В теории операторов , ограниченный оператор T : X → Y между нормированными векторными пространствами X и Y называется быть сокращением , если его норма оператора || Т || ≤ 1. Каждый ограниченный оператор становится сжатием после подходящего масштабирования. Анализ сокращений позволяет понять структуру операторов или семейство операторов. Теория сжатий в гильбертовом пространстве во многом принадлежит Бела Скефалви-Надь и Чиприан Фойас .
Сжатия в гильбертовом пространстве
Если T - сжатие, действующее в гильбертовом пространстве , могут быть определены следующие основные объекты, связанные с T.
В операторы дефекта из Т операторы Д Т = (1 - T * T ) ½ и D T * = (1 - ТТ * ) ½ . Квадратный корень - это положительный полуопределенный корень , определяемый спектральной теоремой . В дефектных пространствах а также - диапазоны Ran ( D T ) и Ran ( D T * ) соответственно. Положительный оператор D T индуцирует скалярное произведение на. Внутреннее пространство продукта можно естественным образом отождествить с Ran ( D T ). Аналогичное утверждение верно для.
В индексах дефекта из Т являются парой
Операторы дефектов и индексы дефекта являются мерой не-унитарности Т .
Сжатие T на гильбертовом пространстве можно канонически разложить в ортогональную прямую сумму
где U - унитарный оператор, а Γ полностью не унитарен в том смысле, что у него нет приводящих подпространств, на которые его ограничение было бы унитарным. Если U = 0, T называется полностью неунитарным сжатием . Частным случаем этого разложения является разложение Вольда для изометрии , где Γ - собственная изометрия.
Сжатия на гильбертовых пространствах можно рассматривать как операторные аналоги cos θ и в некоторых контекстах их называют операторными углами . Явное описание сжатий приводит к (операторной) параметризации положительных и унитарных матриц.
Теорема о расширении для сжатий
Теорема Ш.-Надя , доказанная в 1953 г., утверждает, что для любого сжатия T в гильбертовом пространстве H существует унитарный оператор U в большем гильбертовом пространстве K ⊇ H такой, что если P - ортогональная проекция K на H, то Т п = Р У п Р для всех п > 0. оператор U называется дилатацией из Т и однозначно определяется , если U является минимальным, т.е. к является наименьшее замкнутое подпространство , инвариантное относительно U и U * , содержащей H .
Фактически определить [1]
ортогональная прямая сумма счетного числа копий Н .
Пусть V - изометрия на определяется
Позволять
Определим унитарную W на от
W тогда является унитарным расширением T с H, рассматриваемым как первый компонент.
Минимальная дилатация U получается взятие ограничения W в замкнутом подпространство , порожденных степенями W применяется к H .
Теорема о расширении для полугрупп стягивания
Существует альтернативное доказательство теоремы Ш.-Надя о растяжении, которое допускает значительные обобщения. [2]
Пусть G является группа, U ( г ) унитарное представление G в гильбертовом пространстве К и Р ортогональной проекции на замкнутое подпространство H = PK из K .
Операторнозначная функция
со значениями в операторах на K удовлетворяет условию положительной определенности
где
Более того,
Наоборот, так возникает всякая операторнозначная положительно определенная функция. Напомним, что каждая (непрерывная) скалярнозначная положительно определенная функция на топологической группе индуцирует скалярное произведение и представление группы φ ( g ) = 〈U g v , v〉, где U g - (сильно непрерывное) унитарное представление (см . теорема ). Замена v , проекции ранга 1, общей проекцией дает операторнозначное утверждение. Фактически конструкция идентична; это схематично показано ниже.
Позволять - пространство функций на G конечного носителя со значениями в H со скалярным произведением
G действует унитарно на от
Более того, H можно отождествить с замкнутым подпространством виспользуя изометрическое вложение, отправляя v из H в f v с
Если P - проекцияна H , то
используя указанную выше идентификацию.
Когда G - сепарабельная топологическая группа, Φ непрерывна в сильной (или слабой) операторной топологии тогда и только тогда, когда U непрерывна .
В этом случае функции с носителем на счетной плотной подгруппе группы G плотны в, чтобы отделимо.
Когда G = Z, любой оператор сжатия T определяет такую функцию Φ через
для n > 0. Приведенная выше конструкция дает минимальное унитарное растяжение.
Тот же метод может быть применен , чтобы доказать вторую теорему дилатации Sz._Nagy для одного параметра-сильно непрерывная полугруппа сжатий Т ( т ) ( т ≥ 0) в гильбертовом пространстве H . Купер (1947) ранее доказал результат для однопараметрических полугрупп изометрий [3]
Теорема утверждает, что существует большее гильбертово пространство K, содержащее H, и унитарное представление U ( t ) группы R такое, что
и переводит U ( т ) Н порождают K .
Фактически T ( t ) определяет непрерывную операторнозначную положительно определенную функцию Φ на R через
при t > 0. Φ положительно определена на циклических подгруппах в R по аргументам для Z , а значит, и на самом R по непрерывности.
Предыдущая конструкция дает минимальное унитарное представление U ( т ) и проекции P .
Теорема Хилле-Иосиды сопоставляет замкнутый неограниченный оператор A каждой сжимающей однопараметрической полугруппе T ' ( t ) через
где область на A состоит из всех ξ, для которых существует этот предел.
A называется генератором полугруппы и удовлетворяет
на своем домене. Когда A - самосопряженный оператор
в смысле спектральной теоремы, и это обозначение используется в более общем смысле в теории полугрупп.
Когенератор полугруппы стягивание определяется
A можно восстановить из T по формуле
В частности , дилатации T на K ⊃ H сразу дает дилатации полугруппы. [4]
Функциональное исчисление
Пусть T будет полностью неунитарным сжатием на H . Тогда минимальная унитарная дилатация U из T на K ⊃ H унитарно эквивалентно прямой сумме экземпляров двустороннего оператора сдвига, то есть умножение на г на л 2 ( S 1 ). [5]
Если P - ортогональный проектор на H, то для f в L ∞ = L ∞ ( S 1 ) следует, что оператор f ( T ) может быть определен следующим образом:
Пусть H ∞ пространство ограниченных голоморфных функций в единичном круге D . Любая такая функция имеет граничные значения в L ∞ и однозначно определяется ими, так что существует вложение H ∞ ⊂ L ∞ .
Для f в H ∞ , f ( T ) можно определить без ссылки на унитарное расширение.
Фактически, если
для | z | <1, то при r <1
голоморфна на | z | <1 / р .
В этом случае f r ( T ) определяется голоморфным функциональным исчислением, а f ( T ) может быть определено как
Карта отправки е к е ( Т ) определяет гомоморфизм алгебры H ∞ в ограниченных операторов в H . Более того, если
тогда
Это отображение обладает следующим свойством непрерывности: если равномерно ограниченная последовательность f n почти всюду стремится к f , то f n ( T ) стремится к f ( T ) в сильной операторной топологии.
При t ≥ 0 пусть e t - внутренняя функция
Если T - когенератор однопараметрической полугруппы вполне неунитарных сжатий T ( t ), то
а также
C 0 сокращения
Полностью неунитарное сжатие T называется принадлежащим классу C 0 тогда и только тогда, когда f ( T ) = 0 для некоторого ненулевого f в H ∞ . В этом случае множество таких f образует идеал в H ∞ . Он имеет вид φ ⋅ H ∞, где g - внутренняя функция , т. Е. Такая, что | φ | = 1 на S 1 : φ однозначно определяется с точностью до умножения на комплексное число , по модулю 1 и называется минимальную функцию из T . Он обладает свойствами, аналогичными минимальному многочлену матрицы.
Минимальная функция φ допускает каноническую факторизацию
где | c | = 1, B ( z ) - произведение Бляшке
с участием
и Р ( г ) голоморфен неотрицательной вещественная часть в D . По теореме о представлении Герглотца ,
для некоторой неотрицательной конечной меры μ на окружности: в этом случае, если она не равна нулю, μ должна быть особой относительно меры Лебега. В приведенном выше разложении φ любой из двух факторов может отсутствовать.
Минимальная функция φ определяет спектр из T . В пределах единичного круга спектральные значения - это нули φ. Таких λ i , всех собственных значений T , нулей B ( z ) , не более чем счетное число . Точка единичной окружности не лежит в спектре T тогда и только тогда, когда φ имеет голоморфное продолжение в окрестность этой точки.
φ сводится к произведению Бляшке именно тогда, когда H равно замыканию прямой суммы (не обязательно ортогональной) обобщенных собственных подпространств [6]
Квазиподобие
Два сжатия T 1 и T 2 называются квазиподобными, если существуют такие ограниченные операторы A , B с тривиальным ядром и плотным образом значений, что
Следующие свойства сжатия T сохраняются при квазиподобии:
- будучи унитарным
- быть полностью неунитарным
- находясь в классе C 0
- будучи свободным от кратности , т.е. имеющим коммутативный коммутант
Два квазиподобных сжатия C 0 имеют одинаковую минимальную функцию и, следовательно, один и тот же спектр.
Классификационная теорема для C 0 сжатий состояний, два множественности бесплатно C 0 схватки квазиподобна тогда и только тогда , когда они имеют одинаковую минимальную функцию (до скалярного множителя). [7]
Модель сжатия C 0 без кратности с минимальной функцией φ задается следующим образом:
где H 2 - пространство Харди окружности, а T - умножение на z . [8]
Такие операторы называются жордановыми блоками и обозначаются S (φ).
Как обобщение теоремы Бёрлинга , коммутант такого оператора состоит в точности из операторов ψ ( T ) с ψ в H ≈ , т. Е. Операторов умножения на H 2, соответствующих функциям из H ≈ .
Оператор сжатия AC 0 T свободен от кратностей тогда и только тогда, когда он квазиподобен жордановой клетке (обязательно соответствующей той, которая соответствует его минимальной функции).
Примеры.
- Если сжатие T квазиподобно оператору S с
с различными λ i , модуль меньше 1, такой, что
и ( e i ) является ортонормированным базисом, тогда S и, следовательно, T являются C 0 и свободны от кратности. Следовательно, H является замыканием прямой суммы λ i -собственных подпространств T , каждое из которых имеет кратность один. Это также можно увидеть непосредственно, используя определение квазиподобия.
- Приведенные выше результаты могут быть одинаково хорошо применены к однопараметрическим полугруппам, поскольку, исходя из функционального исчисления, две полугруппы квазиподобны тогда и только тогда, когда их когенераторы квази-подобны. [9]
Классификационная теорема для сжатий C 0 : каждое сжатие C 0 канонически квазиподобно прямой сумме жордановых блоков.
Фактически каждое сжатие C 0 квазиподобно единственному оператору вида
где φ п однозначно определяются внутренние функции, причем ф 1 минимальной функцией S и , следовательно , T . [10]
Смотрите также
Заметки
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , с. 10–14.
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , с. 24–28.
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , с. 28–30.
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , с. 143, 147
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , с. 87–88.
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , стр. 138
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , с. 395–440.
- ^ Sz.-Nagy et al. 2010 , стр. 126
- ^ Bercovici 1988 , стр. 95
- ^ Bercovici 1988 , стр. 35-66
Рекомендации
- Берковичи, Х. (1988), Теория операторов и арифметика в H ∞ , Математические обзоры и монографии, 26 , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1528-8
- Купер, JLB (1947), "Однопараметрические полугруппы изометрических операторов в гильбертовом пространстве", Ann. математики. , 48 : 827-842, DOI : 10,2307 / 1969382
- Гамелен, Т.В. (1969), Равномерные алгебры , Прентис-Холл
- Хоффман К. (1962), Банаховы пространства аналитических функций , Прентис-Холл.
- Sz.-Nagy, B .; Foias, C .; Bercovici, H .; Керши, Л. (2010), Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве , Universitext (второе изд.), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
- Riesz, F .; С.-Надь Б. (1995), Функциональный анализ. Перепечатка оригинала 1955 г. , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, pp. 466–472, ISBN 0-486-66289-6