2004). «Промежуточные фазы между двумерной электронной жидкостью и кристаллом Вигнера». Phys. Rev. B . 70 (15): 155114. Bibcode : 2004PhRvB..70o5114S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.70.155114 .
^ Дж. Юн; CC Li; Д. Шахар; DC Tsui; М. Шаеган (1999). "Вигнеровская кристаллизация и переход металл-диэлектрик двумерных дырок в GaAs при ". Phys. Rev. Lett . 82 (8): 1744. arXiv : cond-mat / 9807235 . Bibcode : 1999PhRvL..82.1744Y . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.82.1744 . S2CID 119371913 . $B=0$
Перейти ↑ Lang, ND (1969). «Самосогласованные свойства распределения электронов на поверхности металла». Твердотельный Commun . 7 (15): 1047–1050. Bibcode : 1969SSCom ... 7.1047L . DOI : 10.1016 / 0038-1098 (69) 90467-0 .
^ Ланг, Северная Дакота; Кон, В. (1970). «Теория металлических поверхностей: работа выхода». Phys. Rev. B . 3 (4): 1215–223. Bibcode : 1971PhRvB ... 3.1215L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.3.1215 .
^ Ланг, Северная Дакота; Кон, В. (1973). «Поверхностно-дипольные барьеры в простых металлах». Phys. Rev. B . 8 (12): 6010–6012. Bibcode : 1973PhRvB ... 8.6010L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.8.6010 .
^ Пердью, JP; Макмаллен, ER; Зунгер, Алекс (1981). «Плотно-функциональная теория корреляционной энергии в атомах и ионах: простая аналитическая модель и проблема». Phys. Rev. A . 23 (6): 2785–2789. Bibcode : 1981PhRvA..23.2785P . DOI : 10.1103 / PhysRevA.23.2785 .

[1] Hughes, RIG (2006). "Теоретическая практика: квартет Бома-Пайнса" (PDF) . Перспективы науки . 14 (4): 457–524. DOI : 10,1162 / posc.2006.14.4.457 . S2CID 57569991 .

[2] Гросс, ЭКУ; Runge, E .; Хейнонен, О. (1991). Теория многих частиц . Бристоль: Verlag Adam Hilger. С. 79–80. ISBN 978-0-7503-0155-8.

[3] Джулиани, Габриэле; Vignale; Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости . Издательство Кембриджского университета. С. 13–16 . ISBN 978-0-521-82112-4.

[4] Teepanis Chachiyo (2016). «Простая и точная однородная корреляционная энергия электронного газа для всего диапазона плотностей» . J. Chem. Phys . 145 (2): 021101. Bibcode : 2016JChPh.145b1101C . DOI : 10.1063 / 1.4958669 . PMID 27421388 .

[5] Джулиани, Габриэле; Vignale; Джованни (2005). Квантовая теория электронной жидкости . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-82112-4.

[6] JR Trail; MD Towler; Потребности Р.Дж. (2003). "Неограниченная теория Хартри-Фока кристаллов Вигнера". Phys. Rev. B . 68 (4): 045107. arXiv : 0909.5498 . Bibcode : 2003PhRvB..68d5107T . DOI : 10.1103 / PhysRevB.68.045107 . S2CID 8932393 .

[7] AW Overhauser (1960). «Гигантские волны спиновой плотности». Phys. Rev. Lett . 4 (9): 462–465. Полномочный код : 1960PhRvL ... 4..462O . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.4.462 .

[8] AW Overhauser (1962). «Волны спиновой плотности в электронном газе». Phys. Ред . 128 (3): 1437–1452. Bibcode : 1962PhRv..128.1437O . DOI : 10.1103 / PhysRev.128.1437 .

[Ceperley-9] Д. М. Сеперли; Б. Дж. Алдер (1980). «Основное состояние электронного газа стохастическим методом» . Phys. Rev. Lett. (Представлена рукопись). 45 (7): 566–569. Bibcode : 1980PhRvL..45..566C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.566 .

[10] FH Zong; C. Lin; Д.М. Сеперли (2002). «Спиновая поляризация трехмерного электронного газа низкой плотности». Phys. Rev. E . 66 (3): 1–7. arXiv : cond-mat / 0205339 . Bibcode : 2002PhRvE..66c6703Z . DOI : 10.1103 / PhysRevE.66.036703 . PMID 12366294 . S2CID 11606173 .

[11] Н.Д. Драммонд; З. Раднаи; JR Trail; MD Towler; Потребности Р.Дж. (2004). «Диффузионное квантовое исследование трехмерных кристаллов Вигнера методом Монте-Карло». Phys. Rev. B . 69 (8): 085116. arXiv : 0801.0377 . Bibcode : 2004PhRvB..69h5116D . DOI : 10.1103 / PhysRevB.69.085116 . S2CID 18176116 .

[12] Б. Танатар; Д.М. Сеперли (1989). «Основное состояние двумерного электронного газа». Phys. Rev. B . 39 (8): 5005–5016. Bibcode : 1989PhRvB..39.5005T . DOI : 10.1103 / PhysRevB.39.5005 . PMID 9948889 .

[13] Ф. Раписарда; Г. Сенаторе (1996). "Исследование электронов в двумерных слоях диффузионным методом Монте-Карло" . Aust. J. Phys . 49 : 161. Bibcode : 1996AuJPh..49..161R . DOI : 10,1071 / PH960161 .

[14] Н.Д. Драммонд; Потребности Р.Дж. (2009). "Фазовая диаграмма двумерного однородного электронного газа низкой плотности". Phys. Rev. Lett . 102 (12): 126402. arXiv : 1002.2101 . Bibcode : 2009PhRvL.102l6402D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.126402 . PMID 19392300 . S2CID 35125378 .

[15] Б. Спивак; С.А. Кивельсон (2004). «Промежуточные фазы между двумерной электронной жидкостью и кристаллом Вигнера». Phys. Rev. B . 70 (15): 155114. Bibcode : 2004PhRvB..70o5114S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.70.155114 .

[16] Дж. Юн; CC Li; Д. Шахар; DC Tsui; М. Шаеган (1999). "Вигнеровская кристаллизация и переход металл-диэлектрик двумерных дырок в GaAs при ". Phys. Rev. Lett . 82 (8): 1744. arXiv : cond-mat / 9807235 . Bibcode : 1999PhRvL..82.1744Y . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.82.1744 . S2CID 119371913 . $B=0$

[17] Перейти ↑ Lang, ND (1969). «Самосогласованные свойства распределения электронов на поверхности металла». Твердотельный Commun . 7 (15): 1047–1050. Bibcode : 1969SSCom ... 7.1047L . DOI : 10.1016 / 0038-1098 (69) 90467-0 .

[18] Ланг, Северная Дакота; Кон, В. (1970). «Теория металлических поверхностей: работа выхода». Phys. Rev. B . 3 (4): 1215–223. Bibcode : 1971PhRvB ... 3.1215L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.3.1215 .

[19] Ланг, Северная Дакота; Кон, В. (1973). «Поверхностно-дипольные барьеры в простых металлах». Phys. Rev. B . 8 (12): 6010–6012. Bibcode : 1973PhRvB ... 8.6010L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.8.6010 .

[20] Пердью, JP; Макмаллен, ER; Зунгер, Алекс (1981). «Плотно-функциональная теория корреляционной энергии в атомах и ионах: простая аналитическая модель и проблема». Phys. Rev. A . 23 (6): 2785–2789. Bibcode : 1981PhRvA..23.2785P . DOI : 10.1103 / PhysRevA.23.2785 .

[1]