Интерполяционная теорема Марцинкевича

В математике , то интерполяционная теорема Марцинкевича , обнаруженный Юзеф Марцинкевич  ( 1939 ), является результатом , ограничивающий нормы нелинейных операторов , действующих на L ^р пространств .

Теорема Марцинкевича аналогична теореме Рисса – Торина о линейных операторах , но также применима к нелинейным операторам.

Предварительные мероприятия

Пусть f - измеримая функция с действительными или комплексными значениями, определенная на пространстве с мерой ( X ,  F , ω). Функция распределения по F определяется

${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\omega \left\{x\in X\mid |f(x)|>t\right\}.}$

Тогда f называется слабой,${\displaystyle L^{1}}$ если существует такая постоянная C , что функция распределения f удовлетворяет следующему неравенству для всех t  > 0:

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C}{t}}.}$

Наименьшая константа C в приведенном выше неравенстве называется слабой нормой${\displaystyle L^{1}}$ и обычно обозначается или. Аналогичным образом пространство обычно обозначается L ^{1, w} или L ^{1, ∞} .${\displaystyle \|f\|_{1,w}}$${\displaystyle \|f\|_{1,\infty }.}$

(Примечание: эта терминология немного вводит в заблуждение, поскольку слабая норма не удовлетворяет неравенству треугольника, как можно увидеть, рассматривая сумму функций на, заданных и , которая имеет норму 4, а не 2.)${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 1/x}$${\displaystyle 1/(1-x)}$

Любая функция принадлежит L ^{1, w} и, кроме того, выполняется неравенство${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle \|f\|_{1,w}\leq \|f\|_{1}.}$

Это не что иное, как неравенство Маркова (также известное как неравенство Чебышева ). Обратное неверно. Например, функция 1 / x принадлежит L ^{1, w,} но не принадлежит L ¹ .

Точно так же можно определить слабое пространство${\displaystyle L^{p}}$ как пространство всех функций f , принадлежащих L ^{1, w} , и слабой норме, используя${\displaystyle |f|^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\left\||f|^{p}\right\|_{1,w}^{\frac {1}{p}}.}$

Более конкретно, норма L ^{p , w} определяется как наилучшая константа C в неравенстве

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$

для всех t  > 0.

Формулировка

Неформально теорема Марцинкевича

Теорема. Пусть T - ограниченный линейный оператор из в и одновременно из в . Тогда T также является ограниченным оператором из в для любого r между p и q .${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p,w}}$${\displaystyle L^{q}}$${\displaystyle L^{q,w}}$${\displaystyle L^{r}}$${\displaystyle L^{r}}$

Другими словами, даже если вам требуется только слабая ограниченность на крайних точках p и q , вы все равно получите регулярную ограниченность внутри. Чтобы сделать это более формальным, нужно объяснить, что T ограничено только на плотном подмножестве и может быть дополнено. См. Эти подробности в теореме Рисса-Торина .

Теорема Марцинкевича слабее теоремы Рисса-Торина в оценках нормы. Теорема дает оценки нормы T, но эта оценка возрастает до бесконечности, когда r сходится либо к p, либо к q . В частности ( ДиБенедетто 2002 , теорема VIII.9.2), предположим, что${\displaystyle L^{r}}$

${\displaystyle \|Tf\|_{p,w}\leq N_{p}\|f\|_{p},}$

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq N_{q}\|f\|_{q},}$

так что норма оператора из T из L ^р к L ^{р , ш} не превосходит N _р , а оператор норме Т из L ^д к л ^{д , ш} , не превосходит N _ц . Тогда для всех r между p и q и всех f  ∈  L ^r выполняется следующее интерполяционное неравенство :

${\displaystyle \|Tf\|_{r}\leq \gamma N_{p}^{\delta }N_{q}^{1-\delta }\|f\|_{r}}$

куда

${\displaystyle \delta ={\frac {p(q-r)}{r(q-p)}}}$

а также

${\displaystyle \gamma =2\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.}$

Константы δ и γ можно также задать при q  = ∞ предельным переходом.

Версия теоремы также верна в более общем смысле, если T предполагается только квазилинейным оператором в следующем смысле: существует константа C  > 0 такая, что T удовлетворяет

${\displaystyle |T(f+g)(x)|\leq C(|Tf(x)|+|Tg(x)|)}$

почти для каждого x . Теорема верна в точности так, как указано, за исключением замены γ на

${\displaystyle \gamma =2C\left({\frac {r(q-p)}{(r-p)(q-r)}}\right)^{1/r}.}$

Оператор T (возможно, квазилинейный), удовлетворяющий оценке вида

${\displaystyle \|Tf\|_{q,w}\leq C\|f\|_{p}}$

называется слабым типом ( p , q ) . Оператор имеет простой тип ( p , q ), если T - ограниченное преобразование из L ^p в L ^q :

${\displaystyle \|Tf\|_{q}\leq C\|f\|_{p}.}$

Более общая формулировка интерполяционной теоремы выглядит следующим образом:

• Если T - квазилинейный оператор слабого типа ( p ₀ , q ₀ ) и слабого типа ( p ₁ , q ₁ ), где q ₀  ≠  q ₁ , то для каждого θ ∈ (0,1) T имеет тип ( p , q ) для p и q с p ≤ q вида

${\displaystyle {\frac {1}{p}}={\frac {1-\theta }{p_{0}}}+{\frac {\theta }{p_{1}}},\quad {\frac {1}{q}}={\frac {1-\theta }{q_{0}}}+{\frac {\theta }{q_{1}}}.}$

Последняя формулировка следует из первой посредством применения неравенства Гёльдера и аргумента двойственности. ^{[ необходима цитата ]}

Приложения и примеры

Известный пример применения - преобразование Гильберта . Рассматриваемое как множитель , преобразование Гильберта функции f можно вычислить, сначала взяв преобразование Фурье функции f , затем умножив на знаковую функцию и, наконец, применив обратное преобразование Фурье .

Следовательно , теорема Парсеваля легко показывает, что преобразование Гильберта ограничено от до . Гораздо менее очевидный факт заключается в том, что он ограничен от до . Следовательно, теорема Марцинкевича показывает, что она ограничена от до для любого 1 < p <2. Аргументы двойственности показывают, что она также ограничена при 2 < p <∞. Фактически, преобразование Гильберта действительно неограниченно при p, равном 1 или ∞.${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1,w}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$

Другой известный пример - максимальная функция Харди – Литтлвуда , которая является только сублинейным оператором, а не линейным. В то время как в пределы могут быть немедленно получена из слабой оценки умной замены переменных, Марцинкевич интерполяция является более интуитивным подходом. Поскольку максимальная функция Харди – Литтлвуда тривиально ограничена от до , сильная ограниченность для всех сразу следует из слабой (1,1) оценки и интерполяции. Слабая (1,1) оценка может быть получена из леммы Витали о покрытии .${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle L^{\infty }}$${\displaystyle p>1}$

История

Теорема была впервые объявлена Марцинкевичем (1939) , который показал этот результат Антонию Зигмунду незадолго до его смерти во Второй мировой войне. Теорема была почти забыта Зигмундом и отсутствовала в его оригинальных работах по теории сингулярных интегральных операторов . Позже Зигмунд (1956) понял, что результат Марцинкевича может значительно упростить его работу, и тогда он опубликовал теорему своего бывшего ученика вместе с собственным обобщением.

В 1964 году Ричард А. Хант и Гвидо Вайс опубликовали новое доказательство интерполяционной теоремы Марцинкевича. ^[1]

Смотрите также

• Пространство интерполяции

использованная литература

• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN 3-7643-4231-5.
• Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил С. (2001), Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка , Springer-Verlag, ISBN 3-540-41160-7.
• Marcinkiewicz, J. (1939), "Sur l'interpolation d'operations" , CR Acad. Sci. Париж , 208 : 1272–1273
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN 0-691-08078-X.
• Зигмунд, А. (1956), «Об одной теореме Марцинкевича относительно интерполяции операций», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 35 : 223–248, ISSN  0021-7824 , MR  0080887