В математике , серия ускорение является одним из набора преобразований последовательностей для улучшения скорости сходимости в виде ряда . Методы последовательного ускорения часто применяются в численном анализе , где они используются для повышения скорости численного интегрирования . Методы последовательного ускорения также могут использоваться, например, для получения различных идентификаторов специальных функций . Таким образом, преобразование Эйлера, примененное к гипергеометрическому ряду, дает некоторые из классических, хорошо известных тождеств гипергеометрических рядов.
Определение
Учитывая последовательность
имеющий предел
ускоренная серия - вторая последовательность
который быстрее сходится к чем исходная последовательность, в том смысле, что
Если исходная последовательность расходится , преобразование последовательности действует как метод экстраполяции к антипределу. .
Отображения исходной серии в преобразованную могут быть линейными (как определено в преобразованиях последовательности статей ) или нелинейными. В общем, преобразования нелинейной последовательности имеют тенденцию быть более мощными.
Обзор
Двумя классическими методами ускорения рядов являются преобразование рядов Эйлера [1] и преобразование рядов Куммера . [2] В 20-м веке было разработано множество гораздо более быстро сходящихся и специальных инструментов, включая экстраполяцию Ричардсона , введенную Льюисом Фри Ричардсоном в начале 20-го века, но также известную и использованную Катахиро Такебе в 1722 году; процесс дельта-квадрата Айткена , введенный Александром Айткеном в 1926 году, но также известный и используемый Такакадзу Секи в 18 веке; метод эпсилон дается Питер Уинн в 1956 году; Левин U-преобразования ; и метод Wilf-Zeilberger-Ekhad или метод WZ .
Для чередующихся рядов используются несколько эффективных методов, обеспечивающих скорость сходимости от полностью до для суммирования термины описаны Cohen et al . [3]
Преобразование Эйлера
Базовым примером линейного преобразования последовательности , предлагающего улучшенную сходимость, является преобразование Эйлера. Он предназначен для применения в чередующейся серии; это дается
где - оператор прямой разности , для которого есть формула
Если исходный ряд в левой части только медленно сходится, прямые различия будут иметь тенденцию становиться небольшими довольно быстро; дополнительная степень двойки еще больше увеличивает скорость схождения правой стороны.
Особенно эффективной численной реализацией преобразования Эйлера является преобразование Ван Вейнгаардена . [4]
Конформные отображения
Серия
можно записать как f (1), где функция f определяется как
Функция f ( z ) может иметь особенности на комплексной плоскости ( особенности точек ветвления , полюсы или существенные особенности ), которые ограничивают радиус сходимости ряда. Если точка z = 1 находится близко или на границе диска сходимости, ряд для S будет очень медленно сходиться. Затем можно улучшить сходимость ряда с помощью конформного отображения, которое перемещает особенности так, что точка, отображаемая в z = 1, оказывается глубже в новом круге сходимости.
Конформное преобразование необходимо выбрать так, чтобы , и обычно выбирают функцию, имеющую конечную производную при w = 0. Можно считать, чтобез потери общности, так как всегда можно изменить масштаб w, чтобы переопределить. Затем рассмотрим функцию
С , имеем f (1) = g (1). Мы можем получить разложение g ( w ) в ряд , положивв разложении f ( z ) в ряд, поскольку; первые n членов разложения в ряд для f ( z ) дадут первые n членов разложения в ряд для g ( w ), если. Если положить w = 1 в это расширение ряда, получится такой ряд, который, если он сходится, сходится к тому же значению, что и исходный ряд.
Нелинейные преобразования последовательности
Примеры таких нелинейных преобразований последовательности Паде , тем преобразование Хвостовики и преобразование последовательностей Левина типа .
Особенно нелинейные преобразования последовательности часто обеспечивают мощные численные методы для суммирования из ряда расходящегося или асимптотических рядов , которые возникают, например , в теории возмущений , и могут быть использованы в качестве высокоэффективных методов экстраполяции .
Метод Эйткена
Простое нелинейное преобразование последовательности - это экстраполяция Эйткена или метод дельта-квадрата,
определяется
Это преобразование обычно используется для улучшения скорости сходимости медленно сходящейся последовательности; эвристически он устраняет большую часть абсолютной ошибки .
Смотрите также
- Трансформация хвостовика
- Минимальная полиномиальная экстраполяция
- Преобразование ван вийнгаардена
Рекомендации
- ^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.27» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 3, уравнение 3.6.26» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 16. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
- ^ Анри Коэн , Фернандо Родригес Вильегас и Дон Загье , « Ускорение сходимости чередующихся рядов », Экспериментальная математика , 9 : 1 (2000), стр. 3.
- ^ Уильям Х. Пресс и др. , Числовые рецепты на языке C , (1987) Cambridge University Press, ISBN 0-521-43108-5 (см. Раздел 5.1).
- Брезинский Ч., Редиво Загля М. Методы экстраполяции. Теория и практика , Северная Голландия, 1991.
- Г. А. Бейкер-младший и П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде , Кембридж, 1996.
- Вайсштейн, Эрик В. «Улучшение сходимости» . MathWorld .
- Герберт Х. Хомейер: Скалярные преобразования последовательностей типа Левина , Журнал вычислительной и прикладной математики, вып. 122, нет. 1-2, стр. 81 (2000). Homeier, HHH (2000). «Скалярные преобразования последовательностей типа Левина». Журнал вычислительной и прикладной математики . 122 : 81. arXiv : math / 0005209 . Bibcode : 2000JCoAM.122 ... 81H . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00359-9 ., arXiv : математика / 0005209 .
- Брезинский Клод и Редиво-Заглия Микела: «Происхождение и ранние разработки процесса Эйткена, трансформация Шанкса, -алгоритм и связанные с ним методы с фиксированной точкой », Численные алгоритмы, Том 80, № 1, (2019), стр. 11-133.
- Delahaye JP: "Sequence Transformations", Springer-Verlag, Berlin, ISBN 978-3540152835 (1988).
- Сиди Аврам: «Методы векторной экстраполяции с приложениями», SIAM, ISBN 978-1-61197-495-9 (2017).
- Брезински Клод, Редиво-Заглия Микела и Саад Юсеф: «Трансформации последовательностей Шанкса и ускорение Андерсона», SIAM Review, Vol.60, No. 3 (2018), pp.646–669. DOI: 10.1137 / 17M1120725.
- Брезинский Клод: «Воспоминания Питера Винна », Численные алгоритмы, том 80 (2019), стр. 5-10.
- Брезинский Клод и Редиво-Заглия Микела: «Экстраполяция и рациональное приближение», Springer, ISBN 978-3-030-58417-7 (2020).
Внешние ссылки
- Ускорение сходимости серий
- Научная библиотека GNU, ускорение серий
- Электронная библиотека математических функций