Принцип ограничения поглощения

В математике принцип предельного поглощения (LAP) это понятие из теории операторов и теории рассеяния , которая состоит в выборе «правильного» резольвенты в виде линейного оператора в существенном спектре на основе поведения резольвенты вблизи существенного спектра. Этот термин часто используется для обозначения того, что резольвента, если рассматривать ее не в исходном пространстве (которое обычно является пространством${\ Displaystyle L ^ {2}}$ ), а в определенных весовых пространствах (обычно , см. Ниже), имеет предел, поскольку спектральный параметр приближается к существенному спектру. Эта концепция возникла из идеи введения комплексного параметра в${\ Displaystyle L_ {s} ^ {2}}$Уравнение Гельмгольца для выбора частных решений. Эта идея принадлежит Владимиру Игнатовскому , который рассматривал распространение и поглощение электромагнитных волн в проводе. ^[1] Связь с поглощением можно проследить в выражении для электрического поля , используемого Ignatowsky: на соответствует поглощения ненулевым мнимой части , и уравнение удовлетворяется задается уравнением Гельмгольца (или восстановленного волнового уравнения ) , с имеющей ненулевая мнимая часть (и, следовательно, больше не принадлежащая спектру ).${\ Displaystyle (\ Delta + к ^ {2}) и (х) = - е (х)}$${\displaystyle E(t,x)=Ae^{i(\omega t+\varkappa x)}}$${\displaystyle \varkappa }$${\displaystyle E(t,x)}$${\displaystyle (\Delta +z)E(t,x)=0}$${\displaystyle z={\frac {\varkappa ^{2}}{\omega ^{2}}}}$${\displaystyle -\Delta }$

Пример и связь с принципом ограничения амплитуды [ править ]

Можно рассматривать оператор Лапласа в одном измерении, который является неограниченным оператором, действующим и определенным в области , пространстве Соболева . Опишем его резольвенты , . Учитывая уравнение${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2},}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}$

${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-z)u(x)=f(x),\quad x\in \mathbb {R} ,\quad f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$,

то для спектрального параметра из множества резольвентного , решение задается , где есть свертка из F с фундаментальным решением G :${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus {\overline {\mathbb {R} _{+}}}}$${\displaystyle u\in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle u(x)=(R(z)f)(x)=(G(\cdot ,z)*f)(x),}$${\displaystyle G(\cdot ,z)*f}$

${\displaystyle (G(\cdot ,z)*f)(x)=\int _{\mathbb {R} }G(x-y;z)f(y)\,dy,}$

где фундаментальное решение дается формулой

${\displaystyle G(x;z)={\frac {1}{2{\sqrt {-z}}}}e^{-|x|{\sqrt {-z}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus {\overline {\mathbb {R} _{+}}}.}$

Чтобы получить оператор, ограниченный по , нужно использовать ветвь квадратного корня, которая имеет положительную действительную часть (которая убывает при большом абсолютном значении x ), так что свертка G с имеет смысл.${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

Можно также рассматривать предел фундаментального решения по мере приближения к спектру , задаваемому выражением . Предположим, что подходит , с некоторыми . В зависимости от того, приближается ли он в комплексной плоскости сверху ( ) или снизу ( ) действительной оси, будут два разных ограничивающих выражения: когда приближается сверху и когда приближается снизу. Резольвента (свертка с ) соответствует уходящим волнам неоднородного уравнения Гельмгольца , а соответствует набегающим волнам. Это напрямую связано с${\displaystyle G(x;z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle -\partial _{x}^{2}}$${\displaystyle \sigma (-\partial _{x}^{2})={\overline {\mathbb {R} _{+}}}=[0,+\infty )}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle k>0}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k^{2}}$${\displaystyle \Im (z)>0}$${\displaystyle \Im (z)<0}$${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}+i\varepsilon )=-{\frac {1}{2ik}}e^{i|x|k}}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$${\displaystyle k^{2}\in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle G_{-}(x;k^{2})=\lim _{\varepsilon \to 0+}G(x;k^{2}-i\varepsilon )={\frac {1}{2ik}}e^{-i|x|k}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle k^{2}\in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle R_{+}(k^{2})}$${\displaystyle G_{+}(x;k^{2})}$ ${\displaystyle (-\partial _{x}^{2}-k^{2})u(x)=f(x)}$${\displaystyle R_{-}(k^{2})}$принцип ограничения амплитуды : чтобы найти, какое решение соответствует исходящим волнам, рассматривается неоднородное волновое уравнение

${\displaystyle (\partial _{t}^{2}-\partial _{x}^{2})\psi (t,x)=f(x)e^{-ikt},\quad t\geq 0,\quad x\in \mathbb {R} ,}$

с нулевыми исходными данными . Частное решение неоднородного уравнения Гельмгольца, соответствующего уходящим волнам, получено как предел для больших времен. ^[2]${\displaystyle \psi (0,x)=0,\,\partial _{t}\psi (t,x)|_{t=0}=0}$${\displaystyle \psi (t,x)e^{ikt}}$

Оценки во взвешенных пространствах [ править ]

Позвольте быть линейным оператором в банаховом пространстве , определенным на области . Для значений спектрального параметра из резольвентного множества оператора, резольвента ограничена, если рассматривать ее как линейный оператор, действующий от самого себя , но ее граница зависит от спектрального параметра и стремится к бесконечности при приближении к спектру оператора оператор . Точнее, существует соотношение${\displaystyle A:\,X\to X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle D(A)\subset X}$${\displaystyle z\in \rho (A)\subset \mathbb {C} }$${\displaystyle R(z)=(A-zI)^{-1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R(z):\,X\to X}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \sigma (A)=\mathbb {C} \setminus \rho (A)}$

${\displaystyle \Vert R(z)\Vert \geq {\frac {1}{\operatorname {dist} (z,\sigma (A))}},\qquad z\in \rho (A).}$

Многие ученые ссылаются на «принцип предельного поглощения», когда хотят сказать, что резольвента определенного оператора A , если рассматривать его как действующего в определенных весовых пространствах, имеет предел (и / или остается равномерно ограниченной), когда спектральный параметр приближается к существенный спектр, . Например, в приведенном выше примере оператора Лапласа в одном измерении, определенного в области , для оба оператора с интегральными ядрами не ограничены в (то есть как операторы из в себя), но оба будут ограничены, когда рассматриваются как операторы${\displaystyle R(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \sigma _{ess}(A)}$${\displaystyle A=-\partial _{x}^{2}:\,L^{2}(\mathbb {R} )\to L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle D(A)=H^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle z>0}$${\displaystyle R_{\pm }(z)}$${\displaystyle G_{\pm }(x-y;z)}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle R_{\pm }(z):\;L_{s}^{2}(\mathbb {R} )\to L_{-s}^{2}(\mathbb {R} ),\quad s>1/2,\quad z\in \mathbb {C} \setminus {\overline {\mathbb {R} _{+}}},}$

где пространства определены как пространства локально интегрируемых функций таких, что их -норма,${\displaystyle L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle L_{s}^{2}}$

${\displaystyle \Vert u\Vert _{L_{s}^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }(1+x^{2})^{s}|u(x)|^{2}\,dx,}$

конечно. ^{[3] [4]}

Ссылки [ править ]