Список центроидов

Ниже приведен список центроидов различных двумерных и трехмерных объектов. Центроида объекта в - мерном пространстве есть пересечение всех гиперплоскостей , которые делят на две части равного момента о гиперплоскости. Неформально это « среднее » из всех баллов . Для объекта однородного состава центроид тела также является его центром масс . В случае двухмерных объектов, показанных ниже, гиперплоскости представляют собой просто линии.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

2-D центроиды [ править ]

Для каждой двумерной формы ниже указаны площадь и координаты центра тяжести :${\ displaystyle ({\ bar {x}}, {\ bar {y}})}$

Форма	Фигура	${\ displaystyle {\ bar {x}}}$	${\ displaystyle {\ bar {y}}}$	Область
прямоугольная область		${\ displaystyle {\ frac {b} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {h} {2}}}$	${\ displaystyle {bh}}$
Общая треугольная зона		${\ displaystyle {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + x_ {3}} {3}}}$[1]	${\ displaystyle {\ frac {h} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {bh} {2}}}$
Равнобедренно-треугольная область		${\ displaystyle {\ frac {l} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {h} {3}}}$	${\displaystyle {\frac {lh}{2}}}$
Правотреугольная область		${\displaystyle {\frac {b}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {bh}{2}}}$
Круглая область		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\pi r^{2}}}$
Четверть-круглая площадь [2]		${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{4}}}$
Полукруглая область [3]		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4r}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}}{2}}}$
Круговой сектор		${\displaystyle {\frac {2r\sin(\alpha )}{3\alpha }}}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle \,\!\alpha r^{2}}$
Круговой сегмент		${\displaystyle {\frac {4r\sin ^{3}(\alpha )}{3(2\alpha -\sin(2\alpha ))}}}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {r^{2}}{2}}(2\alpha -\sin(2\alpha ))}$
Кольцевой сектор		${\displaystyle {\frac {2\sin(\alpha )}{3\alpha }}{\frac {r_{2}^{3}-r_{1}^{3}}{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}}}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle \alpha (r_{2}^{2}-r_{1}^{2})}$
Четверть-круговая дуга	Точки на окружности и в первом квадранте${\displaystyle \,\!x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle L={\frac {\pi r}{2}}}$
Полукруглая дуга	Точки на окружности и над осью${\displaystyle \,\!x^{2}+y^{2}=r^{2}}$${\displaystyle \,\!x}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {2r}{\pi }}}$	${\displaystyle L=\,\!\pi r}$
Дуги из круга	Точки на кривой (в полярных координатах) от до${\displaystyle \,\!\rho =r}$${\displaystyle \,\!\theta =-\alpha }$${\displaystyle \,\!\theta =\alpha }$	${\displaystyle {\frac {\rho \sin(\alpha )}{\alpha }}}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle L=\,\!2\alpha \rho }$
эллиптическая площадь		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\pi ab}}$
Четвертьэллиптическая площадь		${\displaystyle {\frac {4a}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {4b}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ab}{4}}}$
Полуэллиптическая зона		${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {4b}{3\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ab}{2}}}$
Параболическая зона	Площадь между кривой и линией${\displaystyle \,\!y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$${\displaystyle \,\!y=h}$	${\displaystyle \,\!0}$	${\displaystyle {\frac {3h}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {4bh}{3}}}$
Полупараболическая зона Площадь между кривой и осью, от до${\displaystyle y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$${\displaystyle \,\!y}$${\displaystyle \,\!y=0}$${\displaystyle \,\!y=h}$		${\displaystyle {\frac {3b}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {3h}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {2bh}{3}}}$
Параболическая перемычка	Площадь между кривой и осью, от до${\displaystyle \,\!y={\frac {h}{b^{2}}}x^{2}}$${\displaystyle \,\!x}$${\displaystyle \,\!x=0}$${\displaystyle \,\!x=b}$	${\displaystyle {\frac {3b}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {3h}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {bh}{3}}}$
Генеральная перемычка	Площадь между кривой и осью, от до${\displaystyle y={\frac {h}{b^{n}}}x^{n}}$${\displaystyle \,\!x}$${\displaystyle \,\!x=0}$${\displaystyle \,\!x=b}$	${\displaystyle {\frac {n+1}{n+2}}b}$	${\displaystyle {\frac {n+1}{4n+2}}h}$	${\displaystyle {\frac {bh}{n+1}}}$

• Следует отметить, чтобы избежать путаницы, что для координат центроида, отмеченных как ноль, это действительно означает, что координаты находятся в начале координат, а уравнения для получения этих точек - это длины включенных осей, деленные на два, чтобы достичь центра. которые в этих случаях являются началом координат и, следовательно, равны нулю.

Трехмерные центроиды [ править ]

Для каждого трехмерного тела ниже, объема и центроиды координат , приведено:${\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}$${\displaystyle ({\bar {z}})}$

Форма	Фигура	${\displaystyle {\bar {x}}}$	${\displaystyle {\bar {y}}}$	${\displaystyle {\bar {z}}}$	Объем
Кубоид	a, b = стороны основания кубоида c = третья сторона кубоида	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {c}{2}}}$	${\displaystyle {abc}}$
Право-прямоугольная пирамида	a, b = стороны основания h = расстояние от основания до вершины	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {h}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {abh}{3}}}$
Общая треугольная призма	b = сторона основания треугольного основания призмы, h = высота треугольного основания призмы L = длина призмы	см. выше для общего треугольного основания	${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {L}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {bhL}{2}}}$
Равнобедренная треугольная призма	b = сторона основания треугольного основания призмы, h = высота треугольного основания призмы L = длина призмы	${\displaystyle {\frac {b}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {L}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {bhL}{2}}}$
Прямоугольная призма	b = сторона основания треугольного основания призмы, h = перпендикулярная сторона треугольного основания призмы L = длина призмы	${\displaystyle {\frac {b}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {L}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {bhL}{2}}}$
Правый круговой цилиндр	r = радиус цилиндра h = высота цилиндра	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {h}{2}}}$	${\displaystyle {\pi r^{2}h}}$
Правый круговой сплошной конус	r = радиус основания конуса h = расстояние от основания до вершины	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {h}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi r^{2}h}{3}}}$
Твердая сфера	r = радиус сферы	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$
Твердое полушарие	r = радиус полусферы	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3r}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi r^{3}}{3}}}$
Твердый полуэллипсоид вращения вокруг оси z	a = радиус основной окружности h = высота полуэллипсоида от центра основного круга до края	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3h}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi a^{2}h}{3}}}$
Твердый параболоид вращения вокруг оси z	a = радиус базовой окружности h = высота паболоида от центра базовой части до края	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {h}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi a^{2}h}{2}}}$
Сплошной эллипсоид	a, b, c = главные полуоси эллипсоида	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {4\pi abc}{3}}}$
Твердый полуэллипсоид вокруг оси z	a, b = главные полуоси базового эллипса c = главная полуось z от центра базового эллипса	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3c}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi abc}{3}}}$
Твердый параболоид вокруг оси z	a, b = главные полуоси базового эллипса c = главная полуось z от центра базового эллипса	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {c}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi abc}{2}}}$

См. Также [ править ]

• Список моментов инерции
• Список вторых моментов площади

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• http://www.engineering.com/Library/ArticlesPage/tabid/85/articleType/ArticleView/articleId/109/Centroids-of-Common-Shapes.aspx