В математике G-функция была введена Корнелисом Саймоном Мейером ( 1936 ) как очень общая функция , предназначенная для включения большинства известных специальных функций как частных случаев. Это была не единственная попытка такого рода: обобщенная гипергеометрическая функция и E-функция МакРоберта преследовали одну и ту же цель, но G-функция Мейера смогла включить и их как частные случаи. Первое определение было дано Мейером с использованием ряда ; в настоящее время общепринятым и более общим определением является линейный интеграл на комплексной плоскости , введенный во всей своей обобщенности Артуром Эрдели в 1953 году.
В современном определении большинство установленных специальных функций можно представить через G-функцию Мейера. Примечательным свойством является замыкание множества всех G-функций не только при дифференцировании, но и при неопределенном интегрировании. В сочетании с функциональным уравнением , которое позволяет освободить из G-функции G ( z ) любой множитель z ρ , который является постоянной степенью своего аргумента z , замыкание подразумевает, что всякий раз, когда функция выражается как G-функция константы кратное некоторой постоянной степени аргумента функции f ( x ) = G ( cx γ ), производная и первообразная этой функции тоже выражаются.
Широкий охват специальных функций также дает возможность использовать G-функцию Мейера помимо представления и манипулирования производными и первообразными. Например, определенный интеграл по положительной вещественной оси любой функции g ( x ), который можно записать в виде произведения G 1 ( cx γ ) · G 2 ( dx δ ) двух G-функций с рациональными γ / δ , равен просто другая G-функция и обобщения интегральных преобразований, таких как преобразование Ганкеля , преобразование Лапласа и их обратные значения, возникают, когда в качестве ядер преобразования используются подходящие пары G-функций.
Еще более общей функцией, которая вводит дополнительные параметры в G-функцию Мейера, является H-функция Фокса , которая используется для матричного преобразования Рамом Кишором Саксеной [1]
Одним из применений G-функции Мейера был спектр частиц излучения инерционного горизонта в модели движущегося зеркала динамического эффекта Казимира ( Good 2020 ).
Общее определение G-функции Мейера дается следующим линейным интегралом на комплексной плоскости ( Bateman & Erdélyi 1953 , § 5.3-1):