В физике твердого тела , то Латтинжера Ward функционал , [1] предложен Хоакин Маздак Латтинжером и Джон Клайв Уорд в 1960 году, [2] является скаляром функционал от голого электрон-электронного взаимодействия и перенормируется функции многих тел Грина . В терминах диаграмм Фейнмана функционал Латтинджера – Уорда представляет собой сумму всех замкнутых жирных двухчастичных неприводимых диаграмм, т. Е. Всех диаграмм без входящих и исходящих частиц, которые не разваливаются, если удалить две пропагаторные линии. Обычно это записывается как или же , где - функция Грина и это голое взаимодействие.
Функционал Латтинджера – Уорда не имеет прямого физического смысла, но полезен при доказательстве законов сохранения .
Функционал тесно связан с функционалом Байма – Каданова, независимо построенным Гордоном Беймом и Лео Кадановым в 1961 году. [3] Некоторые авторы используют эти термины как синонимы; [4] если проводится различие, то функционал Байма – Каданова идентичен двухчастичному неприводимому эффективному действию , который отличается от функционала Латтинджера – Уорда тривиальным членом.
Строительство
Учитывая систему, характеризующуюся действием в терминах полей Грассмана , статистическая сумма может быть выражена как интеграл по путям :
- ,
где является двоичным исходным полем. К экспансии в серии Дайсона , можно обнаружить , что является суммой всех (возможно, несвязных) замкнутых диаграмм Фейнмана. в свою очередь является производящим функционалом N-частичной функции Грина:
Теорема о связанном кластере утверждает, что эффективное действие это сумма всех замкнутых, связанных, голых диаграмм. в свою очередь является производящим функционалом для связной функции Грина. Например, функция Грина, связанная с двумя частицами, выглядит так:
Для того, чтобы перейти к Неприводимому двухчастичному (2ПИТЕ) эффективное действие, один выполны ют преобразование Лежандра изв новое двоичное поле источника. Здесь выбирают произвольную выпуклую в качестве источника и получает функционал 2PI, также известный как функционал Байма – Каданова:
- с участием .
В отличие от связного случая, требуется еще один шаг, чтобы получить производящий функционал от двухчастичного неприводимого эффективного действия из-за наличия невзаимодействующей части. Вычитая его, получаем функционал Латтинджера – Уорда: [5]
- ,
где это собственная энергия . Следуя принципам доказательства теоремы о сцепленном кластере, можно показать, что это производящий функционал для двухчастичных неприводимых пропагаторов.
Характеристики
На диаграмме функционал Латтинджера – Уорда представляет собой сумму всех замкнутых жирных двухчастичных неприводимых диаграмм Фейнмана (также известных как «скелетные» диаграммы):
Диаграммы замкнуты, так как у них нет внешних ветвей, т. Е. Нет частиц, входящих или выходящих из диаграммы. Они «смелые», потому что сформулированы в терминах взаимодействующего или жирного пропагатора, а не невзаимодействующего. Они двухчастично неприводимы, поскольку они не разъединяются, если мы разделим до двух фермионных линий.
Функционал Латтинджера – Уорда связан с большим потенциалом системы:
является производящим функционалом для неприводимых вершинных величин: первая функциональная производная по дает собственную энергию , а вторая производная дает частично двухчастичную неприводимую четырехточечную вершину:
- ;
Хотя функционал Латтинджера – Уорда существует, можно показать, что он не уникален для моделей, подобных Хаббарду . [6] В частности, неприводимые вершинные функции демонстрируют набор расхождений, из-за которых собственная энергия разделяется на причинное и непричинное (и, следовательно, нефизическое) решения. [7] Однако, ограничивая собственную энергию причинными решениями, можно восстановить уникальность функционала.
Байм и Каданов показали, что любое схематическое усечение функционала Латтинджера – Уорда удовлетворяет набору законов сохранения. [3] Приближения, эквивалентные такому усечению, поэтому называются сохраняющими или-выводной . Несколько примеров:
- (Полностью самосогласованное) приближение GW эквивалентно усечению к так называемым кольцевым диаграммам: (Кольцевая диаграмма состоит из поляризационных пузырей, соединенных линиями взаимодействия).
- Теория динамического среднего поля эквивалентна учету только чисто локальных диаграмм:, где индексы узлов решетки. [4]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Potthoff, М. (2003). «Самоэнергетический функциональный подход к системам коррелированных электронов». Европейский физический журнал B . 32 (4): 429–436. arXiv : cond-mat / 0301137 . Bibcode : 2003EPJB ... 32..429P . DOI : 10.1140 / epjb / e2003-00121-8 .
- ^ Luttinger, JM; Уорд, JC (1960). «Энергия основного состояния многофермионной системы. II». Физический обзор . 118 (5): 1417–1427. Bibcode : 1960PhRv..118.1417L . DOI : 10.1103 / PhysRev.118.1417 .
- ^ а б Baym, G .; Каданов, Л.П. (1961). «Законы сохранения и корреляционные функции». Физический обзор . 124 (2): 287–299. Полномочный код : 1961PhRv..124..287B . DOI : 10.1103 / PhysRev.124.287 .
- ^ а б Котляр, Г .; Саврасов С.Ю .; Haule, K .; Удовенко В.С.; Parcollet, O .; Марианетти, Калифорния (2006). «Расчеты электронной структуры с помощью динамической теории среднего поля». Ред. Мод. Phys . 78 (3): 865–951. arXiv : cond-mat / 0511085 . Bibcode : 2006RvMP ... 78..865K . CiteSeerX 10.1.1.475.7032 . DOI : 10.1103 / RevModPhys.78.865 .
- ^ Рентроп, JF; Meden, V .; Якобс, С. Г. (2016). «Ренормгруппа потока функционала Латтинджера – Уорда: сохраняющие приближения и приложение к модели примеси Андерсона». Phys. Rev. B . 93 (19): 195160. arXiv : 1602.06120 . Bibcode : 2016PhRvB..93s5160R . DOI : 10.1103 / PhysRevB.93.195160 .
- ^ Козик, Э .; Ферреро, М .; Жорж А. (2015). «Отсутствие функциональной сходимости Латтинджера-Уорда и вводящая в заблуждение сходимость скелетных диаграммных рядов для моделей, подобных Хаббарду». Phys. Rev. Lett. 114 (15): 156402. arXiv : 1407.5687 . Bibcode : 2015PhRvL.114o6402K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.114.156402 . PMID 25933324 .
- ^ Шефер, Т .; Rohringer, G .; Gunnarsson, O .; Ciuchi, S .; Sangiovanni, G .; Тоски, А. (2013). «Расходящиеся предвестники перехода Мотт-Хаббард на уровне двух частиц». Phys. Rev. Lett . 110 (24): 246405. arXiv : 1303.0246 . Bibcode : 2013PhRvL.110x6405S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.110.246405 . PMID 25165946 .