В математической области теории узлов , узел Полином является узел инвариантной в виде полинома , коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного узла .
История
Первый многочлен узлов, многочлен Александера , был введен Джеймсом Уодделлом Александром II в 1923 году. Другие многочлены узлов не были обнаружены почти 60 лет спустя.
В 1960 году Джон Конвей придумал моток отношение к версии многочлена Александера обычно называют многочленом Александера-Конвея . Значение этого отношения клубков не было осознано до начала 1980-х годов, когда Воан Джонс открыл многочлен Джонса . Это привело к открытию большего количества полиномов узлов, таких как так называемый полином ХОМФЛИ .
Вскоре после открытия Джонса Луи Кауфман заметил, что полином Джонса можно вычислить с помощью статистической суммы (модель суммы состояний), которая включает полином в скобках , инвариант оснащенных узлов . Это открыло возможности для исследований, связывающих теорию узлов и статистическую механику .
В конце 1980-х годов были сделаны два связанных прорыва. Эдвард Виттен продемонстрировал, что многочлен Джонса и подобные инварианты типа Джонса имеют интерпретацию в теории Черна – Саймонса . Виктор Васильев и Михаил Гусаров начали теорию инвариантов узлов конечного типа . Коэффициенты у ранее названных многочленов, как известно, имеют конечный тип (после, возможно, подходящей «замены переменных»).
В последние годы было показано, что многочлен Александера связан с гомологиями Флоера . Градуированная эйлерова характеристика из узла Флоер гомологии в Питере Озсвата и Золтан Сабо является многочленом Александера.
Примеры
Обозначение Александера – Бриггса - это обозначение, которое просто упорядочивает узлы по их числу пересечений. Порядок записи простого узла по Александру – Бриггсу обычно гарантируется. [ требуется пояснение ] (См. Список простых узлов .)
Многочлены Александера и многочлены Conway могут не признать разницу левого трилистника и правой трилистник.
Левый узел-трилистник.
Правый узел-трилистник.
Таким образом, мы имеем ту же ситуацию, что и бабушкин узел и квадратный узел, поскольку добавление узлов вявляется произведением узлов в многочленах узлов .
Смотрите также
Специфические узловые многочлены
- Полином александра
- Скобочный полином
- Полином ХОМФЛИ
- Многочлен Джонса
- Полином Кауфмана
похожие темы
- Полиномиальный граф , аналогичный класс полиномиальных инвариантов в теории графов
- Многочлен Тутте , специальный тип графового многочлена, связанный с многочленом Джонса
- Соотношение Скейна для формального определения многочлена Александера с разработанным примером.
дальнейшее чтение
- Адамс, Колин. Книга узлов . Американское математическое общество. ISBN 0-8050-7380-9.
- Ликориш, WBR (1997). Введение в теорию узлов . Тексты для выпускников по математике . 175 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98254-X.