Коллектор Штейна

В теории многих комплексных переменных и комплексных многообразия В математике, многообразие Штейна является комплексным подмногообразием в векторном пространстве из п комплексных измерений. Они были введены и названы в честь Карла Штейна  ( 1951 ). Пространство Штейна похоже на многообразие Штейна , но разрешено иметь особенности. Пространства Штейна являются аналогами аффинных многообразий или аффинных схем в алгебраической геометрии.

Определение [ править ]

Предположим , что это комплексное многообразие комплексной размерности и пусть обозначает кольцо голоморфных функций на Призываем с многообразием Штейна , если выполняются следующие условия:${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} (X)}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle X}$голоморфно выпукла, т. е. для любого компактного подмножества так называемая голоморфно выпуклая оболочка ,${\ Displaystyle K \ подмножество X}$

${\ displaystyle {\ bar {K}} = \ left \ {z \ in X \ left || f (z) | \ leq \ sup _ {w \ in K} | f (w) | \ \ forall f \ в {\ mathcal {O}} (X) \ right. \ right \},}$

также является компактным подмножеством .${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle X}$голоморфно отделимо, т. е. если есть две точки в , то существует такое, что${\ Displaystyle х \ neq y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} (X)}$${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Некомпактные римановы поверхности - это штейновые [ править ]

Пусть X - связная некомпактная риманова поверхность . Глубокая теорема о Heinrich Behnke и Stein (1948) утверждает , что X является многообразием Штейна.

Другой результат, приписанный Гансу Грауэрту и Гельмуту Рёрлю (1956), утверждает, что каждое голоморфное векторное расслоение на X тривиально. В частности, каждое линейное расслоение тривиально, поэтому . Последовательность экспоненциального пучка приводит к следующей точной последовательности:${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

В настоящее время теоремы B Картанен показывает , что , таким образом .${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Это связано с решением проблемы троюродных братьев .

Свойства и примеры многообразий Штейна [ править ]

• Стандартное комплексное пространство - это многообразие Штейна.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Каждая область голоморфности в является многообразием Штейна.${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Достаточно легко показать, что всякое замкнутое комплексное подмногообразие в многообразии Штейна также является многообразием Штейна.

• Теорема вложения для многообразий Штейна утверждает следующее: каждое многообразие Штейна комплексной размерности может быть вложено в него с помощью биголоморфного собственного отображения .${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Из этих фактов следует, что многообразие Штейна является замкнутым комплексным подмногообразием комплексного пространства, комплексная структура которого является структурой объемлющего пространства (поскольку вложение биголоморфно).

• Каждое многообразие Штейна (комплексной) размерности n имеет гомотопический тип n -мерного CW-комплекса.

• В одном комплексном измерении условие Штейна можно упростить: связная риманова поверхность является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда она некомпактна. Это можно доказать, используя версию теоремы Рунге для римановых поверхностей, принадлежащую Бенке и Стейну.

• Каждое многообразие Штейна голоморфно распространяемо, т. Е. Для каждой точки определены голоморфные функции, каждая из которых образует локальную систему координат при ограничении на некоторую открытую окрестность .${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$

• Многообразие Штейна эквивалентно (комплексному) сильно псевдовыпуклому многообразию . Последнее означает, что он имеет сильно псевдовыпуклую (или плюрисубгармоническую ) исчерпывающую функцию, т. Е. Гладкую вещественную функцию на (которую можно считать функцией Морса ) с , такую, что подмножества компактны для каждого действительного числа . Это решение так называемой проблемы Леви , ^[1] назван в честь EE Леви (1911). Функция предлагает обобщение многообразия Штейна до идеи соответствующего класса компактных комплексных многообразий с краем, называемого${\displaystyle \psi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \psi }$Домены Штейна . Домен Штейна - это прообраз . Поэтому некоторые авторы называют такие многообразия строго псевдовыпуклыми многообразиями.${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$

• Относящиеся к предыдущему пункту, еще один эквивалент и более топологическое определение в комплексной размерности 2 , состоит в следующем: поверхность Штейн представляет собой сложную поверхность Х с вещественной функции Морса F на X таким образом, что, вдали от критических точек F , то поле комплексных касаний к прообразу является контактной структурой , которая индуцирует ориентацию на X _с согласования с обычной ориентацией , как граница То есть, является Штейн заполнением из X _с .${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Существуют многочисленные дополнительные характеристики таких многообразий, в частности, улавливающие свойство их наличия «многих» голоморфных функций, принимающих значения в комплексных числах. См., Например , теоремы Картана A и B , касающиеся когомологий пучков . Первоначальный импульс должен был иметь описание свойств области определения (максимального) аналитического продолжения в качестве аналитической функции .

В GAGA множестве аналогий, многообразия Штейна соответствуют аффинным .

Многообразия Штейна в некотором смысле двойственны эллиптическим многообразиям в комплексном анализе, которые допускают «множество» голоморфных функций комплексных чисел в себя. Известно, что многообразие Штейна эллиптично тогда и только тогда, когда оно расслоено в смысле так называемой «голоморфной теории гомотопий».

Отношение к гладким многообразиям [ править ]

Каждое компактное гладкое многообразие размерности 2n, имеющее только ручки индекса ≤ n, имеет структуру Штейна при n> 2, а при n = 2 то же самое выполняется при условии, что 2-ручки прикреплены определенными оснащениями (обрамление меньше, чем у Thurston -Бенекен обрамление ). ^{[2] [3]} Каждое гладкое замкнутое 4-многообразие является объединением двух 4-многообразий Штейна, склеенных по их общей границе. ^[4]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Форстер, Отто (1981), Лекции по римановым поверхностям , Текст для выпускников по математике, 81 , Нью-Йорк: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7 (включая доказательство теорем Бенке-Штейна и Грауэрта-Рёрля)
• Хёрмандер, Ларс (1990), Введение в комплексный анализ нескольких переменных , Математическая библиотека Северной Голландии, 7 , Амстердам: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, Руководство по ремонту  1045639 (включая доказательство теоремы вложения)
• Гомпф, Роберт Э. (1998), "Конструкция с ручками поверхностей Штейна", Annals of Mathematics , Second Series, The Annals of Mathematics, Vol. 148, № 2, 148 (2): 619–693, arXiv : math / 9803019 , doi : 10.2307 / 121005 , ISSN  0003-486X , JSTOR  121005 , MR  1668563 (определения и конструкции областей и многообразий Штейна в размерности 4)
• Грауэрт, Ганс; Реммерт, Райнхольд (1979), Теория пространств Штейна , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 236 , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, Руководство по ремонту  0580152
• Штейн, Карл (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Аня. (на немецком языке ), 123 : 201-222, DOI : 10.1007 / bf02054949 , МР  0043219