В математике , то Литтлвуд подчиненность теорема , доказанная JE Литтлвудом в 1925 году, является теорема в теории операторов и комплексного анализа . Он утверждает, что любое голоморфное однолистное отображение единичного круга в комплексные числа , фиксирующее 0, индуцирует сжимающий оператор композиции на различных функциональных пространствах голоморфных функций на круге. Эти пространства включают в себя пространство Харди , в пространства Бергмана и пространство Дирихля .
Теорема подчинения
Пусть ч -голоморфная однолистны отображение единичного диска D в себя, что ч (0) = 0. Тогда композиция оператор С ч , определенная на голоморфных функций F на D с помощью
определяет линейный оператор с операторной нормой меньше единицы на пространствах Харди, пространства Бергмана . (1 ≤ p <∞) и пространство Дирихле.
Нормы на этих пространствах определяются:
Неравенство Литтлвуда
Пусть f - голоморфная функция на единичном круге D и пусть h - голоморфное однолистное отображение D в себя с h (0) = 0. Тогда, если 0 < r <1 и 1 ≤ p <∞
Это неравенство справедливо и при 0 < p <1, хотя в этом случае операторной интерпретации нет.
Доказательства
Случай p = 2
Чтобы доказать результат для H 2, достаточно показать, что для f многочлен [1]
Пусть U - односторонний сдвиг, определяемый формулой
К нему присоединяется U *, заданный формулой
Поскольку f (0) = a 0 , это дает
и поэтому
Таким образом
Поскольку U * f имеет степень меньше f , по индукции следует, что
и поэтому
Тот же метод доказательства работает для A 2 и
Общие пространства Харди
Если f находится в пространстве Харди H p , то оно имеет факторизацию [2]
где f i - внутренняя функция, а f o - внешняя функция .
потом
Неравенства
Принимая 0 < r <1, неравенства Литтлвуда следуют применением неравенств пространства Харди к функции
Неравенства также могут быть выведены, следуя Риссу (1925) , с использованием субгармонических функций . [3] [4] Из неравенств, в свою очередь, сразу следует теорема о подчинении для общих пространств Бергмана.
Заметки
- ↑ Никольский, 2002 , стр. 56–57.
- ↑ Никольский, 2002 , с. 57 год
- ^ Duren 1970
- ^ Шапиро 1993 , стр. 19
Рекомендации
- Дюрно, PL (1970), Теория Н р пространство , теоретические и прикладная математика, 38 , Academic Press
- Littlewood, JE (1925), "О неравенствах в теории функций", Proc. Лондонская математика. Soc. , 23 : 481-519, DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-23.1.481
- Никольский, Н.К. (2002), Операторы, функции и системы: легкое чтение. Vol. 1. Харди, Ханкель и Теплиц , Математические обзоры и монографии, 92 , Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-1083-9
- Riesz, F. (1925), "Sur une inégalite de M. Littlewood dans la théorie des fonctions", Proc. Лондонская математика. Soc. , 23 : 36-39, DOI : 10.1112 / PLMS / s2-23.1.1-ы
- Шапиро, Дж. Х. (1993), Операторы композиции и классическая теория функций , Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94067-7