В математике , А преобразование последовательности представляет собой оператор , действующее на заданное пространство последовательностей (а пространство последовательностей ). Преобразования последовательностей включают в себя линейные отображения, такие как свертка с другой последовательностью и пересуммирование последовательности, и, в более общем смысле, обычно используются для ускорения последовательности , то есть для повышения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности или ряда . Преобразования последовательности также обычно используются для вычисления предельного значения расходящегося ряда.численно и используются вместе с методами экстраполяции .
Обзор
Классические примеры для преобразования последовательности включают биномиальное преобразование , преобразование Мёбиуса , преобразование Стирлинга и другие.
Определения
Для заданной последовательности
трансформировали последовательность является
где члены преобразованной последовательности обычно вычисляются из некоторого конечного числа членов исходной последовательности, т. е.
для некоторых что часто зависит от (см., например, биномиальное преобразование ). В простейшем случае и являются действительными или комплексными числами . В более общем смысле, они могут быть элементами некоторого векторного пространства или алгебры .
В контексте ускорения сходимости говорят, что преобразованная последовательность сходится быстрее, чем исходная последовательность, если
где это предел из, предполагается сходящимся. В этом случае достигается ускорение схождения . Если исходная последовательность расходится , преобразование последовательности действует как метод экстраполяции к антипределу..
Если отображение является линейной в каждом из своих аргументов, то есть для
для некоторых констант (который может зависеть от n ) преобразование последовательностиназывается преобразованием линейной последовательности . Преобразования последовательностей, которые не являются линейными, называются нелинейными преобразованиями последовательностей.
Примеры
Простейшие примеры (линейных) преобразований последовательности включают сдвиг всех элементов, (соответственно = 0, если n + k <0) для фиксированного k , и скалярное умножение последовательности.
Менее тривиальным примером может служить дискретная свертка с фиксированной последовательностью. Особенно простой формой является оператор разности , который представляет собой свертку с последовательностьюи является дискретным аналогом производной . Биномиальное преобразование является еще линейным преобразованием еще более общего типа.
Примером нелинейного преобразования последовательности является дельта-квадратный процесс Эйткена , используемый для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности. Расширенная форма этого - преобразование Шанкса . Преобразование Мёбиуса также является нелинейным преобразованием, возможным только для целочисленных последовательностей .
Смотрите также
Рекомендации
- Хью Дж. Гамильтон, "Теорема Мертенса и преобразования последовательностей ", AMS (1947)