В физике (в частности, в электромагнетизме ) сила Лоренца (или электромагнитная сила ) представляет собой комбинацию электрической и магнитной сил на точечный заряд из-за электромагнитных полей . На частицу с зарядом q, движущуюся со скоростью v в электрическом поле E и магнитном поле B, действует сила
(в единицах СИ [1] [2] ). Он говорит, что электромагнитная сила, действующая на заряд q, представляет собой комбинацию силы, действующей в направлении электрического поля E, пропорциональной величине поля и количеству заряда, и силы, действующей под прямым углом к магнитному полю B и скорость заряда v , пропорциональная величине поля, заряда и скорости. Варианты этой базовой формулы описывают магнитную силу на проводе с током (иногда называемую силой Лапласа ), электродвижущую силу в проволочной петле, движущейся через магнитное поле (аспект закона индукции Фарадея ), и силу, действующую на движущийся провод. заряженная частица.
Историки предполагают, что закон подразумевается в статье Джеймса Клерка Максвелла , опубликованной в 1865 году. [3] Хендрик Лоренц пришел к полному выводу в 1895 году, [4] определив вклад электрической силы через несколько лет после того, как Оливер Хевисайд правильно определил вклад магнитной силы. [5]
Закон силы Лоренца как определение E и B
Во многих учебниках лечения классического электромагнетизма, сила закона Лоренца используется в качестве определения электрических и магнитных полей E и B . [6] [7] [8] Чтобы быть конкретным, сила Лоренца понимается как следующее эмпирическое утверждение:
- Электромагнитная сила F на пробном заряде в данный момент и время является определенной функцией его заряда q и скорости v , которая может быть параметризована ровно двумя векторами E и B в функциональной форме :
Это справедливо даже для частиц , приближающихся к скорости света (то есть, величина из V , | v | ≈ гр ). [9] Таким образом, два векторных поля E и B определяются во всем пространстве и времени, и они называются «электрическим полем» и «магнитным полем». Поля определены повсюду в пространстве и времени относительно того, какую силу испытательный заряд получит, независимо от того, присутствует ли заряд, испытывающий силу.
Как определение E и B , сила Лоренца является только определением в принципе, потому что реальная частица (в отличие от гипотетического «пробного заряда» бесконечно малой массы и заряда) будет генерировать свои собственные конечные поля E и B , которые изменит электромагнитную силу, которую он испытывает. [ необходимая цитата ] Кроме того, если заряд испытывает ускорение, как если бы его заставляли двигаться по изогнутой траектории, он испускает излучение, которое заставляет его терять кинетическую энергию. См., Например, тормозное излучение и синхротронный свет . Эти эффекты возникают как за счет прямого воздействия (называемого силой реакции излучения ), так и косвенного (путем воздействия на движение близлежащих зарядов и токов).
Уравнение
Заряженная частица
Сила F, действующая на частицу электрического заряда q с мгновенной скоростью v из-за внешнего электрического поля E и магнитного поля B , определяется выражением (в единицах СИ [1] ): [10]
где × - векторное векторное произведение (все величины, выделенные жирным шрифтом, являются векторами). Что касается декартовых компонентов, мы имеем:
В общем, электрическое и магнитное поля зависят от положения и времени. Следовательно, явно сила Лоренца может быть записана как:
в которой r - вектор положения заряженной частицы, t - время, а точка - производная по времени.
Положительно заряженная частица будет ускоряться в той же линейной ориентации, что и поле E , но будет изгибаться перпендикулярно как вектору мгновенной скорости v, так и полю B в соответствии с правилом правой руки (подробно, если пальцы правой руки вытянуты так, чтобы указывать в направлении v, а затем изгибаются так, чтобы указывать в направлении B , тогда вытянутый большой палец будет указывать в направлении F ).
Член q E называется электрической силой , а член q ( v × B ) - магнитной силой . [11] Согласно некоторым определениям, термин «сила Лоренца» относится конкретно к формуле для магнитной силы [12] с общей электромагнитной силой (включая электрическую силу), которой дано другое (нестандартное) название. В данной статье не будет следовать этой номенклатуре: в дальнейшем термин «сила Лоренца» будет относиться к выражению для полной силы.
Составляющая магнитной силы силы Лоренца проявляется как сила, действующая на провод с током в магнитном поле. В этом контексте это также называется силой Лапласа .
Сила Лоренца - это сила, оказываемая электромагнитным полем на заряженную частицу, то есть скорость, с которой линейный импульс передается от электромагнитного поля к частице. С ним связана мощность, которая представляет собой скорость, с которой энергия передается от электромагнитного поля к частице. Эта сила
Обратите внимание, что магнитное поле не влияет на мощность, потому что магнитная сила всегда перпендикулярна скорости частицы.
Непрерывное распределение заряда
Для непрерывного распределения заряда в движении уравнение силы Лоренца принимает следующий вид:
где сила, действующая на небольшой кусочек зарядового распределения с зарядом . Если обе части этого уравнения разделить на объем этого небольшого фрагмента распределения заряда, результат:
где - плотность силы (сила на единицу объема) и- плотность заряда (заряд на единицу объема). Далее, плотность тока, соответствующая движению зарядового континуума, равна
так что непрерывным аналогом уравнения является [13]
Полная сила - это объемный интеграл по распределению заряда:
Устраняя а также , используя уравнения Максвелла и манипулируя с помощью теорем векторного исчисления , эту форму уравнения можно использовать для вывода тензора напряжений Максвелла , в свою очередь, это можно комбинировать с вектором Пойнтинга для получения электромагнитного тензора энергии-импульса T, используемого в общей теории относительности . [13]
С точки зрения а также , другой способ записать силу Лоренца (на единицу объема) - [13]
где это скорость света и ∇ · обозначает дивергенции тензорного поля . Это уравнение связывает не количество заряда и его скорость в электрическом и магнитном полях, а поток энергии (поток энергии в единицу времени на единицу расстояния) в полях с силой, действующей на распределение заряда. Подробнее см. Ковариантную формулировку классического электромагнетизма .
Плотность мощности, связанная с силой Лоренца в материальной среде, равна
Если мы разделим полный заряд и полный ток на их свободную и связанную части, мы получим, что плотность силы Лоренца равна
где: - плотность бесплатного заряда; - плотность поляризации ;- плотность свободного тока; а также- плотность намагниченности . Таким образом, сила Лоренца может объяснить крутящий момент, приложенный к постоянному магниту магнитным полем. Плотность связанной мощности равна
Уравнение в единицах cgs
В приведенных выше формулах используются наиболее распространенные единицы СИ . В более старых cgs-гауссовых единицах , которые несколько более распространены среди некоторых физиков-теоретиков, а также среди экспериментаторов конденсированного состояния, вместо этого
где c - скорость света . Хотя это уравнение выглядит немного иначе, оно полностью эквивалентно, поскольку имеет следующие соотношения: [1]
где ε 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума, а μ 0 - проницаемость вакуума . На практике индексы «cgs» и «SI» всегда опускаются, и система единиц измерения должна оцениваться из контекста.
История
Первые попытки количественного описания электромагнитной силы были предприняты в середине 18 века. Было высказано предположение, что сила на магнитных полюсах Иоганном Тобиасом Майером и другими в 1760 году [14] и электрически заряженные объекты Генри Кавендишем в 1762 году [15] подчиняются закону обратных квадратов . Однако в обоих случаях экспериментальное доказательство не было ни полным, ни окончательным. Только в 1784 году Шарль-Огюстен де Кулон , используя торсионные весы , смог окончательно экспериментально показать, что это правда. [16] Вскоре после открытия в 1820 году Гансом Кристианом Эрстедом того факта, что на магнитную стрелку действует электрический ток, Андре-Мари Ампер в том же году смог экспериментально разработать формулу угловой зависимости силы между двумя токами. элементы. [17] [18] Во всех этих описаниях сила всегда описывалась в терминах свойств вещества и расстояний между двумя массами или зарядами, а не в терминах электрических и магнитных полей. [19]
Современная концепция электрических и магнитных полей впервые возникла в теориях Майкла Фарадея , особенно его идея силовых линий , которая позже получила полное математическое описание лордом Кельвином и Джеймсом Клерком Максвеллом . [20] С современной точки зрения, в формулировке Максвелла 1865 г. его уравнений поля можно определить форму уравнения силы Лоренца по отношению к электрическим токам, [3] хотя во времена Максвелла не было очевидно, как его уравнения связаны силам на движущиеся заряженные объекты. Дж. Дж. Томсон был первым, кто попытался вывести из уравнений Максвелла поля электромагнитные силы, действующие на движущийся заряженный объект, в терминах свойств объекта и внешних полей. Заинтересованный в определении электромагнитного поведения заряженных частиц в катодных лучах , Томсон опубликовал статью в 1881 году, в которой он дал силу, действующую на частицы, обусловленную внешним магнитным полем, как [5] [21]
Томсон вывел правильную основную форму формулы, но из-за некоторых просчетов и неполного описания тока смещения перед формулой включил неверный масштабный коэффициент, равный половине. Оливер Хевисайд изобрел современные векторные обозначения и применил их к полевым уравнениям Максвелла; он также (в 1885 и 1889 годах) исправил ошибки вывода Томсона и пришел к правильной форме магнитной силы, действующей на движущийся заряженный объект. [5] [22] [23] Наконец, в 1895 году [4] [24] Хендрик Лоренц вывел современную форму формулы для электромагнитной силы, которая включает вклады в общую силу как электрического, так и магнитного полей. Лоренц начал с отказа от максвелловских описаний эфира и проводимости. Вместо этого Лоренц проводил различие между материей и светоносным эфиром и стремился применить уравнения Максвелла в микроскопическом масштабе. Используя версию Хевисайда уравнений Максвелла для неподвижного эфира и применяя лагранжевую механику (см. Ниже), Лоренц пришел к правильной и полной форме закона силы, который теперь носит его имя. [25] [26]
Траектории частиц под действием силы Лоренца
Во многих случаях , представляющих практический интерес, движение в магнитном поле в качестве электрически заряженной частицы (например, электрона или иона в плазме ) можно рассматривать как суперпозицию сравнительно быстро круговое движение вокруг точки называется направляющий центр и а относительно медленный дрейф этой точки. Скорости дрейфа могут различаться для разных видов в зависимости от их зарядового состояния, массы или температуры, что может привести к электрическим токам или химическому разделению.
Значение силы Лоренца
В то время как современные уравнения Максвелла описывают, как электрически заряженные частицы и токи или движущиеся заряженные частицы вызывают электрические и магнитные поля, закон силы Лоренца дополняет эту картину, описывая силу, действующую на движущийся точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей. [10] [27] Закон силы Лоренца описывает влияние E и B на точечный заряд, но такие электромагнитные силы не являются всей картиной. Заряженные частицы, возможно, связаны с другими силами, особенно с гравитацией и ядерными силами. Таким образом, уравнения Максвелла не стоят отдельно от других физических законов, но связаны с ними через плотности заряда и тока. Реакция точечного заряда на закон Лоренца - это один из аспектов; генерация E и B токами и зарядами - другое.
В реальных материалах сила Лоренца неадекватна для описания коллективного поведения заряженных частиц как в принципе, так и с точки зрения вычислений. Заряженные частицы в материальной среде не только реагируют на поля E и B, но и создают эти поля. Сложные уравнения переноса должны быть решены , чтобы определить время и пространственную характеристику зарядов, например, уравнение Больцмана или уравнение Фоккера-Планка или уравнений Навье-Стокса . Например, см. Магнитогидродинамику , гидродинамику , электрогидродинамику , сверхпроводимость , звездную эволюцию . Разработан целый физический аппарат для решения этих вопросов. См., Например, отношения Грина – Кубо и функцию Грина (теория многих тел) .
Сила на токоведущем проводе
Когда провод, по которому проходит электрический ток, помещается в магнитное поле, каждый из движущихся зарядов, составляющих ток, испытывает силу Лоренца, и вместе они могут создавать макроскопическую силу на проводе (иногда называемую силой Лапласа ). Комбинируя приведенный выше закон силы Лоренца с определением электрического тока, в случае прямого неподвижного провода получается следующее уравнение: [28]
где ℓ является вектором, величина которого длина проволоки, и направление которого вдоль провода, выровнены с направлением обычного тока заряда потоком I .
Если провод не является прямой , но изогнуты, сила , действующая на нее можно вычислить, применяя эту формулу для каждого бесконечно малого отрезка проволоки д л , а затем добавить все эти силы посредством интеграции . Формально результирующая сила, действующая на неподвижный жесткий провод, по которому течет постоянный ток I, равна
Это чистая сила. Кроме того, обычно возникает крутящий момент и другие эффекты, если проволока не совсем жесткая.
Одним из применений этого является закон силы Ампера , который описывает, как два токоведущих провода могут притягиваться или отталкиваться друг от друга, поскольку каждый из них испытывает силу Лоренца от магнитного поля другого. Подробнее читайте в статье: Закон силы Ампера .
ЭДС
Компонент магнитной силы ( q v × B ) силы Лоренца отвечает за двигательную электродвижущую силу (или двигательную ЭДС ), явление, лежащее в основе многих электрических генераторов. Когда проводник перемещается через магнитное поле, магнитное поле оказывает противоположные силы на электроны и ядра в проводе, и это создает ЭДС. Термин «двигательная ЭДС» применяется к этому явлению, поскольку ЭДС возникает из-за движения провода.
В других электрических генераторах магниты движутся, а проводники - нет. В этом случае ЭДС возникает из-за члена электрической силы ( q E ) в уравнении силы Лоренца. Рассматриваемое электрическое поле создается изменяющимся магнитным полем, приводящим к индуцированной ЭДС, как описано уравнением Максвелла – Фарадея (одно из четырех современных уравнений Максвелла ). [29]
Обе эти ЭДС, несмотря на их явно различное происхождение, описываются одним и тем же уравнением, а именно ЭДС - это скорость изменения магнитного потока через провод. (Это закон индукции Фарадея, см. Ниже .) Специальная теория относительности Эйнштейна была частично мотивирована желанием лучше понять эту связь между двумя эффектами. [29] Фактически, электрическое и магнитное поля представляют собой разные грани одного и того же электромагнитного поля, и при переходе от одной инерциальной системы координат к другой, часть соленоидального векторного поля E- поля может полностью или частично измениться на B -поле или наоборот . [30]
Сила Лоренца и закон индукции Фарадея
Учитывая петлю из провода в магнитном поле , закон индукции Фарадея утверждает, что наведенная электродвижущая сила (ЭДС) в проводе равна:
где
- магнитный поток через петлю, B - магнитное поле, Σ ( t ) - поверхность, ограниченная замкнутым контуром ∂Σ ( t ), в момент времени t , d A - бесконечно малый элемент вектора площади Σ ( t ) ( величина - это площадь бесконечно малого участка поверхности, направление ортогонально этому участку поверхности).
Знак ЭДС определяется законом Ленца . Обратите внимание, что это справедливо не только для неподвижного троса, но и для движущегося троса.
Из закона индукции Фарадея (который справедлив для движущегося провода, например, в двигателе) и уравнений Максвелла можно вывести силу Лоренца. Верно и обратное: силу Лоренца и уравнения Максвелла можно использовать для вывода закона Фарадея .
Пусть Σ ( t ) - движущийся провод, движущийся вместе без вращения и с постоянной скоростью v, а Σ ( t ) - внутренняя поверхность провода. ЭДС вокруг замкнутого пути ∂Σ ( t ) определяется выражением [31]
где
- электрическое поле, а d ℓ - бесконечно малый векторный элемент контура ∂Σ ( t ).
NB: И d ℓ, и d A имеют двусмысленность знака; чтобы получить правильный знак, используется правило правой руки , как описано в статье теорема Кельвина – Стокса .
Приведенный выше результат можно сравнить с версией закона индукции Фарадея, которая появляется в современных уравнениях Максвелла, называемой здесь уравнением Максвелла – Фарадея :
Уравнение Максвелла – Фарадея также можно записать в интегральной форме с помощью теоремы Кельвина – Стокса . [32]
Итак, у нас есть уравнение Максвелла Фарадея:
и закон Фарадея,
Эти два эквивалента эквивалентны, если провод не движется. Используя интегральное правило Лейбница и div B = 0, получаем
и используя уравнение Максвелла Фарадея,
поскольку это справедливо для любого положения провода, это означает, что,
Закон индукции Фарадея выполняется независимо от того, является ли проволочная петля жесткой и неподвижной, движущейся или деформирующейся, а также независимо от того, является ли магнитное поле постоянным во времени или изменяющимся. Однако бывают случаи, когда закон Фарадея либо неадекватен, либо его трудно использовать, и необходимо применение основного закона силы Лоренца. Смотрите неприменимость закона Фарадея .
Если магнитное поле фиксировано во времени и проводящая петля движется через поле, магнитный поток Φ B, соединяющий петлю, может изменяться несколькими способами. Например, если B- поле изменяется в зависимости от положения, и петля перемещается в место с другим B- полем, Φ B изменится. В качестве альтернативы, если цикл изменяет ориентацию по отношению к B - поля, тем B ⋅ d дифференциальный элемент будет меняться из - за различного угла между B и D. A , также меняется Ф B . В качестве третьего примера, если часть схемы проходит через однородное, не зависящее от времени B- поле, а другая часть схемы остается неподвижной, магнитный поток, связывающий всю замкнутую цепь, может измениться из-за смещения относительного положения. составных частей схемы со временем (поверхность ∂Σ ( t ), зависящая от времени). Во всех трех случаях, закон индукции Фарадея затем предсказывает EMF , порожденное изменением Ф B .
Обратите внимание, что уравнение Максвелла Фарадея подразумевает, что электрическое поле E неконсервативно, когда магнитное поле B изменяется во времени, и не может быть выражено как градиент скалярного поля и не подчиняется теореме градиента, поскольку его вращение не равно нулю. [31] [33]
Сила Лоренца в терминах потенциалов
В E и B поля могут быть заменены магнитного векторного потенциала А и ( скаляр ) электростатический потенциал ф по
где ∇ - градиент, ∇⋅ - дивергенция, ∇ × - ротор .
Сила становится
Используя тождество для тройного продукта, это можно переписать как,
(Обратите внимание, что координаты и компоненты скорости следует рассматривать как независимые переменные, поэтому оператор del действует только на , не на ; таким образом, нет необходимости использовать обозначение индекса Фейнмана в приведенном выше уравнении). Используя цепное правило, полная производная от является:
так что приведенное выше выражение становится:
- .
При v = ẋ уравнение можно записать в удобную форму Эйлера – Лагранжа
где
а также
.
Сила Лоренца и аналитическая механика
Лагранжиан для заряженной частицы с массой т и зарядом д в электромагнитном поле , эквивалентно описывает динамику частицы с точкой зрения его энергии , а не сил , действующих на него. Классическое выражение дается следующим образом: [34]
где A и ϕ - потенциальные поля, как указано выше. Количествоможно рассматривать как потенциальную функцию, зависящую от скорости. [35] Используя уравнения Лагранжа, можно снова получить уравнение для силы Лоренца, приведенное выше.
Вывод силы Лоренца из классического лагранжиана (единицы СИ) Для А поле, частица движется со скоростью V = R имеет потенциал импульса , поэтому его потенциальная энергия равна . Для поля ϕ потенциальная энергия частицы равна. Тогда полная потенциальная энергия равна:
а кинетическая энергия равна:
отсюда лагранжиан:
Уравнения Лагранжа:
(то же самое для y и z ). Итак, вычисление частных производных:
приравнивая и упрощая:
и аналогично для направлений y и z . Следовательно, силовое уравнение выглядит следующим образом:
Потенциальная энергия зависит от скорости частицы, поэтому сила зависит от скорости, поэтому она не является консервативной.
Релятивистский лагранжиан имеет вид
Действие - это релятивистская длина дуги пути частицы в пространстве-времени , минус вклад потенциальной энергии, плюс дополнительный вклад, который квантово-механически является дополнительной фазой, которую получает заряженная частица, когда она движется вдоль векторного потенциала.
Вывод силы Лоренца из релятивистского лагранжиана (единицы СИ) Уравнения движения, полученные путем экстремизации действия ( обозначения см. В матричном исчислении ):
такие же, как уравнения движения Гамильтона :
оба эквивалентны неканонической форме:
Эта формула представляет собой силу Лоренца, представляющую скорость, с которой электромагнитное поле добавляет частице релятивистский импульс.
Релятивистская форма силы Лоренца.
Ковариантная форма силы Лоренца.
Тензор поля
Используя метрическую сигнатуру (1, −1, −1, −1) , сила Лоренца для заряда q может быть записана в ковариантной форме [36] :
где p α - четырехмерный импульс , определяемый как
τ собственное время частицы, F сф контравариантным электромагнитный тензор
а U - ковариантная 4-скорость частицы, определяемая как:
в котором
- фактор Лоренца .
Поля преобразуются в систему, движущуюся с постоянной относительной скоростью, с помощью:
где Λ μ α - тензор преобразования Лоренца .
Перевод в векторные обозначения
Компонента α = 1 ( x -компонента) силы равна
Подставляя компоненты ковариантного электромагнитного тензора F, получаем
Используя компоненты ковариантных четырехскоростных выходов
Расчет для α = 2 , 3 (компоненты силы в направлениях y и z ) дает аналогичные результаты, поэтому объединение 3 уравнений в одно:
и поскольку дифференциалы по координатному времени dt и собственному времени dτ связаны между собой фактором Лоренца,
так что мы приходим к
Это в точности закон силы Лоренца, однако важно отметить, что p является релятивистским выражением,
Сила Лоренца в алгебре пространства-времени (STA)
Электрическое и магнитное поля зависят от скорости наблюдателя , поэтому релятивистская форма закона силы Лоренца лучше всего может быть продемонстрирована, исходя из не зависящего от координат выражения для электромагнитного и магнитного полей., и произвольное направление времени, . Это может быть решено с помощью пространственно-временной алгебры (или геометрической алгебры пространств-времени), типа алгебры Клиффорд , определенного на псевдо-евклидово пространства , [37] , как
а также
представляет собой бивектор пространства-времени (ориентированный плоский сегмент, точно так же, как вектор является ориентированным линейным сегментом), который имеет шесть степеней свободы, соответствующих ускорениям (вращения в плоскостях пространства-времени) и вращениям (вращениям в плоскостях пространства-пространства) . Скалярное произведение с векторомвытягивает вектор (в пространственной алгебре) из трансляционной части, в то время как произведение клина создает тривектор (в пространственной алгебре), который двойственен вектору, который является обычным вектором магнитного поля. Релятивистская скорость задается (временными) изменениями вектора времени-положения., где
(что показывает наш выбор метрики), а скорость равна
Правильная (инвариант - неадекватный термин, потому что никакое преобразование не было определено) форма закона силы Лоренца просто
Обратите внимание, что порядок важен, потому что между бивектором и вектором скалярное произведение антисимметрично. При таком расщеплении пространства-времени можно получить скорость и поля, как указано выше, что дает обычное выражение.
Сила Лоренца в общей теории относительности
В общей теории относительности уравнение движения частицы с массой и зарядить , двигаясь в пространстве с метрическим тензором и электромагнитное поле , задается как
где ( берется по траектории), , а также .
Уравнение также можно записать как
где является символом Кристоффеля (метрической связности без кручения в общей теории относительности), или как
где это ковариантный дифференциал в ОТО (метрика, кручение).
Приложения
Сила Лоренца присутствует во многих устройствах, в том числе:
- Циклотроны и другие ускорители частиц с круговым движением
- Масс-спектрометры
- Фильтры скорости
- Магнетроны
- Велосиметрия с помощью силы Лоренца
В своем проявлении как сила Лапласа, действующая на электрический ток в проводнике, эта сила возникает во многих устройствах, включая:
- Электродвигатели
- Рейлганы
- Линейные двигатели
- Музыкальные колонки
- Магнитоплазмодинамические двигатели
- Электрические генераторы
- Униполярные генераторы
- Линейные генераторы
Смотрите также
- эффект Холла
- Электромагнетизм
- Гравитомагнетизм
- Закон силы Ампера
- Хендрик Лоренц
- Уравнения Максвелла
- Формулировка уравнений Максвелла в специальной теории относительности
- Проблема с подвижным магнитом и проводником
- Сила Абрахама – Лоренца
- Формула лармора
- Циклотронное излучение
- Магнитосопротивление
- Скалярный потенциал
- Разложение Гельмгольца
- Гид-центр
- Полевая линия
- Закон Кулона
- Электромагнитная плавучесть
Сноски
- ^ a b c В единицах СИ B измеряется в теслах (символ: T). В гауссовых-СГС , B измеряется в гаусс (символ: G). См., Например, «Часто задаваемые вопросы по геомагнетизму» . Национальный центр геофизических данных . Проверено 21 октября 2013 года .)
- ^ Поле H измеряется в амперах на метр (А / м) в единицах СИ и в эрстедах (Э) в сгс. «Международная система единиц (СИ)» . Ссылка NIST на константы, единицы измерения и неопределенность . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 9 мая 2012 года .
- ^ а б Хурай, Пол Г. (2010). Уравнения Максвелла . Wiley-IEEE. п. 22. ISBN 978-0-470-54276-7.
- ^ a b Пер Ф. Даль, Вспышка катодных лучей: История электрона Дж. Дж. Томсона , CRC Press, 1997, стр. 10.
- ^ a b c Пол Дж. Нахин, Оливер Хевисайд , JHU Press, 2002.
- ^ См., Например, Джексон, стр. 777–8.
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. стр. 72 -73. ISBN 0-7167-0344-0.. Эти авторы используют силу Лоренца в тензорной форме в виде Определитель с электромагнитного тензора F , в свою очередь , поля E и B .
- ^ IS Grant; WR Phillips; Манчестерская физика (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 122. ISBN 978-0-471-92712-9.
- ^ IS Grant; WR Phillips; Манчестерская физика (1990). Электромагнетизм (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 123. ISBN 978-0-471-92712-9.
- ^ a b См. Джексон, стр. 2. В книге перечислены четыре современных уравнения Максвелла, а затем говорится: «Также важным для рассмотрения движения заряженных частиц является уравнение силы Лоренца F = q ( E + v × B ), которое дает сила, действующая на точечный заряд q в присутствии электромагнитных полей ».
- ^ См. Гриффитс, стр. 204.
- ^ Например, см. Веб-сайт Института Лоренца или Гриффитса.
- ^ а б в Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику . перепечатка. с корр. (3-е изд.). Аппер-Сэдл-Ривер, Нью-Джерси [ua]: Прентис-Холл. ISBN 978-0-13-805326-0.
- ^ Делон, Мишель (2001). Энциклопедия Просвещения . Чикаго, Иллинойс: Издательство Фицрой Дирборн. п. 538. ISBN 157958246X.
- ^ Гудвин, Эллиот Х. (1965). Новый Кембридж современной истории Том 8: Американская и Французская революции, 1763–93 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 130. ISBN 9780521045469.
- ^ Мейер, Герберт В. (1972). История электричества и магнетизма . Норуолк, Коннектикут: Библиотека Бернди. С. 30–31. ISBN 0-262-13070-X.
- ^ Вершуур, Геррит Л. (1993). Скрытая достопримечательность: история и тайна магнетизма . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 78–79 . ISBN 0-19-506488-7.
- ^ Дарриголь, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. стр. 9 , 25. ISBN 0-19-850593-0.
- ^ Вершуур, Геррит Л. (1993). Скрытая достопримечательность: история и тайна магнетизма . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 76 . ISBN 0-19-506488-7.
- ^ Дарриголь, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. стр. 126 -131, 139-144. ISBN 0-19-850593-0.
- ^ Массачусетс, Дж. Дж. Томсон (1881-04-01). «XXXIII. Об электрических и магнитных эффектах, вызываемых движением наэлектризованных тел» . Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал . 11 (68): 229–249. DOI : 10.1080 / 14786448108627008 . ISSN 1941-5982 .
- ^ Дарриголь, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. С. 200 , 429–430. ISBN 0-19-850593-0.
- ^ Хевисайд, Оливер (апрель 1889 г.). «Об электромагнитных эффектах при движении электризации через диэлектрик» . Философский журнал : 324.
- ↑ Lorentz, Hendrik Antoon, Versuch einer Theorie der electrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern , 1895.
- ^ Дарриголь, Оливье (2000). Электродинамика от Ампера до Эйнштейна . Оксфорд, [Англия]: Издательство Оксфордского университета. п. 327 . ISBN 0-19-850593-0.
- ^ Уиттакер, ET (1910). История теорий эфира и электричества: от эпохи Декарта до конца девятнадцатого века . Longmans, Green and Co., стр. 420–423. ISBN 1-143-01208-9.
- ^ См. Гриффитс, стр. 326, где говорится, что уравнения Максвелла «вместе с законом сил [Лоренца] ... суммируют все теоретическое содержание классической электродинамики».
- ^ «Физические эксперименты» . www.physicsexperiment.co.uk . Проверено 14 августа 2018 .
- ^ a b См. Гриффитс, страницы 301–3.
- ^ Тай Л. Чоу (2006). Электромагнитная теория . Садбери Массачусетс: Джонс и Бартлетт. п. 395. ISBN 0-7637-3827-1.
- ^ а б Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. (1984). Электродинамика сплошных сред; Том 8 Курс теоретической физики(Второе изд.). Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. п. §63 (§49 с. 205–207 в редакции 1960 г.). ISBN 0-7506-2634-8.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Роджер Ф. Харрингтон (2003). Введение в электромагнитную технику . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. п. 56. ISBN 0-486-43241-6.
- ^ МНО Садику (2007). Элементы электромагнетизма (Четвертое изд.). Нью-Йорк / Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 391. ISBN. 978-0-19-530048-2.
- ^ Классическая механика (2-е издание), TWB Kibble, European Physics Series, McGraw Hill (Великобритания), 1973, ISBN 0-07-084018-0 .
- ^ Ланцош, Корнелиус, 1893-1974 гг. (Январь 1986 г.). Вариационные принципы механики (Четвертое изд.). Нью-Йорк. ISBN 0-486-65067-7. OCLC 12949728 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ↑ Джексон, JD Глава 11
- ^ Гестен, Дэвид . «SpaceTime Calculus» .
Рекомендации
Пронумерованные ссылки частично относятся к приведенному ниже списку.
- Фейнман, Ричард Филлипс ; Лейтон, Роберт Б .; Пески, Мэтью Л. (2006). Лекции Фейнмана по физике (3 т.) . Пирсон / Аддисон-Уэсли. ISBN 0-8053-9047-2.: том 2.
- Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Река Аппер Сэдл, [Нью-Джерси]: Прентис-Холл. ISBN 0-13-805326-X.
- Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк, [NY]: Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
- Serway, Raymond A .; Джуэтт, Джон В., младший (2004). Физика для ученых и инженеров, с современной физикой . Бельмонт, [Калифорния]: Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-40846-X.
- Средницки, Марк А. (2007). Квантовая теория поля . Кембридж, [Англия]; Нью-Йорк [Нью-Йорк]: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-86449-7.
Внешние ссылки
- Сила Лоренца (демонстрация)
- Закон Фарадея: Танкерсли и Моска
- Заметки из физики и астрономии HyperPhysics в Университете штата Джорджия ; см. также домашнюю страницу
- Интерактивный Java-апплет по магнитному отклонению пучка частиц в однородном магнитном поле Вольфганга Бауэра
- Формула силы Лоренца на стене прямо напротив дома Лоренца в центре Лейдена