Спираль Лукаса, состоящая из четверти дуги, является хорошим приближением золотой спирали, когда ее члены большие. Однако, когда его члены становятся очень маленькими, радиус дуги быстро уменьшается с 3 до 1, а затем увеличивается с 1 до 2.
Последовательность Лукаса имеет те же рекурсивные отношения, что и последовательность Фибоначчи , где каждый член представляет собой сумму двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями. [1] Это дает последовательность, в которой отношения следующих друг за другом членов приближаются к золотому сечению , а фактически сами члены являются округлением целых степеней золотого сечения. [2] Последовательность также имеет множество отношений с числами Фибоначчи, например, тот факт, что добавление любых двух чисел Фибоначчи на два члена в последовательности Фибоначчи приводит к промежуточному числу Люка. [3]
Подобно числам Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух его непосредственных предыдущих членов, тем самым формируя целочисленную последовательность Фибоначчи . Первые два числа Люка - это L 0 = 2 и L 1 = 1, в отличие от первых двух чисел Фибоначчи F 0 = 0 и F 1 = 1. Хотя числа Люка и Фибоначчи тесно связаны по определению, они обладают различными свойствами.
Таким образом, числа Лукаса можно определить следующим образом:
(где n принадлежит натуральным числам)
Последовательность первых двенадцати чисел Лукаса такова:
Все целочисленные последовательности, подобные Фибоначчи, появляются в сдвинутой форме как строка массива Wythoff ; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Люка - второй строкой. Также, как и все последовательности целых чисел, подобные Фибоначчи, соотношение между двумя последовательными числами Люка сходится к золотому сечению .
Расширение до отрицательных целых чисел [ править ]
Используя L n −2 = L n - L n −1 , можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить дважды бесконечную последовательность:
..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... ( показаны члены для ).
Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:
где это золотое сечение . В качестве альтернативы, поскольку величина члена меньше 1/2, это ближайшее целое число или, что то же самое, целая часть , также записываемая как .
Если L n простое число, то n равно 0, простому числу или степени 2. [4] L 2 m простое число для m = 1, 2, 3 и 4 и никаких других известных значений m .
Создание серии [ править ]
Позволять
- производящий ряд чисел Лукаса. Прямым вычислением
который можно переставить как
Разложение частичной фракции задается
где - золотое сечение, а - его сопряжение.
Полиномы Лукаса [ править ]
Точно так же, как многочлены Фибоначчи выводятся из чисел Фибоначчи , многочлены Люка L n ( x ) являются полиномиальной последовательностью, полученной из чисел Люка.
Приложения [ править ]
Согласно анализу 657 подсолнухов в 2016 году, числа Лукаса являются вторым наиболее распространенным паттерном в подсолнухах после чисел Фибоначчи, когда подсчитываются спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки .
См. Также [ править ]
Обобщения чисел Фибоначчи
Ссылки [ править ]
^ Вайсштейн, Эрик В. "Число Лукаса" . mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 .
^ Паркер, Мэтт (2014). «13». Что делать и что делать в четвертом измерении . Фаррар, Штраус и Жиру. п. 284. ISBN 978-0-374-53563-6.
^ Паркер, Мэтт (2014). «13». Что делать и что делать в четвертом измерении . Фаррар, Штраус и Жиру. п. 282. ISBN. 978-0-374-53563-6.
↑ Крис Колдуэлл, « Главный глоссарий: Лукас Прайм » из The Prime Pages .
Внешние ссылки [ править ]
"Многочлены Лукаса" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса» . MathWorld .
Вайстейн, Эрик В. «Полином Лукаса» . MathWorld .
" Числа Лукаса ", доктор Рон Нотт
Числа Лукаса и золотое сечение
Калькулятор чисел Лукаса можно найти здесь.
Последовательность OEIS A000032 (числа Лукаса, начинающиеся с 2)