В алгебре и алгебраической геометрии , то спектр из коммутативного кольца R , обозначается, Есть множество всех простых идеалов из R . Его обычно дополняют топологией Зарисского и структурным пучком , превращая его в локально окольцованное пространство . Локально окольцованное пространство такого вида называется аффинной схемой .
Топология Зарисского
Для любого идеала I кольца R определимкак множество простых идеалов , содержащих I . Мы можем наложить топологию наопределяя набор замкнутых множеств как
Эта топология называется топологией Зарисского .
Основа для Зарисского может быть построена следующим образом . Для f ∈ R определим D f как множество простых идеалов кольца R, не содержащих f . Тогда каждое D f является открытым подмножеством, а также является основой топологии Зарисского.
является компактным пространством , но почти никогда не является хаусдорфовым : на самом деле максимальные идеалы в R - это в точности замкнутые точки в этой топологии. По тем же соображениям, это, вообще говоря, не пространство T 1 . [1] Однаковсегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T 0 ); это тоже спектральное пространство .
Связки и схемы
Учитывая пространство с топологией Зарисской, в структурном пучке О Й определяются на базовом уровне открытых подмножеств D F , полагая Г ( D п , О Х ) = Р е , к локализации в R по степеням е . Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, определяет пучок. Более подробно, выделенные открытые подмножества являются основой топологии Зарисского, поэтому для произвольного открытого множества U , записанного как объединение { D fi } i ∈ I , мы полагаем Γ ( U , O X ) = lim i ∈ I R fi . Можно проверить, что этот предпучок является пучком, поэтомуэто окольцованное пространство . Любое окольцованное пространство, изоморфное одной из этих форм, называется аффинной схемой . Общие схемы получаются склейкой аффинных схем.
Аналогично для модуля M над кольцом R мы можем определить пучок на . На выделенных открытых подмножествах Γ ( D f ,) = M f , используя локализацию модуля . Как и выше, эта конструкция распространяется на предпучок на всех открытых подмножествахи удовлетворяет аксиомам склеивания. Пучок такой формы называется квазикогерентным .
Если P - точка в, То есть, простой идеал, то стебель структурного пучка при Р равна локализация из R в идеальном Р , и это локальное кольцо . Вследствие этого,является локально окольцованным пространством .
Если R - область целостности с полем частных K , то мы можем описать кольцо Γ ( U , O X ) более конкретно следующим образом. Мы будем говорить , что элемент F в K является регулярным в точке Р в X , если оно может быть представлено в виде дроби F = / б с б не в Р . Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, можно описать Г ( U , O X ) , как в точности множество элементов K , регулярных в каждой точке Р в U .
Функциональная перспектива
Полезно использовать язык теории категорий и заметить, чтоявляется функтором . Каждый гомоморфизм колец индуцирует непрерывное отображение (поскольку прообраз любого простого идеала в главный идеал в ). Этим способом,можно рассматривать как контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, для каждого простого числа гомоморфизм спускается до гомоморфизмов
местных колец. Таким образомдаже определяет контравариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локально окольцованных пространств . Фактически, это универсальный такой функтор, поэтому его можно использовать для определения функторас точностью до естественного изоморфизма. [ необходима цитата ]
Функтор дает контравариантную эквивалентность категории коммутативных колец и категории аффинных схем ; каждая из этих категорий часто рассматривается как категория, противоположная другой.
Мотивация из алгебраической геометрии
Исходя из примера, в алгебраической геометрии изучается алгебраические множества , т.е. подмножество К п (где К является алгебраически замкнутым полем ), которые определены в качестве общих нулей совокупности многочленов в п переменных. Если такое алгебраическое множество, каждый рассматривает коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций → K . В максимальные идеалы из R соответствуют точкам А (потому что K алгебраически замкнуто), и простые идеалы в R соответствуют подмногообразиям от А (алгебраическое множество называется неприводимым или многообразием , если оно не может быть записано в виде объединения два собственных алгебраических подмножества).
Спектр R , следовательно , состоит из точек А вместе с элементами для всех подмногообразий A . Точки A замкнуты в спектре, а элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A , то есть максимальные идеалы в R , то определенная выше топология Зарисского совпадает с топологией Зарисского, определенной на алгебраических множествах (которая имеет в точности алгебраические подмножества как замкнутые множества). В частности, максимальные идеалы в R , т. Е.вместе с топологией Зарисского гомеоморфна A также с топологией Зарисского.
Таким образом, можно увидеть топологическое пространство как «обогащение» топологического пространства A (с топологией Зарисского): для каждого подмногообразия A была введена одна дополнительная незамкнутая точка, и эта точка «отслеживает» соответствующее подмногообразие. Эту точку воспринимают как общую точку для подмногообразия. Кроме того, связка наи пучок полиномиальных функций на A по существу идентичны. Изучая спектры колец полиномов вместо алгебраических множеств с топологией Зарисского, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и не только, в конечном итоге придя к языку схем .
Примеры
- Аффинная схема последний объект в категории аффинных схем, так как - исходный объект в категории коммутативных колец.
- Аффинная схема является теоретико-схемным аналогом . С точки зрения функтора точек точка можно отождествить с оценочным морфизмом . Это фундаментальное наблюдение позволяет нам придать смысл другим аффинным схемам.
- выглядит топологически как поперечное пересечение двух сложных плоскостей в точке, хотя обычно это изображается как так как единственные корректно определенные морфизмы к оценочные морфизмы, связанные с точками .
- Простой спектр булевого кольца (например, кольца степенных множеств ) представляет собой (хаусдорфово) компактное пространство . [2]
- (М. Хохстер) Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца (т. Е. Спектральному пространству ) тогда и только тогда, когда оно квазикомпактно, квазиотделено и трезво . [3]
Неаффинные примеры
Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены путем склеивания аффинных схем.
- Проективный -Космос над полем . Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. Конструкцию Proj (фактически, мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективный-Пространство для не является аффинным как глобальная секция является .
- Аффинная плоскость минус начало координат. [4] Внутри выделяются открытые аффинные подсхемы . Их союз- аффинная плоскость с вынесенным началом. Глобальные разделы пары многочленов на которые ограничиваются одним и тем же многочленом на , который можно показать как , глобальный раздел . не аффинно как в .
Топологии, отличные от Зарисского на простом спектре
Некоторые авторы (особенно М. Хохстер) рассматривают топологии на простых спектрах, отличные от топологии Зарисского.
Во-первых, есть понятие конструктивной топологии : для данного кольца A подмножества формы удовлетворяют аксиомам замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология наназывается конструктивной топологией. [5] [6]
В ( Hochster 1969 ) а также закрыты.
, Хохстер рассматривает то, что он называет топологией заплат на простом спектре. [7] [8] [9] По определению, патч-топология - это наименьшая топология, в которой множества формГлобальная или относительная спецификация
Есть относительная версия функтора называется глобальным , или родственник . Если схема, то относительная обозначается или же . Если ясно из контекста, то относительный Spec можно обозначить как или же . Для схемыи квазикогерентный пучок О S {\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {S}} -алгебры , есть схема и морфизм такой, что для каждого открытого аффинного , существует изоморфизм , и такие, что для открытых аффинных , включение индуцировано отображением ограничения . То есть, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, отображения ограничения пучка алгебр индуцируют отображения включения спектров, которые составляют Spec пучка.
Global Spec обладает универсальным свойством, аналогичным универсальному свойству для обычного Spec. Точнее, так же, как Spec и глобальный функтор сечения являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных колец и схем, глобальный Spec и функтор прямого изображения для структурного отображения являются контравариантными правыми сопряжениями между категорией коммутативных колец и схем.-алгебры и схемы над . [ сомнительно ] В формулах,
где это морфизм схем.
Пример относительной спецификации
Относительная спецификация - это правильный инструмент для параметризации семейства линий через начало координат. над Рассмотрим пучок алгебр и разреши быть пучком идеалов Тогда относительная спецификация параметризует желаемое семейство. Фактически, волокно закончилось линия, проходящая через начало содержащий точку Предполагая волокно можно рассчитать, посмотрев на состав диаграмм обратного движения
где композиция нижних стрелок
дает строку, содержащую точку и происхождение. Этот пример можно обобщить для параметризации семейства линий через начало координат над позволяя а также
Перспектива теории представлений
С точки зрения теории представлений , простой идеал I соответствует модулю R / I , а спектр кольца соответствует неприводимым циклическим представлениям R, тогда как более общие подмногообразия соответствуют возможно приводимым представлениям, которые не обязательно должны быть циклическими. Напомним, что абстрактно теория представлений группы - это изучение модулей над ее групповой алгеброй .
Связь с теорией представлений станет более ясной, если рассмотреть кольцо многочленов или, без основания, Как ясно из последней формулировки, кольцо многочленов - это групповая алгебра над векторным пространством , и запись в терминахсоответствует выбору основы векторного пространства. Тогда идеал I или, что то же самое, модульявляется циклическим представлением R (циклический смысл, порожденный 1 элементом как R -модулем; это обобщает одномерные представления).
В случае, когда поле алгебраически замкнуто (скажем, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n- пространстве посредством nullstellensatz (максимальный идеал, порожденный соответствует точке ). Эти представления о тогда параметризуются дуальным пространством ковектор дается путем отправки каждого к соответствующему . Таким образом, представление( K -линейные карты) задается набором из n чисел или, что то же самое, ковектором
Таким образом, точки в n- пространстве, рассматриваемые как максимальная спецификациясоответствуют в точности одномерным представлениям R, в то время как конечные наборы точек соответствуют конечномерным представлениям (которые сводятся, геометрически соответствуют тому, что они являются объединением, а алгебраически - не являются первичным идеалом). Тогда немаксимальные идеалы соответствуют бесконечномерным представлениям.
Перспектива функционального анализа
Термин «спектр» происходит от использования в теории операторов . Для линейного оператора T в конечномерном векторном пространстве V можно рассматривать векторное пространство с оператором как модуль над кольцом многочленов от одной переменной R = K [ T ], как в структурной теореме для конечно порожденных модулей над главная идеальная область . Тогда спектр K [ T ] (как кольца) равен спектру T (как оператора).
Кроме того, геометрическая структура спектра кольца (эквивалентно алгебраическая структура модуля) отражает поведение спектра оператора, такое как алгебраическая кратность и геометрическая кратность. Например, для единичной матрицы 2 × 2 есть соответствующий модуль:
нулевая матрица 2 × 2 имеет модуль
показывающая геометрическую кратность 2 для нулевого собственного значения, в то время как нетривиальная нильпотентная матрица 2 × 2 имеет модуль
показывая алгебраическую кратность 2, но геометрическую кратность 1.
Подробнее:
- собственные значения (с геометрической кратностью) оператора соответствуют (приведенным) точкам многообразия с кратностью;
- первичная декомпозиция модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия;
- диагонализуемый (полупростой) оператор соответствует редуцированному многообразию;
- циклический модуль (один генератор) соответствует оператору, имеющему циклический вектор (вектор, орбита которого под T охватывает пространство);
- последний инвариантный множитель модуля равен минимальному многочлену оператора, а произведение инвариантных множителей равно характеристическому многочлену .
Обобщения
Спектр может быть обобщен от колец к C * -алгебры в теории операторов , что дает представление о спектре С * -алгеброй . Следует отметить, что для хаусдорфова пространства , то алгебра скаляров (ограниченные непрерывные функции на пространстве, будучи аналогично регулярных функций) является коммутативной С * -алгебры с пространством, восстанавливающих как топологическое пространство изалгебры скаляров, действительно функториально; это содержание теоремы Банаха – Стоуна . В самом деле, любая коммутативная C * -алгебра может быть реализована таким образом как алгебра скаляров хаусдорфового пространства, давая такое же соответствие, как между кольцом и его спектром. Обобщая , чтобы , не -commutative C * -алгебр Урожайность некоммутативную топологии .
Смотрите также
- Схема (математика)
- Проективная схема
- Спектр матрицы
- Теорема Серра о сродстве
- Эталонный спектр
- Спектр Циглера
- Примитивный спектр
Рекомендации
- ^ А. В. Архангельский, Л. С. Понтрягин (ред.) Общая топология I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (см. Пример 21, раздел 2.6.)
- Перейти ↑ Atiyah & Macdonald , Ch. 1. Упражнение 23. (iv).
- ^ М. Хохстер (1969). Структура простых идеалов в коммутативных кольцах. Пер. Амер. Математика. Soc., 142 43—60
- ^ R.Vakil, Основы алгебраической геометрии (см. Главу 4, пример 4.4.1)
- ^ Atiyha-Macdonald , гл. 5, упражнение 27.
- ^ Таризаде, Абольфазл (11.04.2018). «Плоская топология и ее аспекты двойственности». arXiv : 1503.04299 [ math.AC ].
- ^ http://mat.uab.cat/~kock/cat/spec.pdf
- ^ М. Фонтана и К. А. Лопер, Топология заплаты и топология ультрафильтра на первичном спектре коммутативного кольца, Comm. Алгебра 36 (2008), 2917–2922.
- ^ Вилли Брандал, Коммутативные кольца, конечно порожденные модули которых разлагаются
- Атия, Майкл Фрэнсис ; Макдональд, И.Г. (1969). Введение в коммутативную алгебру . Westview Press. ISBN 978-0-201-40751-8.
- Кокс, Дэвид ; О'Ши, Донал; Литтл, Джон (1997), Идеалы, разновидности и алгоритмы , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94680-1
- Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2000), Геометрия схем , Graduate Texts in Mathematics, 197 , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98637-1, Руководство по ремонту 1730819
- Хартсхорн, Робин (1977), алгебраическая геометрия , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, Руководство по ремонту 0463157
Внешние ссылки
- Кевин Р. Кумбс: спектр кольца
- http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL , относительная спецификация
- Майлз Рид. "Коммутативная алгебра для студентов" (PDF) . п. 22. Архивировано из оригинального (PDF) 14 апреля 2016 года.